1.明确规定边界上各未知数的显式数值 2规定一些约束方程,这些方程是结点参量的线性组合。 使这种边界条件都满足的各种方法将在82节中提出.另 一种边界条件是在一个单元或几个单元上作用有边界通量或边界 表面力当单元受有这种边界约束时,此约束就使该单元的单元方 阵和(或者)单元列阵增添一些附加项。因此,尽管这种( Neumann 型)边界条件确实进入了系统方程组,但它们的存在在系统级上却 可能并不明显。边界通量条件将在42节和112节中讨论。还有 其他一些应用实例往往需要在系统方程的列向量中规定和输入初 始项。例如,在结构力学中,任意外加集中结点力可以直接读人系 统的列矩阵中,然后在程序内部计算所得的任何附加载荷项就都 应加到指定载荷的初始集中 以上条件都得到满足后,就要求解系统方程组,所选方法应能 利用该问题的稀疏性和对称性。这样做,可以使解题讨所需的计 算次数大为降低(可减少90%或更多).求解系统方程组最常 用的方法有三种:(1)Gas8消去法,(2) Cholesky因式分解法, (3) Gauss-Choleski因式分解法 这三种方法的相对优缺点将在91节中讨论。本书程序用的 是内存解法。然而,对解非常大型的方程组一定要用外存解法程 序,所以在有关文献中对此有所讨论图16画出了矩阵S的两 种存储方式以供比较,一种是全带宽存储,另一种是紧凑带宽存 储.图中的那些D,C,R和句点表示非零元素.请注意各行R仍 然是行,但各列C不再是列。各行的最后一个句点指出该行的带 宽位置。系统中的最大带宽确定将存储半带宽S用的数组的大 小 自方程式(12)解出未知结点参数后,般要输出参数D.在 有些情况下,做到这一步问题就算是完成了。但在某些情况下要 用已算出的结点参数值,进而汁算其他有用的参量,例如,在应力 分析中,用算出的结点位移求应力和应变.当然,这些二次计算 也要以某种方式输出.这类技术通常称为后处理
D-对角线 e-列 丹-行 NDFREE -MAXBAN B c D C L RRPD RRRR cccc DDoDDoDDoDDpDDoDDD a)全静 )紧净 图1.6系统矩阵X的存倩 134其他的考虑因亲 以上所讨论的问题,最后得出的都是线性代数方程式.在典 型的有限元法中,也可能提出其他的计算问题,其中包括特征值问 题、时间积分算法、非线性问题等。这些课题都有专门的书籍进行 讨论,在本书中我们只稍加叙述 有限元法也经常引出另一个有关问题,这就是数据生成问题 有限元法的一个缺点是所需数据量可能很大。针对几何形状很复 杂的区域,要求能逼真地近似表达边界形状,再加上希望使用细密 网络,这样一来,就髂要使用大量的结点和单元。要确定这种大量 结点和单元的位置是一件费时的工作,而且产生人为错误的概率 很高。在解大型实际问题所需的总成本和总时间中,数据的准备 和估值所占的比例可高达百分之三十到四十.为减少数据准备工 作并减小出错的概率,已经矸制出几种方案使得可以自动生成所
需的数据.然而,迄今为止,并没有找到最佳解决办法.第十三章 将提供一种可用的方法。 4解析例题 为了复习以上引人的初步概念,考虑下面的问题,可以将它当 作-一个解析例题。要研究的问題是在封闭域 x∈ 0,L 上的微分方程 d2 Q-0 所受边界条件为 d )〓1及-(0) 从问题的变分提法可得出对应的基本积分式,以求出有限元模型 对本例,变分提法为:若函数t满足强制性边界条件 r(L)一 且使泛函 [(di/dx)2-2iQ ]dr+gr(0) 取极小值,则r能满足方程式(15)和(1.6),在有限元模型中,有 NE个单元的贡献和NB个边界区段的贡献,假设r是这两种贡 献的总和,则 ∑|+∑1 式中NB〓】且=q(0),而一个典型单元的贡献为 [(dro/dx)2-2gne]d 式中P是单元的长度。要算出这样一个典型单元的献,必须
采用一套插值函数H,使得 )=H(x)T一TrH 及 dre d he T ae T dher d dx x 式中T表示单元e的r在结点处的数值.所以,一个典型单元 的贡献是 Terete- TeTC (1.10) 式中 d He? dh r dr dx 及 @Hed 若区间I0,L]包含M个结点使得以(0)一T1以及(L)=TM 则非强制(即自然)边界项为 TbTC- Tq 显然,单元的自由度T和边界自由度Tb都是未知参数总向量 T的子集,TsT及TcT。当然,T通常是T的子集 即Tcr,且在高维数的问题中HH)。此处的要点是 I(T),这一实际情况在方程(18)的求和以及在求极小值时必须 加以考虑。把子集关系考虑进去,这仅仅是个簿记问题。后面我 们将证明,以上所述可使方程(1.8)写成 TTST=TTC 式中 s BeEbE C> BetC +Bt
俪且式中B表示一系列符号的簿记运算.求和和簿记合在一起, 通常称之为组装过程。往往把组装只写成是求利(这种做法是不 正确的)并没有研究出一种公认的符号来代表这些运算 很容易讯門,使Ⅰ〓(T)取极小值就得出 a1aTm0=ST-C 这就悬基本代数方程,用来求解未知结点参数T为了具体说明 起见,考虑一个线性插值单元,每一单元结点数为N一2,若单 元长为F〓x2-x1,则单元的插值为 H(x)[(x2-x)/F(x-x)| 所以 [-1/1/ 因此,单元的方阵很简单,为 1,13 而单元的列阵是 c x 设Q一Q是个常数,列阵就简化成 (114) 当Q=Q0时,原问题的正确解是 r(x)=1+q(x-L)+Q(L2-x)/2(115) 既然当Qo≠0时正确解是二次式,而所选的单元又是线性的,所 以我们的有限元模型只能得出近似解然而,对齐次问题Q-0, 此模型能够(而且的确是)得出正确解.为了把有限元解与正确解 进行比较,选一个两单元模型。设单元长相等,F〓L/2,则两 单元的单元矩阵相同 组装后得出ST=C为 ◆15