宁波大学科技学院：《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第六章 傅立叶变换

若f(t)满足傅立叶积分定理中的条件,则在函数f(t)的连续点处,有 f(te dt e de 2丌 若令:F(O)=「f(o)edh,则f() F(oe/do 2丌 从上面两式看出,f(1)和F(o通过指定的积分运算可相互表达 F(O)=f(emdt称为()傅立叶变换,记作: 傅立叶变换 F(o)=FDf()=f()et…(5) 而函数F()称为f()的象函数 ()=nJ。F(o)md称为F(o)傅立叶逆变换,记作: +∞ f(t=F [F(w) F(o)edo…(6) 2丌 f(1)称函数F(O)的象原函数 傅立叶逆变换 2021/224

2021/2/24 14 若 满足傅立叶积分定理中的条件， f t( ) 则在函数 的连续点处，有 f t( ) 1 ( ) [ ( ) ] . 2 j t j t f t f t e dt e d     + + − − − =   ( ) ( ) j t F f t e dt   + − − = 若令： ，  1 ( ) ( ) . 2 j t f t F e d     + − = 则  从上面两式看出， 和 通过指定的积分运算可相互表达 f t F ( ) ( ) .  ( ) ( ) j t F f t e dt   + − − =  称为 的傅立叶变换，记作： f t( ) F F f t ( ) [ ( )]  = ( ) (5) j t f t e dt  + − − =  而函数 称为 的象函数， F f t ( ) ( )  1 ( ) ( ) 2 j t f t F e d     + − =  称为 的傅立叶逆变换，记作： F( )  1 f t F F w ( ) [ ( )] − = 1 ( ) (6) 2 j t F e d     + − =  f t F ( ) ( ) . 称函数 的象原函数  傅立叶变换 傅立叶逆变换

象函数F(o)和象原函数f(1)构成一个傅立叶变换对,与傅立叶级数一样 傅立叶变换也有明确的物理含义从0)=F(O)kmdo式,可以说 非周期函数与周期函数一样,也是由许多不同频率的正、余弦分量合成, 所不同的是,非周期函数包含了从零到无穷大的所有频率分量.而F()是f(t) 中各频率分量的分布密度,因此称F()为频谱密度函数(简称频率或连续频普) 称|F(ω)为振幅频谱,argF(ω)为相位频谱. 因为傅立叶变换这种特殊的物理含义因而在工程实际中得到了广泛的 2021/224

2021/2/24 15 象函数 和象原函数 构成一个傅立叶变换对， F f t ( ) ( )  与傅立叶级数一样 傅立叶变换也有明确的物理含义： 1 ( ) ( ) 2 j t f t F e d     + − = 从 式，  可以说 非周期函数与周期函数一样，也是由许多不同频率的正、余弦分量合成， 所不同的是，非周期函数包含了从零到无穷大的所有频率分量. 中各频率分量的分布密度，因此称 为频谱密度函数(简称频率或连续频谱)， F( )  而 是 F f t ( ) ( )  称 为振幅频谱， 为相位频谱. | ( ) | arg ( ) F F   因为傅立叶变换这种特殊的物理含义，因而在工程实际中得到了广泛的应用

例3求矩形冲数0-11560%傅民变换及民积分表达心 解:()=F(o)=(xtb=∫。h sin do e e°)=2 J 振幅频谱为:|F(o)=265m (2n+1)丌 相位频谱为:argF(O)= 4人(2n+ z.(2n+)z 2021/224

2021/2/24 16 • 例3． 1, | | ( ) , ( 0) 0, | | t f t t      =     求矩形脉冲函数 的傅氏变换及傅氏积分表达式. 解： [ ( )] ( ) ( ) j t j t F f t F f t e dt e dt      + + − − − − = = =   1 1 sin ( ) 2 j t j j e e e j j          − − − = − = − − = sin 2    = sin | ( ) | 2 F     振幅频谱为： ， = 2 (2 1) 0, | | arg ( ) (2 1) (2 2) , | | n n F n n              +    =  + +     相位频谱为：

傅氏逆变换,即函数f()的傅氏积分表达式为: f(t)=F[F() F(oe do 2丌 2丌 ∫ 2 sin +∞2sino +∞2sinS cos oddo sin oddo 一 2丌 tk< 2 rHoo sin do cos oddo t=6 上式中令t=0,可以得到一个重要积分公式: 厂s=z X 2021/224

2021/2/24 17 傅氏逆变换，即函数 的傅氏积分表达式为： f t( ) 1 1 1 2sin ( ) [ ( )] ( ) 2 2 j t j t f t F F F e d e d           − + + − − = = =   1 2sin 2sin cos sin 2 2 j td td           + + − − = +   0 2 sin cos td      + =  1, | | 1 , | | . 2 0, | | t t t        = =      上式中令 ，可以得到一个重要积分公式： t = 0 0 sin . 2 x dx x +  = 

例4.已知函数()的频谱为F(O) 0,O 求象原函数f(t) 0<a 解:f()=F[F(o) F(oe e do 2丌 sin at a sin at 丌t 例5.求函数()= 0.t<0 e Bt 的傅氏变换及积分表达式,其中β t≥0 (这个f()称为指数衰减函数,是工程技术中经常碰到的一个函数) 解:F(0)=F0210=b=e”b=cmh (B+j0)t1+∞ B-ja B+j@ B+jo B+O 傅氏积分表达式为: 2021/224

2021/2/24 18 • 例4． 0, | | ( ) ( ) ( ). 1, | | a f t F f t a      =   已知函数 的频谱为 ，求象原函数 解： 1 1 1 ( ) [ ( )] ( ) 2 2 a j t j t a f t F F F e d e d         − + + − − = = =   sin sin ( ). at a at   t at = = • 例 5 ． 0, 0 ( ) 0, , 0 t t f t e t   −   =    求函数 的傅氏变换及积分表达式，其中 解：(这个 称为指数衰减函数，是工程技术中经常碰到的一个函数). f t( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) j t t j t j t F F f t f t e dt e e dt e dt       + + + − − − − + − − − = = = =    ( ) 0 2 2 1 1 [ ] , j t j e j j           − − − + + = = = + + + 傅氏积分表达式为：