=+05=8-=5f 例9计算二重积分1=+-少d6,其中D为直线y=xx=-1y=1所围成的区 域. 解法1积分区域D如图8一11所示.若将D视为X-型区域，则 D={x,川x≤y≤1，-1≤x≤1 于是， 1=[dx[y+x-ydy =-L+x- -L- - 图8-11 解法2将D视为Y-型区域，D=x川-1≤x≤y,-1≤y≤.于是， 1=f+x- =y[-r++-yx+r+ =+2-y+0-yrh+0+心2-n2-了-] =+0-yn+明s=[Dy+0-nl+] =立[4-2y+4r2+y)-402-1+= 解法3利用奇偶对称性。将被积区域D分成三部分，如图8一1所示.被积函数是关 于x的偶函数，关于y的奇函数，因此 I=∬fx,yd+∬fx,ya+j∬fx,yd =0+2可xd=2可Wi+-y4=2×好 注比较解法1和解法2，虽然两种划分积分区域的方法都得到一个二次积分，但是显 然解法2要复杂得多，由此可见积分次序选择的重要性。因此计算二重积分时，要同时考虑 到被积函数和积分区域的特点，寻求一种较简单的计算方法，如果有奇偶对称性可用，则将 大大简化计算. 例10(o2研)计算二重积分厂em产d,其中D=低训0≤x≤L0sys. 分析被积函数实际上是分段函数，在区域D中，当(x,)∈{(x,川0≤x≤L0≤y≤对
2 2 1 2 2 2 0 1 1 1 1 [( ( ) ) ] 2 2 2 x = + = − = A f t dt A A A ． 例 9 计算二重积分 2 2 1 , D I y x y d = + − 其中 D 为直线 y x x y = = − = , 1, 1 所围成的区 域． 解法 1 积分区域 D 如图 8－11 所示． 若将 D 视为 X − 型区域，则 D x y x y x = − {( , ) | 1, 1 1}． 于是， 1 1 2 2 1 1 x I dx y x y dy − = + − 3 1 2 2 1 2 1 1 [(1 ) ] 3 x x y dx − = − + − 3 1 2 2 1 1 [( ) 1] 3 x dx − = − − ( ) 1 3 0 2 1 1 3 2 = − − = x dx ． 解法 2 将 D 视为 Y − 型区域， D x y x y y = − − {( , ) | 1 , 1 1} ．于是， 1 2 2 1 1 1 y I ydy x y dx − − = + − 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 (1 )ln( 1 ) 2 y y x y x y x y x dy − − = − + + − + − + 1 2 2 2 2 1 1 2 (1 )ln(1 ) ( 1)ln( 2 1) 2 y y y y y y y dy − = + − + − + + − − − 1 1 2 2 3 1 1 1 1 (1 )ln(1 ) ( )ln(1 ) 2 2 y y y y dy y y y y dy − − = + − + = + − + 1 2 3 2 2 1 1 1 (4 2 4 ) 4( 1) ln(1 ) 32 2 y y y y y y − = − + + − − + = ． 解法 3 利用奇偶对称性．将被积区域 D 分成三部分，如图 8－11 所示．被积函数是关 于 x 的偶函数，关于 y 的奇函数，因此 1 2 3 ( , ) ( , ) ( , ) D D D I f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy = + + 3 0 2 ( , ) D = + f x y dxdy 1 1 2 2 0 1 1 2 1 2 x 4 2 = + − = = dx y x y dy ． 注 比较解法 1 和解法 2，虽然两种划分积分区域的方法都得到一个二次积分，但是显 然解法 2 要复杂得多，由此可见积分次序选择的重要性．因此计算二重积分时，要同时考虑 到被积函数和积分区域的特点，寻求一种较简单的计算方法，如果有奇偶对称性可用，则将 大大简化计算． 例 10（02 研） 计算二重积分 2 2 max{ , } x y D e dxdy ，其中 D x y x y = {( , ) | 0 1,0 1}． 分析 被积函数实际上是分段函数，在区域 D 中， 当 ( , ) {( , ) | 0 1,0 } x y x y x y x y x = y =1 1 x =−1 −1 −1 x y o D1 D2 D3 1 图 8－11
