《大学物理学》课程作业习题（含解答）No.8 导体与电介质中的静电场

《大学物理AI》作业No.8导体与电介质中的静电场一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个正确答案）1.把A、B两块不带电的导体放在一带正电导体的电场中，如图所示，设无限远处为电势零+点，A的电势为Ua，B的电势为Ua，则【D+(A) U.>U 0(B) UB>UA =0(C) U= Ux(D) U <UA解：电力线如图所示，因电力线指向电势降低的方向，所以U<U故选D一封闭的导体壳A内有两个导体B和C。A、C不2．如图所示，带电，B带正电，则A、B、C三导体的电势U、U、U的大小关系是[C(A) U= U, = Uc(B) U >UA = [(C) U > Ue> U(D) U.> U> Uc解：由静电感应现象，感应电荷和电力线如图所示，而电力线指向电势降低的方向，因此故选CU>Ue >U,3．一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R。在腔内离球心的距离为d处（KR)，固定一电量为十q的点电荷，用导线把球壳接地后，再把地线撤去。选无穷远处为电势零点，则球心C处的电势为［D］(A)(B)_94元80d(c)(D)q-4元80R4元解：由静电感应现象，导体球壳内表面将带电一9，外表面将带电+9，球壳接地后，外表面电荷丢失，内表面电荷在0点产生的电势为：UI=4EOR点电荷+α在0点产生的电势为：U2= 4nEod根据电势叠加原理，0点的电势为：故选D. U=U,+U=4%G-4.G和C两空气电容器并联以后接电源充电，在电源保持联接的情况下，在G中插入一电介质板，则［C］

《大学物理 AI》作业 No. 8 导体与电介质中的静电场 一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个正确答案） 1．把 A、B 两块不带电的导体放在一带正电导体的电场中，如图所示，设无限远处为电势零 点，A 的电势为 UA，B 的电势为 UB，则 [ D ] （A）UB>UA  0 (B) UB>UA =0 （C）UB= UA (D) UB <UA 解：电力线如图所示，因电力线指向电势降低的方向，所以 UB<UA 故选 D 2．如图所示，一封闭的导体壳 A 内有两个导体 B 和 C。A、C 不 带电，B 带正电，则 A、B、C 三导体的电势 UA、UB、UC的大小关 系是[ C ] （A）UB= UA = UC （B）UB >UA = UC （C）UB > UC > UA （D）UB > UA > UC 解：由静电感应现象，感应电荷和电力线如图所示，而电力线指向电势降低的方向，因此 UB>UC >UA 故选 C 3．一个未带电的空腔导体球壳，内半径为 R。在腔内离球心的距离为 d 处（d<R），固定一电 量为＋q 的点电荷，用导线把球壳接地后，再把地线撤去。选无穷远处为电势零点，则球心 O 处的电势为[ D ] ( A ) 0 ( B ) d q 4 0 ( C ) R q 4 0 ( D ) ) 1 1 ( 4 0 d R q −  解：由静电感应现象，导体球壳内表面将带电－q，外表面将带电＋q，球壳接地后，外表面 电荷丢失，内表面电荷在 O 点产生的电势为： R q U 0 1 4 − = 点电荷＋q 在 O 点产生的电势为： d q U 0 2 4 = 根据电势叠加原理，O 点的电势为： . ) 1 1 ( 4 0 1 2 d R q U =U +U = −   故选 D 4．C1 和 C2 两空气电容器并联以后接电源充电，在电源保持联接的情况 下，在 C1 中插入一电介质板，则[ C ] A C B R O + q d A B

