三、典型例题解析 倒1设/)在处可导，求回+刊-3翅】 分析所求极限与(x)的定义式子很相似，则由f(x)的定义即可求解。 解回低+飞-3=m+-川-飞-3划 X =imf+f+3m-3-/ -3x =fx)+3f(x)=4f(x) 错误解答令，-3x=1,则x=3x+1, g-9-g+4-@-4p0 (1) =41imf"(%-3x)=4f'(x,). (2) 错解分析式(1)用到f(x)在点1的导数：式(2)用到f(x)在点x。连续.但是题目 只是给出∫x)在，处可导的条件，而f)在x,的邻域内是否可导以及了《(x)在x,处是否连 续都未知.所以上述做法中的式(1)与式(2)有可能不成立. 例2设fx)=p(a+bx)-p(a-bx),其中p(x)在(-o,+o)上有定义且在点a处可导.试 求f"0). 分析求函数在某一点的导数可以用导数的定义来求：也可先求导函数，然后求导函数 在该点的函数值，但在本题中函数fx)的可导性未知，故只能用定义来求. 解当60时，四二0=mu+a- iml(a+bx)-p(a)-[a-b)-o(a) blin a+hu)-()bi(a-h)-(a) =bp'(a)+bp'(a)=2bp'(a). 所以f'(0)=2bo(a). 当b=0时，fx)=0,f0)=0 综上所述，∫'(0)=2bo'(a. 例3设函数fx)=(x-a}o(x),其中p(x)的一阶导函数有界.求"(a). 分析求函数在某一点的二阶导数可以用导数的定义来求，但必须先求出一阶导数：也 可先求出二阶导函数，然后求二阶导函数在该点的函数值，但在本题中函数∫(x)的可导性 未知，故只能用定义来求 解由于fx)=2x-a)mx)+(x-apx),则有f(a=0.又
三、典型例题解析 例 1 设 f x( ) 在 0 x 处可导，求 0 0 0 ( ) ( 3 ) lim x f x x f x x → x + − − ． 分析 所求极限与 0 f x ( ) 的定义式子很相似，则由 0 f x ( ) 的定义即可求解． 解 0 0 0 ( ) ( 3 ) lim x f x x f x x → x + − − = 0 0 0 0 0 [ ( ) ( )] [ ( ) ( 3 )] lim x f x x f x f x f x x → x + − + − − = 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( 3 ) ( ) lim 3lim x x 3 f x x f x f x x f x → → x x + − − − + − = 0 0 f x f x ( ) 3 ( ) + = 0 4 ( ) f x ． 错误解答 令 0 x x t − = 3 ，则 0 x x t = + 3 ， 0 0 0 ( ) ( 3 ) lim x f x x f x x → x + − − = 0 ( 4 ) ( ) lim x f t x f t → x + − = 0 4lim ( ) x f t → （1） = 0 0 4lim ( 3 ) x f x x → − = 0 4 ( ) f x ． （2） 错解分析 式（1）用到 f x( ) 在点 t 的导数；式（2）用到 f x ( ) 在点 0 x 连续．但是题目 只是给出 f x( ) 在 0 x 处可导的条件，而 f x( ) 在 0 x 的邻域内是否可导以及 f x ( ) 在 0 x 处是否连 续都未知．所以上述做法中的式（1）与式（2）有可能不成立． 例 2 设 f x a bx a bx ( ) ( ) ( ) = + − − ，其中 ( ) x 在 ( , ) − + 上有定义且在点 a 处可导．试 求 f (0)． 分析 求函数在某一点的导数可以用导数的定义来求；也可先求导函数，然后求导函数 在该点的函数值，但在本题中函数 f x( ) 的可导性未知，故只能用定义来求． 解 当 b 0 时， 0 ( ) (0) lim x 0 f x f → x − − = 0 ( ) ( ) lim x a bx a bx x → + − − = 0 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim x a bx a a bx a x → + − − − − = 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x x a bx a a bx a b b bx bx → → + − − − + − = b a b a ( ) ( ) + = 2 ( ) b a ． 