三、典型例题解析. 例1已知两点M,(4,√反，1)和M,3,02),试求向量M,M在x轴上的投影、在y轴上的 分向量、MM,的模、方向余弦及方向角， 解由于 M4M=(6-4.0-5,2-=(-1-V2,) 则它在x轴上的投影为-1，在y轴上的分向量为-√， 1M,M1=V-+2+F=2, 器t6n-(日9 故方向余弦为 oma 方向角为 例2从点42，-17)沿向量a=(8,9,-12)方向取长为34的线段AB.求点B的坐标 解设B点坐标为(x,以，)，则AB=(x-2,y+L:-7),由于AB与a方向一致，故存在 实数22>0)，使AB=a,即 (x-2,y+1-7)=89,-12), 由此可得 x-2=8元v+1=91.g-7=-12元 又因为 ABVx-2y+0+2+-7=34, 从而有=2，所以 x=81+2=18.v=92-1=17.3=-121+7=-17 求得B点坐标为(18,17，-17) 例3设(a×b)c=2,则[(a+b)×(b+c小(c+a)= 分析本题考查向量的运算，需用数量积和向量积对加法的分配律，注意运用混合积的 性质即可求解。 解原式=(a×b+a×c+bxb+bxc)(c+a
三、典型例题解析． 例 1 已知两点 1 M (4, 2,1) 和 2 M (3,0,2) ，试求向量 MM1 2 在 x 轴上的投影、在 y 轴上的 分向量、 MM1 2 的模、方向余弦及方向角． 解 由于 MM1 2 = − − − = − − (3 4,0 2,2 1) ( 1, 2,1) ， 则它在 x 轴上的投影为 −1 ，在 y 轴上的分向量为− 2 j ， 1 2 | | M M 2 2 2 = − + − + = ( 1) ( 2) 1 2 ， 又 1 2 1 2 | | M M M M 1 1 2 1 ( 1, 2,1) ( , , ) 2 2 2 2 = − − = − − ， 故方向余弦为 1 cos 2 = − ， 2 cos 2 = − ， 1 cos 2 = ， 方向角为 2 3 = ， 3 4 = ， 3 = ． 例 2 从点 A(2, 1,7) − 沿向量 a = − (8,9, 12) 方向取长为 34 的线段 AB ．求点 B 的坐标. 解 设 B 点坐标为 ( , , ) x y z ，则 AB x y z = − + − ( 2, 1, 7) ，由于 AB 与 a 方向一致，故存在 实数 ( 0) ，使 AB = a ，即 ( 2, 1, 7) (8,9, 12) x y z − + − = − ， 由此可得 x y z − = + = − = − 2 8 , 1 9 , 7 12 ， 又因为 2 2 2 | | ( 2) ( 1) ( 7) 34 AB x y z = − + + + − = ， 从而有 = 2 ，所以 x y z = + = = − = = − + = − 8 2 18, 9 1 17, 12 7 17 ， 求得 B 点坐标为 (18,17, 17) − ． 例 3 设 ( ) 2 a b c = ，则 [( ) ( )] ( ) a b b c c a + + + = ． 分析 本题考查向量的运算，需用数量积和向量积对加法的分配律，注意运用混合积的 性质即可求解． 解 原式= ( ) ( ) a b a c b b b c c a + + + +
=(axb)-c+(axb)-a+(axc)-c+(axc)-a+(bxc)-c+(bxe)-a =(a×b)c+0+0+0+0+(b×c)a =2(a×b)-c=2×2=4 例4设04=21+j,0B=-1+2k,令m=0A-0B (1)求与向量m方向一致的单位向量：及m的方向余弦： (2)证明以OA、OB为边所成的平行四边形的对角线互相垂直： (3)求上述平行四边形的面积。 解(1)由于 m=0A-0B=3i+j-2k,m++(-2y=4 。品=后布后 31 2 (2)设所成的平行四边形的对角线一条为m,另一条为n=O+OB=1+j+2k,由 于mn=3×1+1x1+(-2)×2=0,故m1n.所以两对角线垂直。 (3)由于 ii k 01x0B=210=2i-4j+k -102 故平行四边形的面积为 S=0iAx0=2i-4j+=2. 例5设c=2a+b,d=2a-b,a2,1b1,(a,)=T.试求 (1)cos(c,d): (2)Prje. 解(1)由于 cd=(2a+b)-(2a-b)=4|aP-bf=4×4-1=15 且 1cP=(2a+b)-(2a+b)=4|aP+|bP+4a-b=4|aP+1bP+4|al-b1cos(a.b)=17. 故c上√7.同理