（A）G极板上电量增加，C极板上电量减少IC（B）G极板上电量减少，C极板上电量增加。（C）G极板上电量增加，C极板上电量不变。（D）G极板上电量减少，C极板上电量不变。解：保持联接，则电容器上的电压不变。在C中插入电介质板，则G增大，C不变。故选C由C=g/U，知9=GU增大，=CU不变。5．将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，断开电源，再将一块与极板面积相同的金属板平行地插入两极板之金属板间，则由于金属板的插入及其所放位置的不同，对电容器储能的影响为：［A］（A）储能减少，但与金属板位置无关。（B）储能减少，但与金属板位置有关。（C）储能增加，但与金属板位置无关。（D）储能增加，但与金属板位置有关。解：充电后断开电源，则电容上电量保持不变，插入平板金属板，将使电容增加（与金属板0位置无关），由电容器储能公式W可知，C增加时，储能减少。故选AC二、填空题：1。地球表面附近的电场强度约为100N/C，方向垂直地面向下，假设地球上的电荷都均匀分布8.85×10在地球表面上，则地面的电荷面密度。负号电荷。m是(eo =8.85×10-12c2.N-l.m-2)解：将地球视为导体，由导体表面场强和电荷面密度的关系：E=%可知地面电荷面密度为：g=6.E=8.85×10-12×100=8.85×10-10（C.m-2因为E的方向垂直向下，所以是负号电荷。2.一半径n=5cm的金属球A，带电量为=+2.0×10℃，另内半径为n2=10cm、外半径为13=15cm的金属球壳B，带电量为9z=+4.0×10℃，两球同心放置，如图所示，若以无穷远处为电势零点，则A球电势U=5400V，B球电势U=3600V解：由静电感应，A球表面均匀分布q电荷，B球壳内表面均勾分布一9电荷，外表面均匀分

金 属 板 ( A ) C1 极板上电量增加，C2 极板上电量减少。 ( B ) C1 极板上电量减少，C2 极板上电量增加。 ( C ) C1 极板上电量增加，C2 极板上电量不变。 ( D ) C1 极板上电量减少，C2 极板上电量不变。 解：保持  联接，则电容器上的电压不变。在 C1 中插入电介质板，则 C1 增大，C2 不变。 由 C＝q/U，知 q1=C1U 增大，q2=C2U 不变。 故选 C 5．将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，断开 电源，再将一块与极板面积相同的金属板平行地插入两极板之 间，则由于金属板的插入及其所放位置的不同，对电容器储能 的影响为：[ A ] ( A )储能减少，但与金属板位置无关。 ( B )储能减少，但与金属板位置有关。 ( C )储能增加，但与金属板位置无关。 ( D )储能增加，但与金属板位置有关。 解：充电后断开电源，则电容上电量保持不变，插入平板金属板，将使电容增加（与金属板 位置无关），由电容器储能公式 C Q W 2 2 1 =  可知，C 增加时，储能减少。 故选 A 二、填空题： 1．地球表面附近的电场强度约为 100N/C，方向垂直地面向下，假设地球上的电荷都均匀分布 在地球表面上，则地面的电荷面密度σ＝ 10 8.85 10−  C/m2 ，是 负 号电荷。 （ 12 2 1 2 0 8.85 10 C N m − − −  =    ） 解：将地球视为导体，由导体表面场强和电荷面密度的关系： 0   E = 可知地面电荷面密度为：  =  0E = 8.8510−12 100 = 8.8510−10（C  m －2） 因为 E  的方向垂直向下，所以是负号电荷。 2．一半径 r1 = 5 cm 的金属球 A ，带电量为 q1 = +2.0×10-8 C, 另一 内半径为 r2 = 10cm、外半径为 r3 = 15 cm 的金属球壳 B ， 带电量为 q2 =+4.0×10-8 C , 两球同心放置，如图所示，若以无穷远处为电势零 点， 则 A 球电势 UA＝ 5400 V ， B 球电势 UB＝ 3600 V 。 解：由静电感应，A 球表面均匀分布 q1 电荷，B 球壳内表面均匀分布－q1 电荷，外表面均匀分 A B 1r 2r 3r o 1 q 1 2 q + q C1 C2 

