《大学物理AI》作业No.9磁感应强度一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个正确答案）1.一磁场的磁感应强度为B=ai+bj+ck（T)，则通过一半径为R，开口向z正方向的半球壳表面的磁通量的大小是：【D］(A)R"aWb(B) πR*b Wb(C) 元R°c Wb(D) πR’abc Wb解：如图所示，半径为R的半球面S,和半径为R的圆平面S,组成一个封闭曲面S。由磁场的高斯定律升B·d=0知：S22O=[,B.ds =-[B.ds =-], (ai +bj +ck) dsk --S,c=-πR°℃故选C2．边长1为的正方形线圈，分别用图示的两种方式通以电流I（其中ab，cd与正方形共面），在这两种情况下，线圈在其中产生的磁感应强度大小分别为：【C］(A) B=0, B, =0(B) B, =0, B, = 2V2μolT2/2μl(C) B, =B, = 0A(D)B, =2V24)B, = 2/2 4o元元1解：根据直电流产生的磁场的公式有：uoB, = 4×(sin 2, - sin 0))4元×2V240+元/=2V240l元对于第二种情况，电流I流入b后分流，两支路电流相等，在中心处产生的磁感应强度大小相等，方向相反，所以：B,=0故选C
《大学物理 AI》作业 No.9 磁感应强度 一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个正确答案） 1．一磁场的磁感应强度为 B ai bj ck = + + （T），则通过一半径为 R，开口向 z 正方向的 半球壳表面的磁通量的大小是：[ D ] (A) Wb 2 R a (B) Wb 2 R b (C) Wb 2 R c (D) Wb 2 R abc 解：如图所示，半径为 R 的半球面 1 S 和半径为 R 的圆平面 2 S 组成一个封 闭曲面 S 。由磁场的高斯定律 B ds = 0 知： B s B s ai bj ck sk S c s s s 2 1 2 2 = d = − d = − ( + + ) d = − R c 2 = − 故选 C 2．边长 l 为的正方形线圈，分别用图示的两种方式通以电流 I（其中 ab，cd 与正方形共面）， 在这两种情况下，线圈在其中产生的磁感应强度大小分别为：[ C ] (A) B1 = 0 , B2 = 0 (B) l I B B 0 1 2 2 2 = 0 , = (C) , 0 2 2 2 0 1 = B = l I B (D) l I B l I B 0 2 0 1 = 2 2 , = 2 2 解：根据直电流产生的磁场的公式有： l I l I l u I B 0 0 2 1 0 1 2 2 ) 2 2 2 2 ( 2 (sin sin ) 2 4 4 = = + − = 对于第二种情况，电流 I 流入 b 后分流，两支路电流相等，在中心处产生的磁感应强度大小相 等，方向相反，所以： B2 = 0 故选 C l B1 I l B2 I c d I b a 2 1 l B1 I l B2 I c d I b a 1 S 2 S z S
3.下列哪一幅曲线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B随x的变化关系（x坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心O）［线圈的辅电流C(D)E解：由圆电流轴线上任一点磁感应强度公式：oIR?B=2(R2 +x3)%可知，X=0时，B+0，可排除（A)，（B)，(E)三个答案，且B也不是常量，排除（D)。故选C也可以由公式：d?B1l=0.lo<0，知x=0处B有极限值。dx24.载流的圆形线圈（半径a）与正方形线圈（边长a,）通有相同电流I，若两个线圈的中心Q，0.处的磁感应强度大小O/al10相同，则半径a,与边长a,之比a:a,为：［D(A) 1: 1(B) V2元 :1(C) ~2元 :4(D) /2元 : 8 解：圆电流在其中心产生的磁感应强度B=fo201正方形线圈在其中心产生的磁感应强度B, =4×_ol-(cos45 -cos135)=2/2Ta24元x
3．下列哪一幅曲线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的 B 随 x 的变化关系？ （x 坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心 O）[ C ] 解：由圆电流轴线上任一点磁感应强度公式： 2 3 2 2 2 0 2(R x ) IR B + = 可知， x = 0 时， B 0 ，可排除（A），（B），(E)三个答案，且 B 也不是常量，排除（D）。 故选 C 也可以由公式： | 0 d d | 0, d d 2 0 2 0= x B x B ，知 x = 0 处 B 有极限值。 4．载流的圆形线圈（半径 1 a ）与正方形线圈（边长 2 a ）通 有相同电流 I，若两个线圈的中心 O1，O2 处的磁感应强度大小 相同，则半径 1 a 与边长 2 a 之比 1 2 a :a 为：[ D ] (A) 1：1 (B) 2 :1 (C) 2 : 4 (D) 2 : 8 解：圆电流在其中心产生的磁感应强度 1 0 1 2a I B = 正方形线圈在其中心产生的磁感应强度 2 0 2 0 2 (cos 45 cos135 ) 2 2 2 4 4 a I a I B − = = B X (B) x 线圈的轴 电流 o (A) B X (D) B X (E) B (C) X B X 2 a O1 a1 I O2 I
