《大学物理》作业No.8量子力学基础一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个答案正确。）1．静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长与速度v有如下关系：[c]1(B) αα!(D)αV-y(A)Movm解：由德布罗意公式和相对论质一速公式pmy=1V-hI11二，即入得入=一V?moVv?c?2.不确定关系式△r·Ap,≥h表示在x方向上［D］（A）粒子位置不能确定(B）粒子动量不能确定（C）粒子位置和动量都不能确定(D）粒子位置和动量不能同时确定3.将波函数在空间各点的振幅同时增大D倍，则粒子在空间的分布概率将［D](A）增大D’倍。(B）增大2D倍。(D) 不变。(C）增大D倍。4.已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：3元xy(x)=(-a≤x≤a)Va2aSa那么粒子在×处出现的概率密度为[A］ON(a)A(C) Jza解：概率密度()-cos()20
《大学物理》作业 No.8 量子力学基础 一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个答案正确。） 1. 静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长与速度v有如下关系： [ C ] (A) v (B) v 1 (C) 2 2 1 1 v c − (D) 2 2 c − v 解：由德布罗意公式和相对论质 — 速公式 2 2 0 1 1 v c m mv h p − = = = 得 2 2 0 1 1 m v c h = − ，即 2 2 1 1 v c − 2. 不确定关系式 x px 表示在 x 方向上 [ D ] (A) 粒子位置不能确定 (B) 粒子动量不能确定 (C) 粒子位置和动量都不能确定 (D) 粒子位置和动量不能同时确定 3. 将波函数在空间各点的振幅同时增大 D 倍，则粒子在空间的分布概率将[ D ] (A) 增大 2 D 倍。 (B) 增大 2D 倍。 (C) 增大 D 倍。 (D) 不变。 4. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： ( ) 2 3 cos 1 ( ) a x a a x a x = − 那么粒子在 6 5a x = 处出现的概率密度为[ A ] 2a 1 (A) a 1 (B) 2a 1 (C) a 1 (D) 解：概率密度 ) 2 3 cos ( 1 ( ) 2 2 a x a x =
代上，得(（将x=5.波长=5000A的光沿x轴正方向传播，若光的波长的不确定量△=10-A，则利用不确定关系Ax·Ap,≥h可得光子的x坐标的不确定量至少为：【 】(B) 50cm(A)25cm(C)250cm(D) 500cm1h=解：由公式p=号知：=-×10-350002利用不确定关系Ax·4p,≥h，可得光子的x坐标满足Ar≥=25×10°A=250cmApx二、填空题1.低速运动的质子和α粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的动量之比Pp:P=1:1_： 动能之比Ep: E.=_4:1解：由p=分知，动量只与入有关，所以Pp:P。=1:1；α=4:1由非相对论动能公式E=，且p=Pa，所以Ep：E=2mmp2. 在 B= 1.25×10-2T的匀强磁场中沿半径为 R=1.66cm的圆轨道运动的α粒子的德布罗意波长是_0.1A_。（普朗克常量h=6.63×10-"J·s，基本电荷e=1.6×10℃)my2小得解：由牛顿第二定律2evB=一得p=mv=2eBR，又由p=R6.63 ×10-34h1=h2=0.99810-(m)~0.1AP2eBR=2×1.6×10-l9×1.25×10-2×1.66×10-23.若令入。（称为电子的康普顿波长，其中m。为电子静止质量，℃为光速，五为mc普朗克常量)。当电子的动能等于它的静止能量时，它的德布罗意波长是入=Y
将 6 5a x = 代入上式，得 a a a a x 2 1 ) 6 5 2 3 cos ( 1 ( ) 2 2 = = 5. 波长 = 5000 Å 的光沿 x 轴正方向传播，若光的波长的不确定量=10 −3 Å，则利用 不确定关系 x px h 可得光子的 x 坐标的不确定量至少为： [ C ] (A) 25cm （B）50cm (C) 250cm (D) 500cm 解：由公式 p = h 知： △ 3 2 2 10 5000 − = − = − h h p 利用不确定关系 x px h ，可得光子的 x 坐标满足 9 = 2510 px h x Å=250cm 二、填空题 1.低速运动的质子和 粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的动量之比 pP : pα = 1:1 ；动能之比 EP : Eα = 4:1 。 解：由 p = h 知，动量只与 有关，所以 pP : pα = 1:1 ； 由非相对论动能公式 m p E 2 2 k = ，且 pp = p ，所以 P : α = = 4 :1 mp m E E 2. 在 B = 1.25×10 −2 T 的匀强磁场中沿半径为 R =1.66cm 的圆轨道运动的 粒子的德布 罗意波长是 0.1 Å 。(普朗克常量 h = 6.63×10-34J·s ,基本电荷 e = 1.6×10-19C) 解：由牛顿第二定律 2evB= R mv 2 得 p = mv = 2eBR ，又由 h p = 得 0.998 10 (m) 0.1 2 1.6 10 1.25 10 1.66 10 6.63 10 2 11 19 2 2 34 = = = = − − − − − eBR h p h Å 3. 若令 m c h e c = (称为电子的康普顿波长，其中 m e 为电子静止质量，c 为光速，h 为 普朗克常量)。当电子的动能等于它的静止能量时，它的德布罗意波长是 = 3 1