所以 f (0) = 2 ( ) b a ． 当 b = 0 时， f x( ) 0 = ， f (0) 0 = ． 综上所述， f (0) = 2 ( ) b a ． 例 3 设函数 2 f x x a x ( ) ( ) ( ) = − ，其中 ( ) x 的一阶导函数有界．求 f a ( ) ． 分析 求函数在某一点的二阶导数可以用导数的定义来求，但必须先求出一阶导数；也 可先求出二阶导函数，然后求二阶导函数在该点的函数值，但在本题中函数 f x ( ) 的可导性 未知，故只能用定义来求． 解 由于 2 f x x a x x a x ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) = − + − ，则有 f a( ) 0 = ．又
faa=24-w-aro国 x-4 -lim[2o(x)+(x-a)p(x)]=2p(a). 所以f"(a)=2p(a). 错误解答因为 f(x)=2(x-a)o(x)+(x-a)c(x) f"(x)=2x)+2(x-a)p(x)+2(x-ap(x+(x-ap(x), 所以"(a)=2oa). 错解分析此解法错误的根源在于(x)的一阶导函数有界并不能保证x)二阶可 导.而上述求解却要用到p(x). 注此题用到如下结论： a.有界量与无穷小的乘积仍为无穷小：b.可导必连续. 例4设的一阶导数在x=a处连续且一+@=1，则(。 A.x)在x=a处的二阶导数不存在. B.mf(x+a)一定存在。 c.f'(a)=l. D.f'(a)=2. 解因为吗x+@-,所以四了x+a)=0,由于f)在x=a处连续，故 fa)=0. 又因为一t@=mx+o=1,所以fra=1.选c (x+a)-a 例5设fx)在x=0的某个邻域内有定义，x、y为该邻域内任意两点且fx)满足条 件： (1)fx+)=fx)+f)+1: (2)f0)=1. 试证在上述邻域内(x)=1. 分析此处无法用求导公式和求导法则证明了(x)=1.由于(x)的表达式未给出，故 只能考虑从定义出发.如果用条件(2)，则需先求出f0). 证明因为f)在x=0的某个邻域内有定义，记该邻域为E,，则对任意x、y∈E 有f(x+)=f八x)+f)+1.令y=0,则fO)=-1.于是对任意xeE,当x+△r∈E及 AxeE时，考虑下列极限 m+A/@-+f+-f@ =-4- Ar
( ) ( ) lim x a f x f a → x a − − = 2 2( ) ( ) ( ) ( ) lim x a x a x x a x x a → − + − − = lim[2 ( ) ( ) ( )] x a x x a x → + − = 2 ( ) a , 所以 f a ( ) = 2 ( ) a ． 错误解答 因为 2 f x x a x x a x ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) = − + − ， 2 f x x x a x x a x x a x ( ) 2 ( ) 2( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) = + − + − + − ， 所以 f a ( ) = 2 ( ) a ． 错解分析 此解法错误的根源在于 ( ) x 的一阶导函数有界并不能保证 ( ) x 二阶可 导．而上述求解却要用到 ( ) x ． 注 此题用到如下结论： a．有界量与无穷小的乘积仍为无穷小；b．可导必连续． 例 4 设 f x( ) 的一阶导数在 x a = 处连续且 0 ( ) lim 1 x f x a → x + = ，则（ ）． A． f x( ) 在 x a = 处的二阶导数不存在． B． 0 lim ( ) x f x a → + 一定存在． C． f a ( ) 1 = ． D． f a( ) 2 = ． 解 因为 0 ( ) lim 1 x f x a → x + = ，所以 0 lim ( ) 0 x f x a → + = ，由于 f x ( ) 在 x a = 处连续，故 f a( ) 0 = ． 