三、典型例题解析 例1求函数==n0-x21-y2】与2=n0-x1+y川+ln0+xX1-叨的定义域，并 判断它们是否为同一函数。 解由0-x21-y2)>0,即 88 求得：，的定义域为D={xy<1川<1或>1b>1. 由侣训物8求得的定义线为 D={x,y<1y<1或x<-ly>1或x>1y<- 由于D,仅是D的一部分，所以：、，不是同一个函数. 注求比较复杂的二元函数的定义域，一般先由基本初等函数的定义域列出所有条件， 再解相应的联立不等式组，通常将其化简至有明显的几何意义即可. 例2设功-高，试求x}m 2xy ÷里 2.y x V k/明=-y 2f(x,) 2x.2 4x2x2-y) 2xy 例3若x+=-少，求0 [x+y=u y* 所以x功=卫0*- 1+y
三、典型例题解析 例 1 求函数 2 2 1 z x y = − − ln[(1 )(1 )] 与 2 z x y x y = − + + + − ln[(1 )(1 )] ln[(1 )(1 )] 的定义域，并 判断它们是否为同一函数． 解 由 2 2 (1 )(1 ) 0, − − x y 即 2 2 2 2 1 0 1 0 , , 1 0 1 0 x x y y − − − − 或 求得 1 z 的定义域为 1 D x y x y x y = {( , ) 1, 1 1, 1}. 或 由 (1 )(1 ) 0 , (1 )(1 ) 0 x y x y − + + − 求得 2 z 的定义域为 D x y x y x y x y 2 = − − ( , ) 1, 1 1, 1 1, 1} 或 或 ． 由于 D2 仅是 D1 的一部分，所以 1 z 、 2 z 不是同一个函数． 注 求比较复杂的二元函数的定义域，一般先由基本初等函数的定义域列出所有条件， 再解相应的联立不等式组，通常将其化简至有明显的几何意义即可． 例 2 设 2 2 ( , ) , 2 x y f x y xy − = 试求 1 1 f y x f f x f x y ( , ), , [ , ( , )] x y − 及 ． 解 2 2 2 2 ( ) ( , ) 2( ) 2 y x x y f y x y x xy − − − − = = − ， 2 2 2 2 1 1 1 1 , 1 1 2 2 x y y x f x y xy x y − − = = ， 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) 4 ( ) 2 [ , ( , )] 2 ( , ) 4 ( ) 2 2 x y x x f x y x y x y xy f x f x y xf x y x y x y x y x xy − − − − − = = = − − ． 例 3 若 2 2 , , y f x y x y x + = − 求 f x y ( , ) ． 解 令 x y u y v x + = = 解得 1 1 u x v uv y v = + = + ，于是 2 2 2 (1 ) ( , ) 1 1 1 u uv u v f u v v v v − =−= + + + ， 所以 2 (1 ) ( , ) ( 1). 1 x y f x y y y − = − +
例4讨论m是否存在。 解当点Px)沿直线y=:趋向(0,0)时， 思兴，=德-点0小 当点P(x,y)沿曲线y=X-x趋向(0,0)时， 学品归妈只， 所似心号不存在 解此题时易犯的几种错误： 1 错误解法1 错解分析错误在于认为一（上}，其实并丰如此。 错误解法2因为分子为y,分母为x+y,分子是比分母高阶的无穷小，所以极限为 零. 错解分折其实亦不然，例知当c)沿=小+造于@0时，是，趋于 错误解法3，0。 错解分析这里的错误是(x,)→(0,0)没同时进行，先让y→0，再让x→0，这是另外 一种意义下的极限，即二次极限。 错误解法4令x=pcos8,y=psin8,当（化，）→(0,0)时，p→0， o2 cososino pcos0sin0 错解分析此解法错在：在p→0的过程中没把0看作变量，在求(x,)→(0,0)的极 限时，往往可作变换x=pcos0,y=psin0,原极限就转化为二元变量(p,)的函数当p→0 时的极限，这里应注意p、0都为变量，即在p→0的过程中，0也在变（若0不变而p→0 相当于点(x)沿某条射线趋向于(0,0). 注1在二重极限mx,)=A的定义中，要求（化）沿任何路径趋于(3，) 时，fx,)都要趋于A,因此，通常在证明该极限不存在时，选取两条不同的趋于()的 路径，当(x,y)沿这两条路径趋于（氏，）时，fx,)趋近于不同的值，即可说明极限不存 在。但是如果选取几条不同路径，即使每条沿(：，%)出发的路径趋于（化）时，x,)均 趋于同一值，也不能确保该极限存在，如例4