= ( ) a b c + ( ) a b a + ( ) a c c + ( ) a c a + ( ) b c c + ( ) b c a = ( ) a b c +0+0+0+0+ ( ) b c a = 2( ) 2 2 4 a b c = = ． 例 4 设 OA = + 2i j ， OB = − +i k2 ，令 m = − OA OB . （1）求与向量 m 方向一致的单位向量 m e 及 m 的方向余弦； （2）证明以 OA、OB 为边所成的平行四边形的对角线互相垂直； （3）求上述平行四边形的面积． 解 （1）由于 m = − OA OB = + − 3 2 i j k ， 2 2 2 | | 3 1 ( 2) 14 m = + + − = ， 且 | | m = m e m 3 1 2 ( , , ) 14 14 14 = − , 故 3 cos 14 = ， 1 cos 14 = ， 2 cos 14 − = ． （2）设所成的平行四边形的对角线一条为 m ，另一条为 n = + OA OB = + + i j k2 ，由 于 m n = + + − = 3 1 1 1 ( 2) 2 0 ,故 m n ⊥ ．所以两对角线垂直． （3）由于 OA OB 2 1 0 1 0 2 = − i j k = − + 2 4 i j k ， 故平行四边形的面积为 S = OA OB = − + = 2 4 21 i j k ． 例 5 设 c a b = + 2 ， d a b = − 2 ，| | 2 a = ，| | 1 b = ， , 2 （a b）= ．试求： （1） cos , （c d） ； （2） Pr jd c ． 解 （1）由于 c d = + − (2 ) (2 ) a b a b 2 2 = − 4| | | | a b = − 4 4 1 = 15 , 且 2 | | (2 ) (2 ) c a b a b = + + = 2 2 4| | | | 4 a b a b + + 2 2 = + + 4 | | | | 4 | | cos , a b a | b | a b （ ）=17 ． 故 | | 17 c = ．同理
ldP=(2a-b)-(2a-b)=4laP+lbP-4lal-|blcos(a.B)=17, 故1d川=7.于是 we0-产而而号 cd 15 (2)由于 c-d=1dl-Prjc, c-d15157 ue=面而7 例6向量c垂直于向量a=(2,3.-1)和6=(1-2,3)，并且满足条件c-(2,-1)=6,试 求向量c的坐标. 分析由于向量c同时垂直于向量a和b,则有ca=0,cb=0,或c1a×b, 解法1设c=(x,y,由于c同时垂直于向量a和b,故 ca=0,c-b=0, 即 2x+3y-2=0, 且 x-2y+3z=0, 由c.(2.-110=-6,得 2x-y+:=-6. 将以上三式联立求解得 x=-3,y==3,即c=(-3,3,3) E方 解法2设c=(x,y,),a×b=23-1=(7,-7,-7).由题意知c∥a×b,于是 1-23 片 的 c(2,-10=6 得 2x-y+2=-6 联立求解得 x=-3,y==3,即c=(-3,3,3). 例7已知a=i,b=j-2k,c=2i-2j+k,试求一单位向量y,使得y1c,且y与a b共面