时，x2≥y:当(k,川∈{x,)10≤x≤L,x≤y≤时，X≤y2.因此需要将D分为两部分计 算 解设D={x,y川0≤x≤L,x≤y≤)， D={x,川0≤x≤1,0≤y≤x对 如图8-12所示，则 ds=.(eD -12 le,(x.y)ED. 从而 ∬edd=∬ernd+小end =∬ed+∬ew=e+e =[ye'dy+[xe'dx=e-1. 例11计算1=-，其中积分区域为 D={x,y川l≤1,0≤y≤2 分析如果被积函数表达式中含有绝对值，首先要考虑去掉绝 对值符号，把被积函数写成分段函数的形式，用类似例10的方法 图8-13 来计算。 解如图8一13所示，将积分区域D划分为两部分： D={x,y川-1≤x≤1,0sysx},D={x,-1sx≤1，x2sy≤2， 则-F-yx列eD,从而 y-x (x.y)ED, 1=川by-x=∬x2-k+∬o-xd =-+,5o- =号+2-2r+= 例12设D={(x,y)+ys1,x20,y≥0}， D,=x,l+l≤l,且4=j∬e,k=l2), 则(2
时， 2 2 x y ；当 ( , ) {( , ) | 0 1, 1} x y x y x x y 时， 2 2 x y ．因此需要将 D 分为两部分计 算． 解 设 1 D x y x x y = {( , ) | 0 1, 1}， 2 D x y x y x = {( , ) | 0 1,0 }， 如图 8－12 所示，则 2 2 2 2 max{ , } 1 2 , ( , ) , ( , ) y x y x e x y D e e x y D = ， 图 8－12 从而 2 2 2 2 2 2 1 2 max{ , } max{ , } max{ , } x y x y x y D D D e dxdy e dxdy e dxdy = + 2 2 1 2 y x D D = + e dxdy e dxdy 1 1 2 2 0 0 0 0 y x y x = + dy e dx dx e dy 1 1 2 2 0 0 1 y x = + = − ye dy xe dx e ． 例 11 计算 2 , D I y x dxdy = − 其中积分区域为 D x y x y = {( , ) | 1,0 2}． 分析 如果被积函数表达式中含有绝对值，首先要考虑去掉绝 对值符号，把被积函数写成分段函数的形式，用类似例 10 的方法 来计算． 解 如图 8－13 所示，将积分区域 D 划分为两部分： 图 8－13 2 1 D x y x y x = − {( , ) | 1,0 } １ ， 2 2 D x y x x y = − {( , ) | 1 1, 2}， 则 2 2 1 2 2 ( , ) ( , ) x y x y D y x y x x y D − − = − ，从而 2 D I y x dxdy = − 1 2 2 2 ( ) ( ) D D = − + − x y dxdy y x dxdy 2 2 1 1 2 2 2 1 0 1 ( ) ( ) x x dx x y dy dx y x dy − − = − + − 4 1 1 4 2 1 1 1 46 (2 2 ) . 2 2 15 x x dx x dx − − = + − + = 例 12 设 D x y x y x y 1 = + {( , ) 1, 0, 0}， 2 D x y x y = + {( , ) 1} ，且 k x y k D I e dxdy + = ，( 1,2) k = ， 则（ ）． x y o 1 1 −1 −1 D2 D1 | | | | 1 x y + = y = 2 2 y x = x =−1 o x =1 y x x y 1 1 y x = D1 D2 o
