412双线性替换 观察梯形积分公式:x1=xk+ 2 k+1 a可得:(=-1=(+1) 即: 称为双线性替换公式 T=+1 1+ST/2 也可写成为:=1-7/2 +=T 2 T
4.1.2 双线性替换 ▪ 观察梯形积分公式： ▪ 可得： ▪ 即： 称为双线性替换公式 ▪ 也可写成为： ▪ 即： ( ) 1 1 2 k+ = k + k + k+ x x T x x ( ) (z )x T z x 1 2 −1 = + 1 2 1 + − = z z T s 1 / 2 1 / 2 sT sT z − + = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 + − + + = T T T T z
双线性替换(续) 若σ<0,则4<1;若σ=0,则 而若σ>0,则|> 这就是说,Z平面上的单位圆,映射到S平面上 将是整个左半平面,其逆也真。 口即如果原来Gs)稳定,那么G(z)也是稳定的。 s平面 Z平面 线性化替换的映射关系
双线性替换（续） ▪ 若 ，则 ；若 ，则 ＝1， ▪ 而若 >0，则 >1。 ▪ 这就是说，Z平面上的单位圆，映射到S平面上 将是整个左半平面，其逆也真。 ▪ 即如果原来G(s)稳定，那么G(z)也是稳定的。 0 z 1 = 0 z z 线性化替换的映射关系
双线性替换(续) 程序替换算法 设线性系统的传递函数为 G(s) U) aoS"+a,S Fan-stan E()b5”+bs"+…+bns+b (1 在双线性替换下得到的Z传递函数为 (=)_d=+d1=n1+…+dn1+d (2) e02+e12+…+en-12+e 由a,b=0,1,…,n)确定,e1(=0
双线性替换（续） ▪ 程序替换算法 ▪ 设线性系统的传递函数为 ▪ （1） ▪ 在双线性替换下得到的Z传递函数为： ▪ （2） ▪ 由ai，bi (i=0，1，…，n) 确定di，ei (i=0， 1，…，n) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n b s b s b s b a s a s a s a E s U s G s + + + + + + + + = = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n e z e z e z e d z d z d z d E z U z G z + + + + + + + + = = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 0
双线性替换(续) 直接将双线性替换公式代入G(s),可得 +a a T)(z+1 z T(z+1 b t b +…+b T人(z+1 将其分子、分母同乘以(=+1)",可得: T (z-1y+ (=-1)"(z+)+…+a1(z+1 32p+()y+0+…+b+B()
双线性替换（续） ▪ 直接将双线性替换公式代入G(s)，可得： ▪ 将其分子、分母同乘以 ，可得： ( ) n n n n n n n n n n n n b z z T b z z T b z z T b a z z T a z z T a z z T a G z + + − + + + − + + − + + − + + + − + + − = − − − − − − 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 ( ) n z +1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + + + + − + − + + + + − + = − − − − n n n n n n n n n n n n z z b z T z b T b z z a z T z a T a G z 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 1 0 1 0 ( ) B(z) A z
双线性替换(续) 将A(=),B(=)写成向量形式: 0 T +1 (+1)"(=-1) a. n-1 0
双线性替换（续） ▪ 将 A(z) ， B(z) 写成向量形式： ( ) ( ) = − − n n n n T T T T A z a a a a 2 0 2 2 0 2 , , , , 1 1 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) − + − + − n n n z z z z 1 1 1 1 1