40=2/2 40由题意Bi=B2，即台元a2a.41V2元8a2选D5.有一无限长通有电流的偏平铜片，宽度为α，厚度不计，电流I在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘b处的P点（如图）的磁感应强度B的大小为：［B］(B) 0l n a+ b(A),Mol2元(a+b)2元ah(c) Hol In a+ bol(D) 2元bb2元(ja+b)解：建立如图ox坐标轴，在坐标x处取宽度为dx的窄条电流d=二dx，它在p点产生的磁感应强度为：u.diHolB:方向2元(a+b-x)2元a (a+b-x)P点的磁感应强度大小为：d+ol1B=JdB=故选B2元a:(a+b-x)2元a.h二、填空题：1.在一根通有电流I的长直导线旁，与之共面地放着C一个长、宽各为a和b的矩形线框，线框的长边与载流长直导线平行，且二者相距为b，如图所示，在此@=4gla in 2a情况下，线框内的磁通量解：在线圈内距长直导线x处取矩形面积元ds=adxdo = Bds = Hol adx通过该面元的磁通量为：2元x通过线框的总磁通量大小为：
由题意 B1 = B2 ，即 2 0 1 0 2 2 2 a I a I = 8 2 2 1 = a a 故 选 D 5．有一无限长通有电流的偏平铜片，宽度为 a ，厚度不计，电流 I 在铜 片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘 b 处的 P 点（如图） 的磁感应强度 B 的大小为：[ B ] (A) 2 ( ) 0 a b I + (B) b a b a I + ln 2 0 (C) b a b b I + ln 2 0 (D) ) 2 1 2 ( 0 a b I + 解：建立如图 ox 坐标轴，在坐标 x 处取宽度为 dx 的窄条电流 x a I dI = d ，它在 p 点产生的磁感应强度为： + − = + − = 方向 ( ) d 2 ( ) 2 d d 0 0 a b x x a I a b x I B P 点的磁感应强度大小为： b a b a I a b x x a I B B a + = + − = = ln ( ) 2 d 2 d 0 0 0 故选 B 二、填空题： 1．在一根通有电流 I 的长直导线旁，与之共面地放着 一个长、宽各为 a 和 b 的矩形线框，线框的长边与载 流长直导线平行，且二者相距为 b，如图所示，在此 情况下，线框内的磁通量 ln 2 2 0 Ia ＝ 。 解：在线圈内距长直导线 x 处取矩形面积元 ds = adx 通过该面元的磁通量为： a x x I B s d 2 d d 0 = = 通过线框的总磁通量大小为： P b a I P b a I dx x x y o I b a b x O dx
LaΦ=[dΦ=αln222．在匀磁强场B中，取一半径R为的圆，圆的法线π与B成60°角，如图所示，则通过以该圆周为边线的如图所示的任意曲面S的磁通量：-↓ BrR?om=J],B.dS -解：任意取面S和圆平面S组成封闭取面。由磁场的高斯定理：FB. ds = [,B ds + [,B-d = 0得到任意曲面S的磁通量：m=[,B·ds=-[,B·ds-B元R?cos60°B元R3.一半径为a的无限长直载流导线，沿轴向均匀的流有电流30I，若做一个半径为R=5a、高为1的柱形曲面，已知此柱一形曲面的轴与载流导线的轴平行且相距3a（如图），则B在圆柱侧面S上的积分：J，B·dS=解：圆柱侧面S和上下底面组成封闭曲面，直电流的磁力线不穿过上下底面，即J[ 上 BdS-[ 下成B·ds=0由磁场的高斯定理：肝B.ds-J] 上底 B-dS+J] 下底 B-dS+J[,B-ds =0可得JJ,B.dS =04.一长直载流导线，沿空间直角坐标oy轴放置，电流沿y轴正向。在原点o处取一电流元Idi，则该电流元在（a，0，0）点处的磁41.0Idi4元2感应强度的大小为方向为平行z轴负向解：由图可：dB=会x沿（-2）方向，元