1.解：由题意E=mc2-moc2，所以E=mc2=2moc2=2m,c又?E=c+E,=E--=V3m.c-所以有==P"Vm.c"方.4.在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a=0.1nm（1nm=10m），电子束垂直射在单缝上则衍射的电子横向动量的最小不确定量Ap，=1.06×10-24N·s（或6.63×10-24N·s）。(普朗克常量h=6.63×10*"J·s)解 根据Ay,≥,4y=,得 ,≥06x10=1.06 x10-24 (N.s)0.1x10-9a若用公式4y-Ap,≥h，则可得Ap,=6.63x10-24(N-s)5.德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别是德布罗意波是概率波，波函数不表示某实在物理量在空间的波动，其振幅无实在的物理意义。三、计算题1.粒子在磁感应强度为B=0.025T的均匀磁场中沿半径为R=0.83cm的圆形轨道运动。(1）试计算其德布罗意波长(2）若使质量m=0.1g的小球以与粒子相同的速率运动。则其波长为多少？(3）粒子的质量m=6.64×10-"kg，普朗克常量h=6.63×10*"J·s，基本电荷e=1.60X10"c)解：(1）德布罗意公式：孔=h(mu)由题可知粒子受磁场力作用作圆周运动quB=m,uP/R, mU=qRBm,U=2eRB4分又q=2e则
c 。 解：由题意 , 2 0 2 k E = mc − m c 所以 2 2 0 2 E mc 2m c 2m c = = = e 又 h E E m c c E = p c + E p = − = 3 e = 1 , 2 0 2 2 0 2 2 2 所以有 c e m c h p h 3 1 3 = = = 。 4. 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为 a = 0.1nm (1nm =10-9 m), 电子束垂直射在单缝上， 则衍射的电子横向动量的最小不确定量 py = 1.06 10 N s 24 − （或 6.63 10 N s 24 − ）。 (普朗克常量 h = 6.63×10-34J·s) 解：根据 y py ,y = a ，得 24 9 34 1.06 10 0.1 10 1.06 10 − − − = = a py (Ns) 若用公式 y py h ，则可得 24 6.63 10− = a h py (Ns) 5. 德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别是德布罗意波是概率波，波函数不 表示某实在物理量在空间的波动，其振幅无实在的物理意义。 三、计算题 1. 粒子在磁感应强度为 B = 0.025 T 的均匀磁场中沿半径为 R =0.83 cm 的圆形轨道 运动． (1) 试计算其德布罗意波长． (2) 若使质量 m = 0.1 g 的小球以与 粒子相同的速率运动．则其波长为多少？ (3) 粒子的质量 m =6.64×10-27 kg，普朗克常量 h =6.63×10-34 J·s，基本电荷 e =1.60 ×10-19 C) 解：(1) 德布罗意公式： = h /(mv) 由题可知 粒子受磁场力作用作圆周运动 q B m / R 2 v = v ， mv = qRB 又 q = 2e 则 mv = 2eRB 4 分
故3分a= h/(2eRB)=1.00×10- m=1.00×10mm(2）由上一间可得U=2eRB /ma对于质量为m的小球h_.ma_ma.na=6.64×10" m1=.h3分mu2eRBmm2.一维运动的粒子，设其动量的不确定量等于它的动量，试求此粒子的位置不确定量与它的德布罗意波长的关系。（不确定关系式△r·4p，≥h）h(1)解：由Ar-Ap,≥h得Ax≥Apx由题意，Ap，=mv及德布罗意波长公式入myh1=(2) Apr比较(1)、(2)式，得到Ax≥入3.一粒子被限制在相距为1的两个不可穿透的壁之M间，如图所示。描写粒子状态的波函数为=cx(1-x),其中c为待定常量。求在0~I区间发1.现该粒子的概率。解：由归一化条件["Pdx=1即[cx(1-x) dx=1,O-V%, 1-r(-0)可以解出c：0区间发现粒子的极率为P=(dx81
故 /(2 ) 1.00 10 m 1.00 10 nm −11 −2 = h eRB = = 3 分 (2) 由上一问可得 m v = 2eRB / 对于质量为 m 的小球 = = = m m m m eRB h m h v 2 =6.64×10-34 m 3 分 2. 一维运动的粒子，设其动量的不确定量等于它的动量，试求此粒子的位置不确定量与 它的德布罗意波长的关系。（不确定关系式 x px h ） 解：由 x px h 得 px h x (1) 由题意， p mv x = 及德布罗意波长公式 mv h = 得 px h = (2) 比较(1)、(2)式，得到 x 3. 一粒子被限制在相距为 l 的两个不可穿透的壁之 间 ， 如 图 所 示 。 描 写 粒 子 状 态 的 波 函 数 为 = cx(l − x) ,其中 c 为待定常量。求在 l 3 1 0 ~ 区间发 现该粒子的概率。 解：由归一化条件 | | d 1 0 2 = x l ， 即 ( ) d 1 2 2 0 2 − = c x l x x l ， 可以解出 5 30 l c = ， 2 2 5 2 ( ) 30 | | x l x l = − l 3 1 0 ~ 区间发现粒子的概率为 81 17 ( ) d 30 2 2 / 3 0 5 = − = x l x x l P l l l 3 1 O x