又因为 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim 1 ( ) x x f x a f a f x a → → x a a x + − + = = + − ，所以 f a ( ) 1 = ．选 C． 例 5 设 f x( ) 在 x = 0 的某个邻域内有定义， x 、 y 为该邻域内任意两点且 f x( ) 满足条 件： （1） f x y f x f y ( ) ( ) ( ) 1 + = + + ； （2） f (0) 1 = ． 试证在上述邻域内 f x ( ) 1 = ． 分析 此处无法用求导公式和求导法则证明 f x ( ) 1 = ．由于 f x( ) 的表达式未给出，故 只能考虑从定义出发．如果用条件（2），则需先求出 f (0) ． 证明 因为 f x( ) 在 x = 0 的某个邻域内有定义，记该邻域为 E ，则对任意 x 、 y E ， 有 f x y f x f y ( ) ( ) ( ) 1 + = + + ．令 y = 0 ，则 f (0) 1 = − ．于是对任意 x E ，当 x x E + 及 x E 时，考虑下列极限 0 ( ) ( ) lim x f x x f x → x + − = 0 [ ( ) ( ) 1] ( ) lim x f x f x f x → x + + − = 0 ( ) ( 1) lim x f x → x − − = 0 ( ) (0) lim x f x f → x −
="(0)=1, 故f(x)=1,x∈E. 例6(04研)设函数fx)连续，且f"0)>0,则存在8>0，使得（) A.f(x)在(0,6)内单调增加. B.fx)在(-6,0)内单调减少. C.对任意的xe(0,)有fx)>f) D.对任意的x∈(-d,0)有fx)>f0) 解由导数定义知 f0=g0,0 根据极限的保号性，知存在6>0，当x∈(-6,0U(0,)时，有 fx-f@>0. 因此 当x∈(-6,0)时，有fx)<f0):当xe0,时，有fx)>f0),故选C. 注函数∫x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，题设告诉函数在一点 可导时，一般应联想到用导数的定义进行讨论。 例7设不恒为零的奇函数∫x)在x=0处可导.试说明x=0为函数四的哪一类间 断点 解由题设知f-x)=-f),令x=0可得f0)=0.则 =型。0 于是八)在x=0处有极限.从而x=0是的可去间断点 例8设函数fx)可导，F(x)=fxI+sin,则f(O=0是F(x)在x=0处可导的 ( A.充分必要条件】 B.充分条件但非必要条件 C.必要条件但非充分条件. D.既非充分条件又非必要条件. 分析F(x)表达式中含有绝对值符号，又要考查函数在一点的导数的存在性，因此要 考虑函数的左右导数. 解由导数定义 Fo=lmF50. x-0 知 R0=e0-g-n-0 m/0-m x= =(0)-f0)=f'o)-f0), 50=-0-g+n-@ r0
= f (0) =1， 故 f x ( ) 1 = ， x E ． 例 6（04 研） 设函数 f x( ) 连续，且 f (0) 0 ，则存在 0 ，使得（ ）． A． f x( ) 在 (0, ) 内单调增加． B． f x( ) 在 ( ,0) − 内单调减少． C．对任意的 x(0, ) 有 f x f ( ) (0) ． D．对任意的 x −( ,0) 有 f x f ( ) (0) ． 解 由导数定义知 0 ( ) (0) (0) lim 0 x 0 f x f f → x − = − ． 根据极限的保号性，知存在 0 ，当 x −( ,0) (0, ) 时，有 ( ) (0) 0 f x f x − ． 因此 当 x −( ,0) 时，有 f x f ( ) (0) ；当 x(0, ) 时，有 f x f ( ) (0) ，故选 C． 注 函数 f x( ) 只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，题设告诉函数在一点 可导时，一般应联想到用导数的定义进行讨论． 例 7 设不恒为零的奇函数 f x( ) 在 x = 0 处可导．试说明 x = 0 为函数 f x( ) x 的哪一类间 断点． 解 由题设知 f x f x ( ) ( ) − = − ，令 x = 0 可得 f (0) 0 = ．