宁波大学科技学院：《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第六章 傅立叶变换

f(=FF(ol ()e"d I [+o B-jo 2丌 2zJ∞B2+ 2丌J∞B2+ (cos ot+j sin ot do Ir+oo, B cos at (sin at +∞ Bsin ot cos ot ddo+ 2+m2B cos ot sin ot 2zB+Ob妇o(利用o奇、偶函数,在主值定义下后一项为0) lr+∞ Bcos ot+ osin ot 十O 根据傅氏定理可以得到含参变量的广义积分的结果 t<0 t B cos at +osin t 丌f(t) t>0 -do= t=0 B2+o2 f(0+0)+f(0-0) 2 t>0 →振幅频谱为:|F(Oo)}= 相位频谱为agF(o)=- arctan( 2021/224

2021/2/24 19 1 2 2 1 1 ( ) [ ( )] ( ) 2 2 j t j t j f t F F F e d e d             − + + − − − = = = +   2 2 1 (cos sin ) 2 j t j t d         + − − = + +  2 2 2 2 2 2 2 2 1 cos sin sin cos [ ( ) ( ) ] 2 t t t t d j d                    + + − − = + + − + + + +   2 2 2 2 1 cos sin ( ) 2 t t d           + − = + + +  (利用 奇、偶函数，在主值定义下后一项为0).  2 2 0 1 cos sin . t td         + + = +  2 2 0 ( ), cos sin 0 (0 0) (0 0) , 0 2 t f t t t t d f f t          + −    +   =  +  + + − =   0, 0 . 0 2 , 0 t t t e t    −     = =      2 2 1 | ( ) | F     = + 振幅频谱为： ， arg ( ) arctan( ). F    相位频谱为： = − 根据傅氏定理可以得到含参变量的广义积分的结果：

例6.求函数(O)=的傅氏变换及其积分表达式,其中,B>0 (这个函数叫钟形脉冲函数,是工程技术中经常碰到的函数) W: F(@)=FV(]=[/(e o dt=[ ae e"omdt + BO t-+t + [ t+t-+ 1()2-(20)2 t +o-B(n+)2+(0 +0-B(+20)2 a e B 4B dt= ae 4B e t Ae 4B/too e (x=√B(+);ax=√) 普阿松积分公式∫e=√m 4B 4B 钟形函数的傅氏变换仍是钟形函数 2021/224

2021/2/24 20 • 例6． 2 ( ) , 0 t f t Ae A   − 求函数 的傅氏变换及其积分表达式，其中 ， =  (这个函数叫钟形脉冲函数，是工程技术中经常碰到的函数). 解： 2 ( ) [ ( )] ( ) j t t j t F F f t f t e dt Ae e dt     + + − − − − − = = =   2 2 2 2 ( ) [ ( ) ( ) ] 2 2 j j j t t j t t A e dt A e dt           + + − + − + + − − − = =   2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 4 4 2 j j j t t A e dt Ae e dt           + + − + + − − + − − = =   2 2 4 1 , ( ( ) ) 2 x j Ae e dx x t dx dt        − + − − = = + =  ； 2 2 A 4 4 e A e         − − = = 2 x e dx  + − − = 普阿松积分公式： 钟形函数的傅氏变换仍是钟形函数

积分表达式为: +∞ ()=FU(o)=n「 F(oe/ du 2 (cos at+jsin at ) do 2I VB CAJ e"p cos otd(由奇偶性) 根据傅氏定理可以得到含参变量的广义积分的结果: 4 e 4p cos oddo 2021/224

2021/2/24 21 积分表达式为：1 1 ( ) [ ( )] ( ) 2 j t f t F f F e dt     − + − = =  2 4 (cos sin ) 2 A e t j t d         + − − = +  2 4 0 cos A e td      + − =  （由奇偶性） 根据傅氏定理可以得到含参变量的广义积分的结果： 2 2 4 0 cos ( ) . t e td f t e A        + − − = = 

第二节单位脉冲函数及其傅氏变换 一、引言 傅立叶级数与傅立叶变换以不同形式反映了周期函 数与非周期函数的频谱特性,是否可以借助某种手段将它 们统一起来?更具体的说,是否能够将离散频谱以连续频 谱的方式表现出来?这就需要引入下面将要介绍的单位脉 冲函数与广义傅立叶变换.在工程实际中,有许多物理现二 象具有一种脉冲特征,它们仅在某一瞬间或某一点出发, 在物理学中常常有质点、点电荷、瞬时力等抽象模型,如 瞬时冲击力、脉冲电流、质点的质量等等,这些物理量都 不能用通常的函数形式去描述,为了描述这一类抽象的概 念.我们介绍单位脉冲函数 2021/224

2021/2/24 22 第二节 单位脉冲函数及其傅氏变换 ➢ 一、引言 傅立叶级数与傅立叶变换以不同形式反映了周期函 数与非周期函数的频谱特性，是否可以借助某种手段将它 们统一起来？更具体的说，是否能够将离散频谱以连续频 谱的方式表现出来？这就需要引入下面将要介绍的单位脉 冲函数与广义傅立叶变换．在工程实际中，有许多物理现 象具有一种脉冲特征，它们仅在某一瞬间或某一点出发， 在物理学中常常有质点、点电荷、瞬时力等抽象模型．如： 瞬时冲击力、脉冲电流、质点的质量等等，这些物理量都 不能用通常的函数形式去描述，为了描述这一类抽象的概 念．我们介绍单位脉冲函数．

引力:在原来电流为零的电路中,某一瞬间(设为t=0)进入一单位 电量的脉冲,确定电路上的电流() 电路中的电荷函数为:q()=≠0 l,t=0 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即: 0.t≠0 i(e) dqlt=lim g(t+At)-q(t) q(t) l,t=0 当t≠O时,i(t)=0 当t=O时,()=lim9(0+△n)-a()=lim( △t→>0 注意:0)是不连续函数,在普通导数意下,函数)这点不能求导, 上面只是形式地计算这个导数 这就表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示 上述电路的电流强度,为了确定电流强度,我们引入一个新函数,称 为单位脉冲函数,又称为秋拉克函数或(Dac)者δ-函数 2021/224

2021/2/24 23 引力：在原来电流为零的电路中，某一瞬间（设为 ）进入一单位 t = 0 电量的脉冲，确定电路上的电流i t( ). 电路中的电荷函数为： 0, 0 ( ) 1, 0 t q t t   =   = 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率，即： 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim , t dq t q t t q t i t dt t  → +  − = =  当 时， ； t i t  = 0 ( ) 00 0 (0 ) (0) 1 0 ( ) lim lim ( ) t t q t q t i t t t  →  → +  − = = = − =    当 时， ， 注意： 是不连续函数，在普通导数意义下，函数 在这点不能求导， q t q t ( ) ( ) 上面只是形式地计算这个导数. 1 0, 0 ( ) 1, 0 t q t t   =   = 这就表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示 上述电路的电流强度，为了确定电流强度，我们引入一个新函数，称 为单位脉冲函数，又称为狄拉克函数或 者 函数 ( ) . Dirac  −