例 4 讨论 ( , ) (0,0) lim x y xy → x y + 是否存在 ． 解 当点 P x y ( , ) 沿直线 y kx = 趋向 (0,0) 时， 0 0 0 lim lim lim 0 ( 1) y kx x x 1 x xy x kx kx k = → → x y x kx k → = = = − + + + ， 当点 P x y ( , ) 沿曲线 2 y x x = − 趋向 (0,0) 时， 2 2 2 0 0 0 ( ) 1 lim lim lim 1 y x x x x ( ) 1 x xy x x x x = − x y x x x → → → − − = = = − + + − ， 所以 ( , ) (0,0) lim x y xy → x y + 不存在． 解此题时易犯的几种错误： 错误解法１ ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 1 lim lim 0 x y x y 1 1 xy x y y x → → = = + + ． 错解分析 错误在于认为 ( , ) (0,0) 1 1 lim x y → y x + = ，其实并非如此． 错误解法２ 因为分子为 xy ，分母为 x y + ，分子是比分母高阶的无穷小，所以极限为 零． 错解分析 其实亦不然，例如当 ( , ) x y 沿 3 x t y t t = = − + , 趋于 (0,0) 时， xy x y + 趋于 ． 错误解法３ ( , ) (0,0) 0 0 0 0 lim lim lim 0 x y x x 0 xy x → → → x y x x = = = + + ． 错解分析 这里的错误是 ( , ) (0,0) x y → 没同时进行，先让 y → 0, 再让 x → 0 ，这是另外 一种意义下的极限，即二次极限． 错误解法４ 令 x y = = cos , sin , 当 ( , ) (0,0) x y → 时， → 0, 2 ( , ) (0,0) 0 0 cos sin cos sin lim lim lim 0 x y (cos sin ) cos sin xy x y → → → = = = + + + ． 错解分析 此解法错在：在 →0 的过程中没把 看作变量，在求 （x y, ）→（0,0） 的极 限时，往往可作变换 x y = = cos , sin , 原极限就转化为二元变量 ( , ) 的函数当 →0 时的极限，这里应注意 、 都为变量，即在 →0 的过程中， 也在变（若 不变而 →0 相当于点 ( , ) x y 沿某条射线趋向于 (0,0) ）． 注 1 在二重极限 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y f x y A → = 的定义中，要求 ( , ) x y 沿任何路径趋于 0 0 ( , ) x y 时， f x y ( , ) 都要趋于 A，因此，通常在证明该极限不存在时，选取两条不同的趋于 0 0 ( , ) x y 的 路径，当 ( , ) x y 沿这两条路径趋于 0 0 ( , ) x y 时， f x y ( , ) 趋近于不同的值，即可说明极限不存 在．但是如果选取几条不同路径，即使每条沿 0 0 ( , ) x y 出发的路径趋于 0 0 ( , ) x y 时， f x y ( , ) 均 趋于同一值，也不能确保该极限存在，如例 4．
注2二元函数的极限与一元函数的极限既有区别又有联系，请看例5. 例5求下列二元函数的极限 （1)m+y): 牌5 (3)cs) (x+3y) 分析(1)此类极限类似一元函数极限中的1型，可考虑转化为一元函数的极限来求 解：(2)可用夹逼定理米求：(3)可用变量代换 解Dm0+F=m0+gr=m0+列'=e=e. (2)因为x+y≥2x2y2,所以 则原非+引0，根指夫通定里，角原号=0. (3)令x=pcos8,y=psin8,则当x→0，y→0时，p=√R+y→0.于是 ht五-gPe0ta00@ (x2+3y2 p'(1+2sin0) sin2号 1+2sin29 因 o0ma p 故m+eF+西o. (x2+3y2y 例6时论番数：一，的连续性及间断点 1 解：是初等函数，因此当sinxsiny≠0，即x≠kπ且y≠k,T(k,k∈Z)时，函数连 续.函数的间断点的集合为 {xyx=k元，y∈R或kπ，x∈Rk,k∈Z}
注 2 二元函数的极限与一元函数的极限既有区别又有联系，请看例 5． 例 5 求下列二元函数的极限 （1） 1 ( , ) (0,1) lim (1 ) x x y xy → + ； （2） 2 2 4 4 ( , ) ( , ) lim x y x y → x y + + ； （3） 3 3 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( )(1 cos ) lim ( 3 ) x y x y x y → x y + − + + ． 分析 （1）此类极限类似一元函数极限中的 1 型，可考虑转化为一元函数的极限来求 解；（2）可用夹逼定理来求；（3）可用变量代换． 解 （1） 1 1 1 1 lim 1 ( , ) (0,1) ( , ) (0,1) ( , ) (0,1) lim (1 ) lim [(1 ) ] [lim (1 ) ]y y xy xy y x x y x y x y xy xy xy e e → → → → + = + = + = = ． （2） 因为 4 4 2 2 x y x y + 2 ，所以 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 1 1 1 0 2 2 x y x y x y x y x y + + + + ， 则 2 2 ( , ) ( , ) 1 1 1 lim 0 x y → 2 x y + = ，根据夹逼定理，得 2 2 4 4 ( , ) ( , ) lim 0 x y x y → x y + = + ． （3） 令 x y = = cos , sin , 则当 x y → → 0, 0 时， 2 2 = + → x y 0 ．