布一9+9.电荷，由电势叠加原理，A球的电势为+91 +92 = 5400VU - 40 + 420 + 4m0hB球壳的电势为：+ 9i +92 = 3600VUg=4neor+4元80r4元8033.两块“无限大”平行导体板，相距为2d，且都与地连接，如图所示。两板间充满正离子气体（与导体板绝缘），离子数密度为n，每一离子的带电量为9，如果气体中的极化现象忽略不计，2dl可以认为电场分布相对中心平面00是对称的，则在两极板间[ngx/0(0≤x≤d)[-ngx / 8(-d≤x≤0)的场强分布为Eng(d? - x*)(-d≤x≤d)23电势分布U（选地的电势为零）解：电荷分布对中心平面对称，所以场强也是对中心平面对称。作如图示高斯面，高为2x,底面积为AS，由高斯定理：fE.dS =2EAS=-ngAS2xE = ngx可得60(0≤x≤d)[ngx/2o写成矢量式为：E:[-ngx /20(-d≤x≤0)因为金属板接地，U=UL=0，由电势定义，板间任一点的电势为：U-"Ed=mxd=(d'-x)(-d≤x≤d)4．在电容为G的平行板空气电容器中，平行地插入一厚度为两极板距离一半的金属板，则电2C容器的电容C-C解：由平行板电容器电容公式C。等，平行地插天入厚d/2的金属板，相当于平行板电容器间距减小0一半，所以=2CoCo=d/2

布－q1＋q2 电荷，由电势叠加原理，A 球的电势为： 5400V 4 4 4 0 3 1 2 0 2 1 0 1 1 = + + − = + r q q r q r q UA    B 球壳的电势为： 3600V 4 4 4 0 3 1 2 0 1 0 1 = + + − = + r q q r q r q UB    3．两块“无限大”平行导体板，相距为 2d，且都与地连接，如 图所示。两板间充满正离子气体（与导体板绝缘），离子数密度 为 n，每一离子的带电量为 q，如果气体中的极化现象忽略不计， 可以认为电场分布相对中心平面 OOˊ是对称的，则在两极板间 的场强分布为 E  ＝    − −     / ( 0) / (0 ) 0 0 nqx d x nqx x d     ， 电势分布 U＝ ( ) ( ) 2 2 2 0 d x d x d nq − −    。（选地的电势为零） 解：电荷分布对中心平面对称，所以场强也是对中心平面对称。作如图示高斯面，高为 2x， 底面积为 S ，由高斯定理： E S E S nq S x S 2 1 d 2 0  =  =      可得  0 nqx E = 写成矢量式为：    − −     = / ( 0) / (0 ) 0 0 nqx d x nqx x d E      因为金属板接地，Ud=U-d=0，由电势定义，板间任一点的电势为： ( ) ( ) 2 d d 2 2 0 0 d x d x d nq x x nq U E x d x d x =  = = − −         4．在电容为 C0 的平行板空气电容器中，平行地插入一厚度为两极板距离一半的金属板，则电 容器的电容 C＝ 0 2C 。 解：由平行板电容器电容公式 d S C 0 0  = ，平行地插 入厚 d/2 的金属板，相当于平行板电容器间距减小 一半，所以 0 0 0 2 / 2 C d S C = =  C1 A C2 C3 C B 2d O X E  E 

5。如图所示，电容G、C、G已知，电容C可调，当调节电容C到A、B两点电势相等时，电容C的电容C=CC/G解：设充电后电容器G、C、G、C上电量和电压分别为9、U，9、U，9、U，9、U则当U=U时，，=,=，=由 C=g/U可知，9/=g/C，g/C=/由上各式可得电容C的电容：C=CG/G。三、计算题：1.如图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电量Q,在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷+g，设无限远处为电势零点试求：（1）球壳内外表面上的电荷（2）球心0点处，由球壳内表面上电荷产生的电势。（3）球心0点处的总电势。解：（1）由静电感应和高斯定理可知，球壳内表面带电一9，外表面带电q十Q。（2）球壳内表面上电荷分布不均匀，但距球心0点都是a，由电势叠加原理，在0点产生的电势为：U=dg-q4元4元a（3）由电势叠加原理知，点电荷+g，内表面电荷一α，外表面电荷α+Q共同产生球心0处电势，且为：1+Q0q111U=B+4元6b4元4元a4元4元%ra2.一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为R=2cm，R=5cm，其间充满相对介质常数为e.的各向同性、均匀电介质，电容器接在电压U=32V的电源上，（如图所示），试求距离轴线R-3.5cm处的A点的电场强度和A点与外筒间的电势差。2元05,L解：长为L的圆柱形电容器的电容为：C:= In(R2 / R)8L1电容器带电量为：q=CU-(R,IR)由高斯定理可得A点场强大小为：