2 2 2 | | (2 ) (2 ) 4 | | | | 4 | | cos , 17 d a b a b a b a | b | a b = − − = + − = （ ） , 故 | | d = 17 ．于是 cos , （c d） | | | | = c d c d 15 17 17 = 15 17 = ． （2）由于 | | Pr jd c d d c ＝ ， 故 Pr j | | d = c d c d 15 15 17 17 17 = = ． 例 6 向量 c 垂直于向量 a = − (2,3, 1) 和 b = − (1, 2,3) ，并且满足条件 c − = − (2, 1,1) 6 ，试 求向量 c 的坐标． 分析 由于向量 c 同时垂直于向量 a 和 b ，则有 c a = 0 ，c b = 0 ，或 c a b // ． 解法 1 设 c = ( , , ) x y z ，由于 c 同时垂直于向量 a 和 b ，故 c a = 0 ，c b = 0， 即 2 3 0 x y z + − = ， 且 x y z − + = 2 3 0 ， 由 c − = − (2, 1,1) 6 ，得 2 6 x y z − + = − ． 将以上三式联立求解得 x =−3, y z = = 3 ,即 c = −( 3,3,3) ． 解法 2 设 c = ( , , ) x y z ， a b 2 3 1 1 2 3 = − − i j k = − − (7, 7, 7) ．由题意知 c a b // ，于是 7 7 7 x y z = = − − , 由 c − = − (2, 1,1) 6， 得 2 6 x y z − + = − ． 联立求解得 x =−3, y z = = 3 , 即 c = −( 3,3,3) ． 例 7 已知 a i = ，b j k = − 2 ，c i j k = − + 2 2 ,试求一单位向量 ,使得 ⊥ c ,且 与 a ， b 共面．
解设所求向量y=(化，y,),依题意，1y1,可得x2+y2+2=1:由y1c可得 yc=0,即2x-2y+:=0:由y与a,b共面可得[ab]=0,即 100 01-2=2y+:=0. x y 将上述三式联立解得 x号写=子或者x=号=片号 所以 y=533 例8已知点M到平面：=1的距离等于它到：轴的距离的2倍，又点M到点么，-1,0)的 距离为1，求点M的轨迹方程. 解设点M的坐标为(x,y,),则 -=2R+y 即 4x2+y2)=e-2. 又M4=1,即 x-2+0y+1+2=1 则所求轨迹曲线方程为 4x2+12)=(:-1) 1(x-2y2+0+2+:2=1. 例)求曲线：+3上=9绕：轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程 y=0 分析曲线化月=0绕x轴族转所得旋转曲面方程为：P+F)=0.因为曲线 :=0 上的点在旋转过程中有两个不变：一是横坐标x不变：二是所求曲面上的点到x轴的距离不 变，所以只需将y换成±√P+。一般地，求由某一坐标面上的曲线绕该坐标面上 的某一个坐标轴旋转而得旋转曲面方程的方法是：绕哪个坐标轴旋转，则原曲线方程中相应 的那个变量不变，而将曲线方程中另一个变量改写成该变量与第三个变量平方和的正负平方 根。 解法1设M,(%)是给定曲线上的一点，当曲线转动时，点Mo(,)转到
解 设所求向量 = ( , , ) x y z ，依题意, | | 1 = ，可得 2 2 2 x y z + + =1 ；由 ⊥ c 可得 = c 0 ，即 2 2 0 x y z − + = ；由 与 a ，b 共面可得 [ ] 0 ab = ，即 1 0 0 0 1 2 x y z − = + = 2 0 y z ． 将上述三式联立解得 2 3 x = ， 1 3 y = ， 2 3 z = − ，或者 2 3 x = − ， 1 3 y = − ， 2 3 z = ． 所以 2 1 2 ( , , ) 3 3 3 = − ． 例 8 已知点 M 到平面 z =1 的距离等于它到 z 轴的距离的 2 倍，又点 M 到点 (2,- 1,0) 的 距离为 1 ，求点 M 的轨迹方程． 解 设点 M 的坐标为 ( , , ) x y z ,则 2 2 z x y − = + 1 2 ， 即 2 2 2 4( ) ( 1) x y z + = − ． 又 MA =1 ，即 2 2 2 ( 2) ( 1) 1 x y z − + + + = , 则所求轨迹曲线方程为 2 2 2 2 2 2 4( ) ( 1) ( 2) ( 1) 1. x y z x y z + = − − + + + = 例 9 求曲线 2 2 3 9 0 x z y + = = 绕 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程． 