A.1=12·B.2弘=42C.4=2弘2D.4H=h2 图8-14 分析被积函数与积分区域的表达式中均含有绝对值符号，应先将积分区域表达式中的 绝对值符号去掉，画出积分区域，然后用类似例10、11中的方法来计算，但本题根据积分 区域的特点应考虑用奇偶对称性则更简单。 解选D.积分区域如图8一4所示.由于被积函数fx,)=是关于x和y的偶函 数，而且D,是关于xy轴都称的区域，D,恰好是D,位于第一象限的区域，故正确答案为 D. 例13计算1=∬edo,其中D={x川+以s. 分析积分区域D既关于x轴对称，又关于y轴对称，而被积 函数y关于x或y都不具有奇偶性，因此不能利用奇偶对称性计 算 解积分区域如图8一15所示.y轴将区域D分为两部分， 分别记为D和D,则 1=j∬e"rdo=∬eva+j∬e"dd =fededy+fedfed =2+5*2=-日 错误解答记积分区域在第一象限的部分为D,则 I-feda-ddd(e-lyh-4. 错解分析此解法注意到了积分区域关于x、y轴对称，想利用对称性简化计算，但是 被积函数却既非奇函数也非偶函数，所以川e“dc≠4∬e“d. 注利用对称性简化计算时一定要兼顾积分区域的对称性和被积函数的奇偶性 例14设区线D=训2+护s,则后后-一 分析如果二重积分的被积函数中含有x+少，或者积分区域是圆形、扇形、环形等 形状，通常采用极坐标的形式进行计算较简单。本题积分区域为圆域，宜采用极坐标计算。 解法1小告+长h-0pg0,9o o up
A． 1 2 I I = ． B． 1 2 2I I = ． C． 1 2 I I = 2 ． D． 1 2 4I I = ． 图 8－14 分析 被积函数与积分区域的表达式中均含有绝对值符号，应先将积分区域表达式中的 绝对值符号去掉，画出积分区域，然后用类似例 10、11 中的方法来计算，但本题根据积分 区域的特点应考虑用奇偶对称性则更简单． 解 选 D．积分区域如图 8－14 所示．由于被积函数 ( , ) x y f x y e + = 是关于 x 和 y 的偶函 数，而且 D2 是关于 xy, 轴都对称的区域， D1 恰好是 D2 位于第一象限的区域，故正确答案为 D． 例 13 计算 , x y D I e d + = 其中 D x y x y = + ( , ) | 1． 分析 积分区域 D 既关于 x 轴对称，又关于 y 轴对称，而被积 函数 x y e + 关于 x 或 y 都不具有奇偶性，因此不能利用奇偶对称性计 算． 解 积分区域如图 8－15 所示． y 轴将区域 D 分为两部分， 分别记为 D1 和 2 D , 则 图 8－15 1 2 x y x y x y D D D I e d e dxdy e dxdy + + + = = + 0 1 1 1 1 1 0 1 x x x y x y x x e dx e dy e dx e dy + − − − − − = + 3 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 e e e e e e = − + + = − ． 错误解答 记积分区域在第一象限的部分为 0 D , 则 0 1 1 1 1 0 0 0 4 4 4 ( 1) 4 x x y x y x y x x D D I e d e dxdy e dx e dy e e dx − + + − = = = = − ＝ ． 错解分析 此解法注意到了积分区域关于 x y 、 轴对称，想利用对称性简化计算，但是 被积函数却既非奇函数也非偶函数，所以 0 4 x y x y D D e d e dxdy + + ． 注 利用对称性简化计算时一定要兼顾积分区域的对称性和被积函数的奇偶性． 例 14 设区域 2 2 2 D x y x y R = + {( , ) | } ，则 2 2 2 2 D x y dxdy a b + = ( ) ． 分析 如果二重积分的被积函数中含有 2 2 x y + ，或者积分区域是圆形、扇形、环形等 形状，通常采用极坐标的形式进行计算较简单．本题积分区域为圆域，宜采用极坐标计算． 解法 1 2 2 2 2 D x y dxdy a b + ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 cos sin ( ) R d d a b = + 2 2 2 3 2 2 0 0 cos sin ( ) R d d a b = + x −1 1 D2 D1 | | | | 1 x y + = y 1 −1 o