《大学物理》作业No.1机械振动一、选择题1.一质点作简谐振动，其运动速度与时间的关系曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为：【C］-(C) _5m(B) 5元a(E) _21(0)-%解：若振动方程为x=Acos(0t+p),则速度方程为：V-Ao sin(0t+p)=+vm.cos(ot+#+)可见速度相位比位移相位超前号。由图可知速度的初相为一号，则位移的初相9=号一号=一元62.如图所示，一质量为m的滑块，两边分别与劲度系数为k和k的轻弹簧联接，两弹簧的另外两端分别固定在墙上。滑块m可在光滑的水平面上滑动，0点为系统平衡位置。现将滑块m向左移动，自静止释放，并从释放时开始m计时。取坐标如图所示，则其振动方程为：【］0Xo[[k,+k2](A) x=)XoCOVmk,k,k, +(B) x= xo cos),(C) x=Xo co+m(k +k,)[k+21+元[ki+k?(D) x= Xo cos(E) x=xo cosm解：滑块初位移为-x，初速度为0，则振幅A=-x)+(-)=xo，初相=元。设滑块处在平衡位置时，劲度系数分别为h和k的两个弹簧分别伸长A和A，则有kAx,=k,Arz，当滑块位移为x时，滑块受到合力
《大学物理》作业 No.1 机械振动 一、选择题 1. 一质点作简谐振动, 其运动速度与时间的关系曲线如图所示。若质点的振动规律用余 弦函数描述，则其初相应为：[ C ] (A) 6 (B) 6 5 (C) 6 5 − (D) 6 − (E) 3 2 − 解：若振动方程为 x = Acos( t +), 则速度方程为： ) 2 sin( ) cos( v = −A t + = +vm t + + 可见速度相位比位移相位超前 2 。 由图可知速度的初相为- 3 ，则位移的初相 6 5 3 2 = − − = − 。 2. 如图所示，一质量为 m 的滑块，两边分别与劲度系数为 k1 和 k2 的轻弹簧联接，两弹簧 的另外两端分别固定在墙上。滑块 m 可在光滑的水平面上滑动，O 点为系统平衡位置。现 将滑块 m 向左移动 x0，自静止释放，并从释放时开始 计时。取坐标如图所示，则其振动方程为：[ C ] + = t m k k x x 1 2 0 (A) cos + + = t m k k k k x x ( ) (B) cos 1 2 1 2 0 + + = t m k k x x 1 2 0 (C) cos + + = t m k k x x 1 2 0 (D) cos + = t m k k x x 1 2 0 (E) cos 解：滑块初位移为 0 − x ，初速度为 0，则振幅 0 2 0 2 0 ( ) ( ) x v A = −x + − = , 初相 = 。 设滑块处在平衡位置时，劲度系数分别为 k1 和 k2 的两个弹簧分别伸长Δx1 和Δx2 ，则有 1 1 2 2 k x = k x ，当滑块位移为 x 时，滑块受到合力 t(s) (m s ) −1 v m v 2 m 1 v o m x 0 x O 1 k 2 k
k,+kF=-k;(Ax +x)+k,(Ar, -x)=-(k, +k,)x=-kx 角频率 0m(+k2k+元)所以振动方程为：x=Acos(ot+p)=x.cosm3.一质点在x轴上作简谐振动，振幅A=4cm，周期T=2s，其平衡位置取作坐标原点若t=0时刻质点第一次通过x=-2cm处，且向x轴负方向运动，则质点第二次通过x-2cm处的时刻为：【B］(B) s:(C) 4s(A) 1s :(D) 2s.解：由旋转失量图可知，两次通过x=-2cm所用时间为亏所以第二次通过 t=-2cm处时刻为1=1x2=2 (s)4.已知一质点沿y轴作简谐振动，其振动方程为y=Acos(ot+3元/4)。与其对应的振动曲线是：【B］MW(D)(C)11解：1Asin(odx（二元）<0故选Bt=时，y。=Acos-Aosin4<0一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为5.-振动总能量的：［E】@1:wi:(0)10:@%:(2) 16.解：弹簧振子的总能量为E=E+E,=kA，当x=时，E，=z-E,1615所以动能为E=E-E,=1%E
F = −k (x + x) + k (x − x) = −(k + k )x = −kx 1 1 2 2 1 2 角频率 m k k 1 + 2 = 所以振动方程为： cos( ) cos( ) 1 2 0 + + = + = k m k k x A t x 3. 一质点在 x 轴上作简谐振动，振幅 A = 4cm，周期 T = 2s, 其平衡位置取作坐标原点。 若 t = 0 时刻质点第一次通过 x = -2cm 处，且向 x 轴负方向运动，则质点第二次通过 x = -2cm 处的时刻为：[ B ] (A) 1s ; (B) s 3 2 ; (C) s 3 4 ; (D) 2s。 解：由旋转矢量图可知，两次通过 x = -2cm 所用时间为 3 T , 所以第二次通过 t = -2cm 处时刻为 3 2 2 3 1 t = = (s) 4. 已知一质点沿 y 轴作简谐振动，其振动方程为 y = Acos(t + 3 / 4) 。与其对应的振 动曲线是: [ B ] 解： ) 4 3 sin( d d = = −A t + x y v , t = 0 时， 0 2 2 ) 4 3 cos( y0 = A = − A , ) 0 4 3 sin( v0 = −A 故选 B 5. 一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的 1/4 时，其动能为 振动总能量的：[ E ] (A) 16 7 ; (B) 16 9 ; (C) 16 11 ; (D) 16 13 ; (E) 16 15 。 解：弹簧振子的总能量为 , 2 1 2 E = Ek + Ep = kA 当 4 A x = 时， , 16 1 2 1 2 Ep = kx = E 所以动能为 Ek E Ep E 16 15 = − = x t t = 0 -2 3 2 = t y o − A (A) A t y o A − A (B) t y A − A (C) o t y A (D) − A o