于是 3 3 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( )(1 cos ) lim ( 3 ) x y x y x y → x y + − + + = 3 3 3 4 2 2 0 (cos sin )(1 cos ) lim (1 2sin ) → + − + 2 3 3 2 2 0 sin 2 cos sin 2lim (1 2sin ) → + = + ． 因 2 0 sin 2 lim 0 → = ， 3 3 3 3 2 2 cos sin cos sin 2 (1 2sin ) + + + ， 故 3 3 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( )(1 cos ) lim ( 3 ) x y x y x y → x y + − + + =0． 例 6 讨论函数 1 sin sin z x y = 的连续性及间断点． 解 z 是初等函数，因此当 sin sin 0 x y ，即 1 x k 且 2 1 2 y k k k Z ( , ) 时，函数连 续．函数的间断点的集合为 ( , ) , , , x y x k y R y k ,x R k k Z = 1 2 1 2 或 = ．
1 可见函数：一mm,的图形是有很多“缝”的曲面，其间断点集是纵横交错的直线。 例7求适数化-m0的间断点 0,y=0 解当y≠0时，fx,)=xsin'连续. 对y=0(即x轴)上的点（化0，若60，由于m在川=0而 功=气m时 不存在因此，x)在(，0（≠0）处不存在极限。对于点0,0)，由于 c川sm, 因此，im。x)=0=f0,0),即fx,)在(0,0)处连续.因此，fx,)的间断点的集合 D={x,yy=0,x≠0. 注一切多元初等函数在其定义区域（所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区 域)内均连续，因此不连续点（即间断点）往往出现在分段函数的分界点处。 例8设x,)=√F+少，试讨论该函数在R上偏导数的存在性，在偏导数存在处 求出偏导数. 解当(x)≠(0,0)时， 2y 功+方 当(x)=0,0)时，由于 9000-9兰-1g0/00-四兰- 因此，x,)在点0,0)关于x的偏导数不存在，而 -0”,00=5=0, 即fx,)在点(0,0)关于y的偏导数存在，且？0,0)=0.故 「23 不存在，Gx,y)=0,0) 0, (x,y）=0,0)
可见函数 1 sin sin z x y = 的图形是有很多“缝”的曲面，其间断点集是纵横交错的直线． 例 7 求函数 1 sin , 0 ( , ) 0, 0 x y f x y y y = = 的间断点． 解 当 y 0 时， 1 f x y x ( , ) sin y = 连续． 对 y = 0 （即 x 轴）上的点 0 ( ,0) x ，若 0 x 0 ，由于 0 0 lim ( , ) 0, x x y f x y → = = 而 0 0 0 0 1 lim ( , ) lim sin y y x x f x y x → → y = = 不存在．因此， f x y ( , ) 在 0 0 ( ,0)( 0) x x 处不存在极限．对于点 (0,0) ，由于 1 f x y x x ( , ) sin y ， 因此 ( , ) (0,0) lim ( , ) 0 (0,0) x y f x y f → = = ，即 f x y ( , ) 在 (0,0) 处连续．因此， f x y ( , ) 的间断点的集合 是 D x y y x = = {( , ) 0, 0}. 注 一切多元初等函数在其定义区域（所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区 域）内均连续，因此不连续点（即间断点）往往出现在分段函数的分界点处． 例 8 设 2 4 f x y x y ( , ) = + ，试讨论该函数在 2 R 上偏导数的存在性，在偏导数存在处 求出偏导数． 解 当 ( , ) (0,0) x y 时， 2 4 ( , ) x x f x y x y = + ， 3 2 4 2 ( , ) y y f x y x y = + ． 当 ( , ) (0,0) x y = 时，由于 0 0 ( ,0) (0,0) lim lim 1, x x f x f x x x → → + + − = = 0 0 ( ,0) (0,0) lim lim 1 x x f x f x x x → → − − − = = − ． 因此， f x y ( , ) 在点 (0,0) 关于 x 的偏导数不存在，而 2 0 0 (0, ) (0,0) lim lim 0 y y f y f y → → y y − = = ， 即 f x y ( , ) 在点 (0,0) 关于 y 的偏导数存在，且 (0,0) 0 y f = ．故 2 4 , (0,0) ( , ) , (0,0) x x x y f x y x y x y = + ，( ) 不存在， ( )= ， 3 2 4 2 , (0,0) ( , ) , (0,0) y y x y f x y x y x y = + = ，( ) 0， ( ) ．