则 0 ( ) lim x f x → x = 0 ( ) 0 lim x 0 f x → x − − = f (0) ， 于是 f x( ) x 在 x = 0 处有极限．从而 x = 0 是 f x( ) x 的可去间断点． 例 8 设函数 f x( ) 可导， F x f x x ( ) ( )(1 sin ) = + ，则 f (0) 0 = 是 F x( ) 在 x = 0 处可导的 （ ）． A．充分必要条件 ． B．充分条件但非必要条件． C．必要条件但非充分条件． D．既非充分条件又非必要条件． 分析 F x( ) 表达式中含有绝对值符号，又要考查函数在一点的导数的存在性，因此要 考虑函数的左右导数． 解 由导数定义 0 ( ) (0) (0) lim x 0 F x F F → x − = − ， 知 0 0 ( ) (0) ( )(1 sin ) (0) (0) lim lim x x 0 F x F f x x f F x x − → → − − − − − = = − 0 0 ( ) (0) ( )sin lim lim x x 0 f x f f x x x x → → − − − = − − f f f f (0) (0) (0) (0) − = − = − ， 0 0 ( ) (0) ( )(1 sin ) (0) (0) lim lim x x 0 F x F f x x f F x x + → → + + − + − = = −
=f0)+fo)=f"(o)+f0) 可见F'O)存在口F(O)=F0),即fO)=0故选A, 例9(01研)设f0)=0,则fx)在点x=0可导的充要条件为(). A.四存f0-co)存在. B.四方f0-e)存在. C.m不f仙-sin)存在 D.m/2-f例存在 分析本题主要考查导数的定义，另外也考查了某些无穷小量的阶以及它们的正负号。 解注意到1-cosh≥0，且1im1-cosh)=0. 如果四存f0-cos存在.则 四Ff0-co=g[-eof@.上eo】 1-cosh-0 0 (cosh) 4-0 所以A成立只保证(O)存在，而不是∫"O)存在的充分条件. 如果1mf0-)存在，则 -内-20 20 =←m二0.-0， 4-0 故B是∫”(O)存在的充要条件. 对于C, (-sinh)=1(hsin )(0).-sinth h-sinh-0 h 注意到甲.0，所以若了O存在，则由右边擦知左边受限存在且为零。若左边极限 存在，则由 京fh-sih) f(h-sinh)-f(0) h-sinh h-sinh h 知上式左边极限可能不存在，故∫O)可能不存在】 至于D
f f f f (0) (0) (0) (0) + = + = + ， 可见 F(0) 存在 F F (0) (0) − + = ，即 f (0) 0. = 故选 A． 例 9（01 研） 设 f (0) 0 = ，则 f x( ) 在点 x = 0 可导的充要条件为（ ）． A． 2 0 1 lim (1 cosh) h f → h − 存在． B． 0 1 lim (1 ) h h f e → h − 存在． C． 2 0 1 lim ( sinh) h f h → h − 存在． D． 0 1 lim [ (2 ) ( )] h f h f h → h − 存在． 分析 本题主要考查导数的定义，另外也考查了某些无穷小量的阶以及它们的正负号． 解 注意到 1 cosh 0 − ，且 0 lim(1 cosh) 0 h→ − = ． 如果 2 0 1 lim (1 cosh) h f → h − 存在．则 2 2 0 0 1 (1 cosh) (0) 1 cosh lim (1 cosh) lim h h 1 cosh 0 f f f → → h h − − − − = − − 2 0 0 (1 cosh) (0) 1 cosh lim lim h h 1 cosh 0 f f → → h − − − = − − 0 0 1 (1 cosh) (0) 1 ( ) (0) 1 lim lim (0) 2 1 cosh 0 2 0 2 h u f f f u f f u + + → → − − − = = = − − − ． 所以 A 成立只保证 f (0) + 存在，而不是 f (0) 存在的充分条件． 