x x Ia b b d 2 d 2 0 = = ln 2 2 0 Ia = 2．在匀磁强场 B 中，取一半径 R 为的圆，圆的法线 n 与 B 成 60 角，如图所示，则通过以该 圆周为边线的如图所示的任意曲面 S 的磁通量： m = s B S = d 2 2 1 − BR 。 解：任意取面 S 和圆平面 S1 组成封闭取面。 由磁场的高斯定理： d d d 0 1 = + = s s B s B s B s 得到任意曲面 S 的磁通量： = = − 1 d d s s m B s B s 2 2 2 1 = −BR cos 60 = − BR 3．一半径为 a 的无限长直载流导线，沿轴向均匀的流有电流 I，若做一个半径为 R = 5a 、高为 l 的柱形曲面，已知此柱 形曲面的轴与载流导线的轴平行且相距 3a （如图），则 B 在圆 柱侧面 S 上的积分： s B S = d 0 。 解：圆柱侧面 S 和上下底面组成封闭曲面，直电流的磁力线不 穿过上下底面，即 上底 d ＝ 下底 d ＝0 B S B S 由磁场的高斯定理： d d d + d = 0 B S B S B S s B S ＝ 上底 ＋ 下底 可得 d = 0 s B S 4．一长直载流导线，沿空间直角坐标 oy 轴放置，电流沿 y 轴正向。 在原点 o 处取一电流元 I l d ，则该电流元在（a，0，0）点处的磁 感应强度的大小为 2 0 d 4 a I I l － ，方向为 平行 z 轴负向 。 解：由图可知： 3 0 d 4 d r I l r B = 沿（-z）方向， l 5a 3a I 2a ０ 60 B n R B B 任意曲面 S S 1 z x y o I l d P r
式中r=a，a7与严垂直，所以同一般会4元α2一质点带有电荷q=8.0×10-19c，以速度v=3.0×10°ms-在半径为5R=6.00×10-m的圆周上，作匀速圆周运动，该带电质点在轨道中心所产生的磁感应强度 B=6.67×10~(T)，该带电质点轨道运动的微矩 P7.20×10-2(A·m2)(uo =4元 ×10-7H·m-l)_2元R，对应的电流强度为1=号=解：点电荷作圆周运动周期T=V，在轨道中心2TH产生的磁感应强度为：B=4元×10~×8×10-9×310= 6.67×10~ (T)4元×(6×10-8)22R4R点电荷作轨道运动的磁矩为：×8×10-19×3×105×6×10-8= 7.20×10-2(Am2)P.= πR?1gVR三、计算题：1.已知一均匀磁场，其磁感应强度B=2.0wb·m2，方向沿x轴方向，如图所示，试求（1）通过图中aboc面的磁通量：4.30cm40cm（2）通过图中bedo面的磁通量；a50c（3）通过图中acde面的磁通量；解：在均匀磁场中，磁通量Φ=BScosO，设各面外法线为正39gm则(1) Pabad = BSabea COS 元 = -2×0.4×0.3 = -0.24(Wb) （2） Pedo = BSheto os号=0( 3) @ade = BS acae CosO = BSaboc = -0.24(Wb)2.电流均匀地流过无限大平面导体薄板，面电流密度为j，设板的厚度可以忽略不计，试用毕奥一萨伐尔定律求板外的任意一点的磁感应强度。解：建立如图所示坐标系，于沿z轴方向，平板在z平面内，取宽度为dy的长直电流：dl=jdy，它在P点产生的磁感应强度大小为：dB= LlodlHojdy方向如图所示。2元2元
式中 r = a， I l d 与 r 垂直，所以 2 0 d 4 d a I l B = 。 5 ． 一 质 点 带 有 电 荷 8.0 10 C −19 q = ， 以 速 度 5 1 3.0 10 m s − v = 在半径为 6.00 10 m -8 R = 的圆周上，作匀速圆周运动，该带电质点在轨道中心所产生的磁感应强 度 B= 6.67 10 (T) −6 ，该带电质点轨道运动的磁矩 Pm= 7.20 10 (A m ) 21 2 − 。 ( 4 10 H m ) 7 1 0 − − = 解：点电荷作圆周运动周期 v R T 2 = ，对应的电流强度为 R qv T q I 2 = = ，在轨道中心 产生的磁感应强度为： 6.67 10 (T) 4 (6 10 ) 4 10 8 10 3 10 2 4 6 8 2 7 19 5 2 0 0 − − − − = = = = R qv R I B 点电荷作轨道运动的磁矩为： 8 10 3 10 6 10 7.20 10 (A m ) 2 1 2 2 1 1 9 5 8 2 1 2 = = = = − − − Pm R I qvR 三、计算题： 1．已知一均匀磁场，其磁感应强度 2 2.0wb m − B = ，方向沿 x 轴方向，如图所示，试求： （1）通过图中 a b o c 面的磁通量； （2）通过图中 b e d o 面的磁通量； （3）通过图中 a c d e 面的磁通量； 解：在均匀磁场中，磁通量 = BS cos ，设各面外法线为正方向，则 （１） = cos = −20.40.3 = −0.24(Wb) abcd BSabcd （２） 0 2 = cos = bedo BSbedo （３） = cos = = −0.24(Wb) acde BSacde BSaboc 2．电流均匀地流过无限大平面导体薄板，面电流密度为 j ，设板的厚度 可以忽略不计，试用毕奥一萨伐尔定律求板外的任意一点的磁感应强度。 解：建立如图所示坐标系， j 沿 z 轴方向，平板在 yz 平面内，取宽度为 dy 的长直电流： dI = jdy ，它在 P 点产生的磁感应强度大小为： r j y r I B 2 d 2 d d 0 0 = = 方向如图所示。 j 30cm x z B O a b e d c y 30cm 50cm 40cm