6.图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为：【B］(A)1元(C)号n(B) 元(D)0A解：两个谐振动和反相，且A=2A，0A.4由矢量图可知合振动初相与x初相一致，即p=元。二、填空题1.一简谐振动的表达式为x=Acos(3t+@)，已知t=0时的初位移为0.04m，初速度为0.09m-s，则振幅A=0.05m初相位=-36.90解：已知初始条件，则损幅为：4=/+=0.04 +（%)=00(m)0.09初相：=tg(-)=g"(-)=-36.9°或143.1°3×0.04ox因为>0，所以β=-36.9°2．两个弹簧振子的的周期都是0.4s，设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0.5s后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两振动的相位差为元10解：从旋转矢量图可见，t= 0.05s时，A与A,反相，1=05 4/130.5即相位差为元。3.一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的二率时，其动能是总能量的3/4（设平衡位置处势能为零）。当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长N,这一振动系统的周期为2元/△1/g解：谐振动总能量E=E,+E,=k4，当x=A时E=-(-
6. 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，若 这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动 的初相为：[ B ] 2 1 (A) (B) 2 3 (C) (D) 0 解：两个谐振动 x1 和 x2 反相，且 A1 = 2A2， 由矢量图可知合振动初相与 x1 初相一致， 即 = 。 二、填空题 1. 一简谐振动的表达式为 x = Acos(3t +) ，已知 t = 0 时的初位移为 0.04m, 初速度为 0.09ms -1，则振幅 A = 0.05m，初相位 = -36.9 解：已知初始条件，则振幅为： ) 0.05(m) 3 0.09 ( ) 0.04 ( 2 0 2 2 2 = 0 + − = + − = v A x 初相： ) 36.9 143.1 3 0.04 0.09 tg ( ) tg ( 1 0 1 0 = − 或 = − = − − − x v 因为 x0 > 0, 所以 = −36.9 2. 两个弹簧振子的的周期都是 0.4s, 设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经 过 0.5s 后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两振动的相位差为 。 解：从旋转矢量图可见， t = 0.05 s 时， A1 与 A2 反相， 即相位差为。 3. 一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，当这物块的位移等于振幅的一半时，其动能是总 能量的 3/4 （设平衡位置处势能为零）。当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长 l ,这一振动系统的周期为 2 l / g 解：谐振动总能量 2 2 1 E = Ek + Ep = kA ，当 x A 2 1 = 时 4 ) 2 ( 2 1 2 1 2 A 2 E E kx k p = = = ， t x o A/ 2 − A 2 x 1 x o A1 A2 A A1 A1 A2 x t = 0 t = 0.5 t = 0.5
所以动能E,=E-FA物块在平衡位置时，弹簧伸长AI，则mg=k△I，k=Am=2元振动周期T=2元Vg4.上面放有物体的平台，以每秒5周的频率沿竖直方向作简谐振动，若平台振幅超过1.0×10-m，物体将会脱离平台（设g=9.8ms2）。解：在平台最高点时，若加速度大于g，则物体会脱离平台，由最大加速度a.="A=(2m)A=g得最大振幅为9.8=9.93×10-~ 1.0×10-2(m)A=:4元2／2=4元2×525.一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示，振子处在位移零、速度为－のA、加速度为零和弹性力为零的状态，对应-A于曲线上的b，f点。振子处在位移的绝对值为A、速度为零、加速度为-A和弹性力-kA的状态，对应于曲线的a，点。解：位移×=0，速度v=dX=-04<0，对应于曲线上的dtb、f点；若|x=A,α=-の"A，又a=-°x，所以x=A，对应于曲线上的a、e点6.两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：x=6×10~cos(5t+)(SI)和X2=2×10-sin(元-5t）(SI)A它们的合振动的振幅为4×10-(m），初相位为2元解：将x改写成余弦函数形式：OAX, =2x10~ sin(π-51)=2×10-~ cos(5t-)由失量图可知，x和x反相，合成振动的振幅