如果 0 1 lim (1 ) h h f e → h − 存在，则 0 0 1 (1 ) (0) 1 lim (1 ) lim 1 0 h h h h h h f e f e f e → → h e h − − − − = − − 0 0 (1 ) (0) 1 lim lim 1 0 h h h h h f e f e → → e h − − − = − − 0 ( ) (0) ( 1)lim (0) u 0 f u f f → u − = − = − − ， 故 B 是 f (0) 存在的充要条件． 对于 C， 2 2 1 ( sinh) (0) sinh ( sinh) sinh 0 f h f h f h h h h − − − − = − − ， 注意到 2 0 sinh lim 0 h h → h − = ，所以若 f (0) 存在，则由右边推知左边极限存在且为零．若左边极限 存在，则由 2 2 1 ( sinh) ( sinh) (0) sinh sinh f h h f h f h h h − − − = − − 知上式左边极限可能不存在，故 f (0) 可能不存在． 至于 D
m/2-f1=片2)-fo)-fo 若(0)存在，上述右边拆项分别求极限均存在，保证了左边存在。而左边存在，不能保证 右边拆项后极限也分别存在。故选B 例10(99研)设f(x)=了V: 0,中8国是有界数，则在0处 x2g(x),x≤0 A.极限不存在。B.可导.C.连续但不可导.D.极限存在但不连续. 解由于 @0=mg8-0=0. x-0 停00-e器0-0 x-0 故选B。 f(a+-) 例11已知)在x=a处可导且/@>0.求 分析题目条件是fx)在x=a处可导，必然有f(x)在x=a处连续，从而可知该极限 风于华因在：=a处可号.则 fa+白-fa lim =f'(a) 且当n充分大时/+>0.故 a+马 liml- ar-epgah f(a) =exp(limn.- f(a) f(a+)-f(a)1 1-m 注此题用到当x→0时，n1+x)-x. 例12讨论函数f)=xxx-川的可导性
0 0 1 1 1 lim [ (2 ) ( )] lim ( (2 ) (0)) ( ( ) (0)) h h f h f h f h f f h f → → h h h − = − − − ， 若 f (0) 存在，上述右边拆项分别求极限均存在，保证了左边存在．而左边存在，不能保证 右边拆项后极限也分别存在．故选 B． 例 10（99 研） 设 2 1 cos , 0 ( ) ( ), 0 x x f x x x g x x − = ，其中 g x( ) 是有界函数，则 f x( ) 在 x = 0 处 （ ）． A．极限不存在． B．可导． C．连续但不可导． D．极限存在但不连续． 解 由于 0 ( ) (0) lim x 0 f x f x → − − − = 2 0 ( ) lim x x g x x → − = 0 = f (0) − ， 0 ( ) (0) lim x 0 f x f x → + − − = 0 1 cos lim x x x x → + − = 0 = f (0) + ， 故选 B． 例 11 已知 f x( ) 在 x a = 处可导且 f a( ) 0 ．求 1 ( ) lim[ ] ( ) n n f a n → f a + ． 分析 题目条件是 f x( ) 在 x a = 处可导，必然有 f x( ) 在 x a = 处连续，从而可知该极限 属于 1 型． 解 f x( ) 在 x a = 处可导．则 1 ( ) ( ) lim ( ) n 1 f a f a n f a n → + − = 且当 n 充分大时 1 f a( ) 0 n + ．故 1 ( ) lim[ ] ( ) n n f a n → f a + = 1 ( ) exp{lim ln } ( ) n f a n n → f a + = 1 ( ) ( ) exp{lim ln[1 ]} ( ) n f a f a n n → f a + − + = 1 ( ) ( ) exp{lim } ( ) n f a f a n n → f a + − = 1 ( ) ( ) 1 exp{lim } 1 ( ) n f a f a n f a n → + − = ( ) exp{ } ( ) f a f a ． 注 此题用到当 x → 0 时， ln(1 ) + x x ． 例 12 讨论函数 f x x x x ( ) | ( 1) | = − 的可导性．