注易知fx,)=√F+少在点(0,0)处连续，而其偏导数可以不存在，在一元函数中 亦有类似的现象。但是对一元函数有“可导一定连续”的结论，对于多元函数，偏导数存在 并不能保证函数连续，甚至函数可以在该点不存在极限.这是因为偏导数仅刻画了函数沿坐 标轴方向的变化情况，而函数的极限存在或连续则要求沿不同路径变化时函数有相同的极 限，下面以x,)在点（伍，%）处存在偏导数为例进行具体分析.由于 =▣+-心，W=回匹5±匹园 即有 f(x+△x,%)-f（,%)=f(x,%)△r+a,Ar, f6⅓+)-fx0)=x4y+a,4y, 其中im4=0,m%,=0, 由此有 limf(xo+Ax,yo)=f(xo-yo).lim f(xo.yo+Ay)=f(xo.Yo). 这说明：x,)在点（化，）处存在偏导数，只能保证f八x,)在点（化，）处沿x方向和y方 向的连续性，而f(化)在点(，%)处连续，即 m03+A,6+Ay)=f,%), 要求,)在点(，)处沿不同路径均连续，因此偏导数存在不能导出函数连续 例求下列的偏导数会和号 (1)=xy-yx: (2):=√n(: (3)==sin(xy)+cos'(x): (4)Ξ=(1+y 解w会-户，等-可 (2)-1.1y1 11 本2网y2x√nm'2my2Wn (3)年=-[cos(y+24cosg-sin=ycos(o）-ysin2. 同理，克-xo)-sn2. (4)解法1两边取对数得lnz=yln1+y),因此 鉴中 接++y
注 易知 2 4 f x y x y ( , ) = + 在点 (0,0) 处连续，而其偏导数可以不存在，在一元函数中 亦有类似的现象．但是对一元函数有“可导一定连续”的结论，对于多元函数，偏导数存在 并不能保证函数连续，甚至函数可以在该点不存在极限．这是因为偏导数仅刻画了函数沿坐 标轴方向的变化情况，而函数的极限存在或连续则要求沿不同路径变化时函数有相同的极 限，下面以 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处存在偏导数为例进行具体分析．由于 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim , x x f x x y f x y f x y → x + − = 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) y ( , ) lim y f x y y f x y f x y → y + − = ， 即有 0 0 0 0 0 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) x f x x y f x y f x y x x + − = + ， 0 0 0 0 0 0 2 ( , ) ( , ) ( , ) y f x y y f x y f x y y y + − = + ， 其中 1 0 lim 0 x → = ， 2 0 lim 0 y → = ， 由此有 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim ( , ) ( , ), lim ( , ) ( , ) x y f x x y f x y f x y y f x y → → + = + = ． 这说明： f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处存在偏导数，只能保证 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处沿 x 方向和 y 方 向的连续性，而 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处连续，即 0 0 0 0 ( , ) (0,0) lim ( , ) ( , ) x y f x x y y f x y → + + = ， 要求 f x y ( , ) 在点 0 0 ( , ) x y 处沿不同路径均连续，因此偏导数存在不能导出函数连续． 例 9 求下列函数的偏导数 z x 和 z y ： （1） 3 3 z x y y x = − ； （2） z xy = ln( ) ； （3） 2 z xy xy = + sin( ) cos ( ) ； （4） (1 )y z xy = + ． 解 （1） 2 3 3 z x y y x = − ， 3 2 3 z x xy y = − ． （2） 1 1 1 2 ln( ) 2 ln( ) z y x xy xy x xy = = ， 1 1 1 2 ln( ) 2 ln( ) z x y xy xy y xy = = ． （3） [cos( )] 2[cos( )] [ sin( )] cos( ) sin(2 ) z xy y xy xy y y xy y xy x = + − = − ． 同理， cos( ) sin(2 ) z x xy x xy y = − ． （4）解法 1 两边取对数得 ln ln(1 ) z y xy = + ，因此 1 1 z y y z x xy = + 1 ln(1 ) 1 z x xy y z y xy = + + + 即