5．如图所示，电容 C1、C2、C3 已知，电容 C 可调，当调节电容 C 到 A、B 两点电势相等时，电 容 C 的电容 C＝ C2C3 / C1 。 解：设充电后电容器 C1、C2、C3、C 上电量和电压分别为 q1、U1，q2、U2，q3、U3，q、U。 则当 UA＝UB时，q1＝q2，q3＝q，U1＝U3，U2＝U。 由 C=q/U 可知，q1 / C1= q3 / C3, q2 / C2=q /U 由上各式可得电容 C 的电容：C＝ C2C3 / C1 。 三、计算题： 1．如图所示，一内半径为 a、外半径为 b 的金属球壳，带有电量 Q， 在球壳空腔内距离球心 r 处有一点电荷+q，设无限远处为电势零点， 试求： （1）球壳内外表面上的电荷。 （2）球心 O 点处，由球壳内表面上电荷产生的电势。 （3）球心 O 点处的总电势。 解： （1）由静电感应和高斯定理可知，球壳内表面带电－q，外表面带电 q＋Q。 （2）球壳内表面上电荷分布不均匀，但距球心 O 点都是 a，由电势叠加原理，在 O 点产生的 电势为： a q a q U q 0 0 4 0 4 d     − = =  − 。 （3）由电势叠加原理知，点电荷+q，内表面电荷－q，外表面电荷 q＋Q 共同产生球心 O 处电 势，且为： b Q r a b q b q Q a q r q U 0 0 0 0 4 0 ) 1 1 1 ( 4  4  4  4    = − + + + + − = + 2．一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为 R1＝2cm , R2= 5cm, 其间充满相对介质常数为εr 的各向同性、均匀 电介质，电容器接在电压 U＝32V 的电源上，（如图所示），试求距离 轴线 R＝3.5cm 处的 A 点的电场强度和 A 点与外筒间的电势差。 解：长为 L 的圆柱形电容器的电容为： ln( / ) 2 2 1 0 R R L C   r = 电容器带电量为： ln( / ) 2 2 1 0 R R LU q CU r    = = 由高斯定理可得 A 点场强大小为： a b r +q Q O  r R2 R1 R A U O

998(V·m-l)5元E08.R8.1于是A点与外筒间的电势差为：drIIR2=12.5(V)AU=Rn(R,/R)In(R, / R)R3．一电容为C的空气平行板电容器，接端电压为U的电源充电后随即断开，试求把两个极板间距离增大至n倍时外力所作的功。解：充电后断开电源，极板上电量q=CU保持不变。两极板间距变化前后电容分别为CoSSoS_CCCdndn电容器储能分别为：1 g2qngW=!.W"-2C2Co由功能原理，外力所作的功为：g_1.(n-1)c2u2nq2A=W-W="2C2C=cU?(n-1)

－1） 0 0 998(V m 2 2 = = =  R L q R E   r   r  于是 A 点与外筒间的电势差为： ln 12.5（V） ln( / ) d ln( / ) 2 2 1 2 1 2 1  =  = =  R R R R U r r R R U U R R 3．一电容为 C 的空气平行板电容器，接端电压为 U 的电源充电后随即断开，试求把两个极板 间距离增大至 n 倍时外力所作的功。 解：充电后断开电源，极板上电量 q＝CU 保持不变。两极板间距变化前后电容分别为： n C nd S C d S C = = = 0 0 , '   。 电容器储能分别为： C nq C q W C q W 2 ' 2 1 , ' 2 1 2 2 2 =  =  = 由功能原理，外力所作的功为： ( 1) 2 1 ( 1) 2 1 2 2 ' 2 2 2 2 2 = − − = − = − =  cU n C n C U C q C nq A W W