2、矩阵范数(矩阵的“大小”) 定义2设A为n阶方阵,若对应的非负实数A满足: (l)‖A|≥0;‖4=0当且仅当A=0; (2)对任意实数a,‖aA|=a|·4l; (3)对任意向量AB∈R",‖A+B|‖A+B; (4)对任意向量A,B∈RN,‖AB|S‖A‖B‖ 则称该实数A|.矩阵A的范数
定义2 设A为n阶方阵，若对应的非负实数||A||满足： ( )|| || ; || || ; 1 0 0 0 A A A = = 当且仅当 ( ) , || || | | || ||; 2 对任意实数 A A = ( ) , , || || || || || ||; 3 n n A B R A B A B 对任意向量 + + 则称该实数||A||为矩阵A的范数。 2、矩阵范数 ( ) , , || || || || || || 4 n n A B R AB A B 对任意向量 （矩阵的“大小”）
矩阵范数和向量范数的相容性 设Xl2为.R”中的向量范数,‖A为R中的 矩阵范数,如果对于任意的X与A,满足 AX stall°‖Xx 则称矩阵范数‖Al和向量范数‖X‖z相容。 注意:定义一种矩阵范数时,应使它与向量范数相容
设 为 中的向量范数， 为 中的 矩阵范数，如果对于任意的X与A，满足 || || n X R || || n n A R || || || || || || AX A X 矩阵范数和向量范数的相容性 则称矩阵范数 || || A 和向量范数 || || X 相容。 注意：定义一种矩阵范数时，应使它与向量范数相容
定理1设在R中给定了一种向量范数,对任一n阶 方阵A,令 Al=maxl!AX‖ IX= 则由此定义的‖‖是一种矩阵范数,并且它与所给 定的向量范数相容。 称此矩阵范数为从属于给定向量范数的矩阵范数、矩阵 的算子范数或由向量导出的矩阵范数。 算子范数的一个必要条件:‖I|=1
定理1 设在 中给定了一种向量范数，对任一n阶 方阵A，令 则由此定义的 是一种矩阵范数，并且它与所给 定的向量范数相容。 n R || || 1 || || max || || X A AX = = || || 称此矩阵范数为从属于给定向量范数的矩阵范数、矩阵 的算子范数或由向量导出的矩阵范数。 算子范数的一个必要条件： || || . I = 1
RnXn中常用的范数: ∞范数‖A|l。=max∑|an|行范数 1<i<n J 1—范数‖Al1=max∑a列范数(子 lsi≤n 范 数 2—范数‖4|2=√m(4A)谱范数 F一范数 4|=∑ II=vn ( Frobenius) J AX|2s‖A|F:lXl2
R n × n中常用的范数： 1 1 1 || || max | | n ij j n i A a = 1 —范数 = 2 —范数 ∞ —范数 2 max || || ( ) A A A = 1 1 || || max | | n ij i n j A a = = 列范数 行范数 F —范数 (Frobenius) 2 , 1 || || n F ij i j A a = = || || F I n = 算子范数 2 2 || || || || || || AX A X F 谱范数
例2计算矩阵A 的各种范数。 解(Al=max∑|an|=max{1+1,2+3}=5, 1<isn n (川4=max∑|anl=max1+2,1+3}=4, 55 A-5-5 (3)AA 5,nI-A'A 5-10 1≈13.091,2≈1910, =2-15+25=0, A4l2=√n(4A≈√13.091=3618, (4A=∑v=+1+4+9=5
例2 计算矩阵 的各种范数。 解 1 1 2 3 A − = 1 1 1 (2) || || max | | n ij j n i A a = = 2 max = || || ( ) A A A 1 1 (1) || || max | | n ij i n j A a = = = + + = max{1 2,1 3} 4, 5 5 (3) , 5 10 A A = 2 5 5 | | 5 10 15 25 0, I A A − − − = − − = − + = 1 2 13.091, 1.910, = 13.091 3.618, = + + = max{1 1, 2 3} 5, 2 , 1 (4) || || n F ij i j A a = = = + + + = 1 1 4 9 15