分析 曲线 ( , ) 0 0 f x y z = = 绕 x 轴旋转所得旋转曲面方程为 2 2 f x y z ( , ) 0 + = ．因为曲线 上的点在旋转过程中有两个不变：一是横坐标 x 不变；二是所求曲面上的点到 x 轴的距离不 变，所以只需将 y 换成 2 2 + y z ．一般地，求由某一坐标面上的曲线绕该坐标面上 的某一个坐标轴旋转而得旋转曲面方程的方法是：绕哪个坐标轴旋转，则原曲线方程中相应 的那个变量不变,而将曲线方程中另一个变量改写成该变量与第三个变量平方和的正负平方 根． 解法 1 设 0 0 0 0 M x y z ( , , ) 是给定曲线上的一点，当曲线转动时，点 0 0 0 0 M x y z ( , , ) 转到
M(x,y,),由于：=。，而M,到：轴的距离不变， 2+y=k, 所以=±F+少，。=：，将它们代入曲线的第一个方程式，即得旋转曲面方程 x2+y2+32=9 解法2用公式，将曲线的第一个方程中的x以±√2+少严替换，即得所求的旋转曲面 方程为2+y+322=9 例10求球面x2+y2+2=9与平面x+:=1的交线在xOy面上的投影曲线的方程. 分析求空间曲线在坐标面上的投影曲线方程，一般是通过以下两步来完成，先求空间 曲线关于坐标面的投影柱面方程：然后求投影柱面与坐标面的交线即可.而求空间曲线关于 坐标面的投影柱面方程，例如曲线 ∫F(x,)=0 G(x.y=)=0 关于xOy坐标面的投影柱面方程是从 F(x.y,)=0 1Gx,y)=0 中消去：后所得方程H(x,y)=0.因此，在xO坐标面上的投影曲线方程即为 ∫H(x)=0 ==0 解从方程X+y2+2=9与x+:=1中消去：，得交线C关于xO面的投影柱面方程 2x2+y2-2x=8:所以交线C在x0面上的投影曲线方程为 2x2+y2-2x=8 1=0 例11设一个立体由上半球面：=V4-x-y和锥面：=√3x+y)所围成，求它在 xOy面上的投影. 解半球面和锥面的交线 c :=√x2+y 消去：后得投影柱面x2+y=1,则交线C在xO面上的投影为 「x2+y=1, 1:=0
M x y z ( , , ) ，由于 0 z z = ，而 M 0 到 z 轴的距离不变， 2 2 0 x y x + = , 所以 2 2 0 x x y = + ， 0 z z = ，将它们代入曲线的第一个方程式，即得旋转曲面方程 2 2 2 x y z + + = 3 9． 解法 2 用公式，将曲线的第一个方程中的 x 以 2 2 + x y 替换，即得所求的旋转曲面 方程为 2 2 2 x y z + + = 3 9． 例 10 求球面 2 2 2 x y z + + = 9 与平面 x z + = 1 的交线在 xOy 面上的投影曲线的方程． 分析 求空间曲线在坐标面上的投影曲线方程，一般是通过以下两步来完成，先求空间 曲线关于坐标面的投影柱面方程；然后求投影柱面与坐标面的交线即可．而求空间曲线关于 坐标面的投影柱面方程，例如曲线 ( , , ) 0 ( , , ) 0 F x y z G x y z = = 关于 xOy 坐标面的投影柱面方程是从 ( , , ) 0 ( , , ) 0 F x y z G x y z = = 中消去 z 后所得方程 H x y ( , ) 0 = ．因此，在 xOy 坐标面上的投影曲线方程即为 ( , ) 0 0 H x y z = = ． 解 从方程 2 2 2 x y z + + = 9 与 x z + = 1 中消去 z ，得交线 C 关于 xOy 面的投影柱面方程 2 2 2 2 8 x y x + − = ；所以交线 C 在 xOy 面上的投影曲线方程为 2 2 2 2 8 0 x y x z + − = = ． 例 11 设一个立体由上半球面 2 2 z x y = − − 4 和锥面 2 2 z x y = + 3( ) 所围成，求它在 xOy 面上的投影． 解 半球面和锥面的交线 2 2 2 2 4 : 3( ) z x y C z x y = − − = + ， 消去 z 后得投影柱面 2 2 x y + =1，则交线 C 在 xOy 面上的投影为 2 2 1 0 x y z + = =