华南农业大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 解线性方程组的迭代解法

§2简单迭代法 a,,+ax2+,,.+ann=b 线性方程组4n 1x1+a2x2+…+a2nxn=b a1xX1+a.,x+…+ax nI nn n 简记作AX=B(A|≠0 2 n 其中A= 2n B 12

其中 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + = 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 , , . n n n n nn n n a a a x b a a a x b A X B a a a x b                   = = =                   简记作 AX B A =  (| | 0) §2 简单迭代法 线性方程组

1、迭代法的思想 AX= B Ⅹ=MX+N X(+D)=MX(k)+N 给定初值X(0进行迭代计算,得到收敛向量列{X+}

1、迭代法的思想 AX B = X MX N = + ( 1) ( ) k k X MX N + = + 给定初值X(0)进行迭代计算，得到收敛向量列{X(k+1)}

8x1-3x2+2x2=20 例1用迭代法解方程{4x1+112-x3=33, 6x+3x2+12x3=36 (精确解为x*=(3,2,1)) 解:建立迭代方程,及迭代公式 〔如 18 (3x2-2x3+20) (3κ2-2x3+20 8 bt) 2 (-4x1+x+33) (4x④+39 (-6x1-3x2+36) 0) 12 6x-3x(+30 初值x0=0,0,0)2 0=(300032199938,0.999813)

例1 用迭代法解方程 （精确解为 ） 解：建立迭代方程，及迭代公式

2、简单的迭代格式 (1)迭代格式1 AX=B口0=-AX+B→X=(I-A)X+B →X=(X+B口X+=CX()+B 其中C 21 22 2n 迭代矩阵 n

2、简单的迭代格式 （1）迭代格式1 AX B = 0 = − + AX B X I A X B = − + ( ) X CX B = + 11 12 1 21 22 2 1 2 1 1 n n n n nn a a a a a a C a a a   − − −   − − −   =     − − −   ( 1) ( ) k k X CX B + = + 其中 迭 代 矩 阵

迭代公式为 x(k+1 ∑ (k) b(i=1,2,…,n (i≠j (i,=1,2,…,n) (i=j)

( 1) ( ) 1 ( 1, 2, , ) ( ) ( , 1, 2, , ) 1 ( ) n k k i ij j i j ij ij ij x c x b i n a i j c i j n a i j + =  = + =     −    = =    − =    迭代公式为