所以动能 Ek E Ep E 4 3 = − = 。 物块在平衡位置时， 弹簧伸长 l ，则 mg = kl ， l mg k = ， 振动周期 g l k m T = 2 = 2 4. 上面放有物体的平台，以每秒 5 周的频率沿竖直方向作简谐振动，若平台振幅超过 1.0 10 m −2 ，物体将会脱离平台（设 2 9.8m s − g = ）。 解：在平台最高点时，若加速度大于 g，则物体会脱离平台，由最大加速度 am = A = v A = g 2 2 (2 ) 得最大振幅为 9.93 10 1.0 10 (m) 4 5 9.8 4 3 2 2 2 2 2 − − = = = v g A 5. 一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示，振子处在位移 零、速度为 − A 、加速度为零和弹性力为零的状态，对应 于曲线上的 b , f 点。振子处在位移的绝对值为 A、速度 为零、加速度为- 2 A 和弹性力-kA 的状态，对应于曲线的 a ，e 点。 解：位移 x = 0 ，速度 0 d d = = − A t x v ，对应于曲线上的 b、f 点；若|x|=A, a A 2 = − ，又 a x 2 = − , 所以 x = A，对应于曲线上的 a、e 点。 6. 两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为： ) 2 1 6 10 cos(5 2 1 = + − x t (SI) 和 2 10 sin( 5 ) 2 2 x = − t − (SI) 它们的合振动的振幅为 4 10 (m) −2 ，初相位为 2 1 。 解：将 x2 改写成余弦函数形式： ) 2 2 10 sin( 5 ) 2 10 cos(5 2 2 2 = − = − − − x t t 由矢量图可知，x1 和 x2 反相，合成振动的振幅 t x 0 A − A a b c d e f O x A A2 1 A1
A=A -A, =6×10-2-2×10-=4×10~(m)，初相g=Qi=号三、计算题1.一质量m=0.25kg的物体，在弹簧的力作用下沿x轴运动，平衡位置在原点。弹簧的劲度系数k=25N·ml(1）求振动的周期T和角频率(2）如果振幅A=15cm，t=0时物体位于x=7.5cm处，且物体沿x轴反向运动，求初速%及初相(3）写出振动的数值表达式。1分解： (1)0=/k/m=10s-l1分T=2元/0=0.63 s(2)A=15 cm在 t=0时，品= 7.5 cm,V。<0由A= /x+(u. /0)得Vo =-0/A -x --1.3 m/s2分0=tg(-v:/ox0)-1元 或 4 /32分0=↓n:%>0,(3) ×=15×10- cos(10+元)(SI)2分Vo= -0 /A -x =-10/0.152 -0.075 = -1.30(m s)(3)振动方程为x=Acos(ot+ 0)=15×10-cos(101+)(SI)2．在一平板上放一质量为m=2kg 的物体，平板在竖直方向作简谐振动，其振动周期为 Ts，振幅A=4cm，求(1）物体对平板的压力的表达式.(2）平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？
6 10 2 10 4 10 (m) 2 2 2 1 2 − − − A = A − A = − = ，初相 2 1 = = 三、计算题 1. 一质量 m = 0.25 kg 的物体，在弹簧的力作用下沿 x 轴运动，平衡位置在原点. 弹簧 的劲度系数 k = 25 N·m -1． (1) 求振动的周期 T 和角频率 ． (2) 如果振幅 A =15 cm，t = 0 时物体位于 x = 7.5 cm 处，且物体沿 x 轴反向运动，求 初速 v0 及初相 ． (3) 写出振动的数值表达式． 解：(1) 1 / 10 s − = k m = 1 分 T = 2/ = 0.63 s 1 分 (2) A = 15 cm，在 t = 0 时，x0 = 7.5 cm，v 0 < 0 由 2 0 2 0 A = x + (v /) 得 1.3 2 0 2 v0 = − A − x = − m/s 2 分 = − = − 3 1 tg ( / ) 0 0 1 v x 或 4 /3 2 分 ∵ x0 > 0 ，∴ = 3 1 (3) ) 3 1 15 10 cos(10 2 = + − x t (SI) 2 分 10 0.15 0.075 1.30(m s ) 2 2 2 1 0 2 0 − v = − A − x = − − = − (3) 振动方程为 ) 3 cos( ) 15 10 cos(10 2 = + = + − x A t t （SI） 2. 在一平板上放一质量为 m =2 kg 的物体，平板在竖直方向作简谐振动，其振动周期为 T = 2 1 s，振幅 A = 4 cm，求 (1) 物体对平板的压力的表达式． (2) 平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？