点有6个自由度(即M=5,NE冖4,NGm6,N一2)。系统 总共有30个自由度,要确定此系统4号结点(I-4)第5个参数 的自由度号码、利用式(1.1),所得结果为NDF〓6(4-1)+5 23,这就是所对应的系统自由度号.对于第3个单元来说,系统 自由度号23对应的是局部自由度号11而对第4个单元来说,对 应的是局部自由度号5。因此,我们可以看出有两个不同的单元 方程组的部分对第23号系统方程式有贡献。 封点号 单元号 2 2 14 26 站点自由度号3 2了 10 16 22 28 5 12 图12目由度号的计算 除了上述这些常数外,还需确定该课题的空间维数,例如用 SPACE表示.从讨论过程中可以看出,利用这些参量来计算在 分析中所生成的矩阵需要多大的储存量。请读入课题数据的实际程 序将在以后讨论 必须提供数据以便确定每一结点的空间坐标位置。这个数组 可用X表示,其维数为M* N SPACE.通常,给每一个结点都编 一个整数号码。这个代码的目的是指出:如果有边界约束条件的 话,该结点哪一个参数具有指定的边界约束,这个数据向量可用 IBC表示,它包含M个整数系数。为完成这一结点边界条件代码 过程,应记住每一结点有NG个参数。因此,可以确定一个(右侧 对齐的)整数代码IBC,包含的位数是NG.令第i位是一个一位 数的指示码,对应该结点的第i个参数.如果这个指示码等于j 0≤≤9,则规定其意义为第i个参数受到j型边界约束。若该 位数指示码为零,就表示在该参数上没有约束条件作用,以后
还会讨论,这种程序可以考虑到好几种共同类型的结点参数边界 约束.图1.3举例说明一套边界条件代码,对应于一组有代表性的 结点,而每一结点有6个参数(NG一6).这种代码法在73节 的例题中及全部应用例题中都将加以使用 结点参数号3的边界码 结点BC了=1 111111 3220000 102 310 4-100 4 100 210201 00I 51000d 5110000 图1.3结点边界码的解释 草元的关联是一个重要概念,所谓关联就是把属于该单元的 总体结点号码排列成表。单元的关联数据确定阙格的拓扑结构 因此,针对每个单元,都需要(以某种前后一贯的顺序)输入与该单 元有关的N个结点号,这个数据所构成的数组可用 nODES表 示,其维数为NE*N.把与某一特定单元相联的(总体)结点号 列成表,这种表通常称为单无关联结点表。识别这套数据对使用 方程(1.1)很重要 L32单元行为和方程式的近似表达 假设整个求解域上的待求变量(也许)连同其导数一起,都 可以由系统结点的结点参数唯一地确定,那么这些结点参数就是 该问题的待求参数,假设一个结点的各参数只影响到与该结点相 联的诸单元内的待求量值。再假设一个插值函数,以便能用与单 元相联的诸结点的结点参数值来表达该单元内任一点的待求量 值.图1.4举例说明一种常用插值函数及其组成部分,此函数由 结点坐标(x,y)单元的面积∥、空间位置坐标(xy)及结点 参数T,T;T+确定 对单元的行为作出假设后,剩下的基本问题就是建立单元矩 阵S和C,一般说来,就是要把插值函数代人基本积分式中
历史上,这两个矩阵一直被分別称为单元刚度姬阵和单元載荷向 量.虽然这两个矩阵有时可按物理直觉推导出来,但通常却用求 泛函极小值的方法得出。或用加仪残数法得出。这些方法在许多 教材中都可见到,本书后面几章将详细加以说明。 点坐标 〔期 t(r,) b;=y“yk (x;y) 2A=aitait d 假设的多项式 结点参数 a r(,y)=u1xy b; 插值所得参量 单元的几何常数 r(,y)=HR(,y)T+Hj(r,y)r+ H(r,D)T r(x,y)"(,y 图1.4常用插值分量 建立单元矩阵,几乎仝要涉及以某种方式给出该单元的特性 或特性系数。有少数有限元问题要求给出结点处的特性。例如 在应力分析问题中,希望能通过指定材料在各结点处的厚度来确 定变厚度元任一点的厚度)有限元法非常适用于非均质问题,所 以大多数有限元程序也要求分析人员指定每个单元的某些特性 一般来说,对于各单元(或各结点)所共有的数据,最好是把它作为 整个系统的各种数据加以存钴.分析人员必须决定哪些数据是需 要的,采用哪种方式输入和取用这些数据最好。 1.33方程式的组装及求解 且建立单元的方程式后,就要把各个单元的贡献加起来组 成整个系统的方程式。组装过程约详纽编程将在72节讨论,有 限元分析得出的系统方程一般具有以下形式
SD=C (12) 其中方阵S的维数是 NDFREE* NDFREE,而向量D和C各 含 NDFREE个系数。向量D包含未知结点参数,而矩阵S C(如后所述)分别由单元矩阵s和C的组装得出,S的维 数是 NELFRE米 NE LFRE,C的维数是 NELFrE*1,大多数 问题的S是对称的,从而S也是对称的。还有,系统矩阵S 般是围绕对角线成带状的。今后假设系统方程组是带状的、对称 的。因而,包括对角线在内的半带宽的大小,是任一有限元法都应 加以考虑的一个重要参量.考虑到在近似表达单元行为时所用的 方法可知:若令由于某一典型单元“e”而使系统方程组产生的半 带宽为IBW,则IBW可由下式确定 IBW=NG水( NDIFF+1) (1.3) 式中 NDIFF是该单元诸结点的结点号码的最大差值的绝对值, 方程(13)将在以后推导.系统的最大半带宽,也就是系统中所存 在的IBW中的最大值,可用 MAXBAN表示,即 MAXBAN IBw (14) 这个参量 MAXBAN是决定系统方程组的存储容量和求辉机时的 重要参量之一。因此,虽然结点号码的赋值可以任意,但实际上, 分析人员应尽力缩小典型单元上各结点编号之间的最大差值(和 带宽).图15说明组装过程,所举例子是一个4单元络,由3结 点三角形组成,而每一结点只有一个参数.图的上方说明系统的 s矩阵和C矩阵的组装,该图用各种阴影线作标记,这种标记用 来指出影响该项的是哪些单元,而不代表该项的数值大小。矩阵 中有许多不同的阴影线区域,与此对应,每个单元也用阴影线作了 标记(见图的下方),矩阵中每有一块阴影区,就表示该项加进了对 应单元的作用。例如,可以看出,载荷向量第C(6)项是把单元2 和单元3的贡献加在一起得出来的,因为单元2的标记是水平线 (-),而单元3的标记是斜线(/).相比之下,第C(1)项只有单 元2的作用。 最后应注意,某些卓有成效的有限元程序并不利用带状矩阵
(a) 图1·5单元对组装的贡献 ()系统矩阵;(b)有贡献的单元 求解法,取而代之的是,运用波前法或稀疏矩阵求解,这些重要课 题将在后面较详细地讨论 组装成系统方程组后,必须在求解未知结点参数之前先施加 边界约束条件。最常见的结点参数边界约束如下