数理方程复习指导 2020春数理方程08班 最后得到： (+at)+p(-at)]+()de x-at≥0 u(z,t)= i(+at)+(at-+ta ()dE +fo()d,x-at <0 即为原问题的解。 3.8可以通过函数变换转化为一维无界区域波动方程问题 求圆锥杆的纵振动问题： 了是(1-)2器=点(1-)2 u(x,0)=p(r,u(x,0)=(r) 解：泛定方程为： -)-)-=0 我们发现这个方程并不是我们熟悉的方程，不能直接使用行波法求解。但考虑题目提示 为杆的纵振动问题，并且是一维无界区域问题，所以考虑通过函数变换将方程转化为一 维无界区域波动方程问题，进而可以使用行波法求解。（说明，对于这个问题，我们对 方程进行分类后发现，也可以使用积分变换法或者基本解方法。只不过因为行波法求解 比较简单，而且这个问题说明是一维无界区域的纵振动问题，所以考虑尝试一下通过转 化来利用行波法求解。如果不想这样求解也可以直接进行积分变换等。) 考虑到各式的系数只是x的函数，故可令 u(x,t)=w(x)v(x,t) 于是 灶=Utt,L4=Ue 代入上式得 (-月wr(-月a+0-别-紧u +0-别a答 15
数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 最后得到： u(x, t) = 1 2 [φ(x + at) + φ(x − at)] + 1 2a R x+at x−at ψ(ξ)dξ x − at ≥ 0 1 2 [φ(x + at) + φ(at − x)] + 1 2a hR x+at 0 ψ(ξ)dξ + R at−x 0 ψ(ξ)dξ i , x − at < 0 即为原问题的解。 3.8 可以通过函数变换转化为一维无界区域波动方程问题 求圆锥杆的纵振动问题: ∂ ∂x h 1 − x h 2 ∂u ∂x i = 1 a 2 1 − x h 2 ∂ 2u ∂t2 u(x, 0) = φ(x), ut(x, 0) = ψ(x) 解: 泛定方程为： 1 − x h uxr − 1 a 2 1 − x h uu − 2 h ux = 0 我们发现这个方程并不是我们熟悉的方程，不能直接使用行波法求解。但考虑题目提示 为杆的纵振动问题，并且是一维无界区域问题，所以考虑通过函数变换将方程转化为一 维无界区域波动方程问题，进而可以使用行波法求解。（说明，对于这个问题，我们对 方程进行分类后发现，也可以使用积分变换法或者基本解方法。只不过因为行波法求解 比较简单，而且这个问题说明是一维无界区域的纵振动问题，所以考虑尝试一下通过转 化来利用行波法求解。如果不想这样求解也可以直接进行积分变换等。） 考虑到各式的系数只是 x 的函数, 故可令 u(x, t) = w(x)v(x, t) 于是 ux = wxv + wvx, uxx = wxxv + 2wxvx + wvxx ut = wvt , uu = wvu 代入上式得 1 − x h wvtt =a 2 1 − x h wvxx + 2a 2 1 − x h wx − 2a 2 h w vx + a 2 1 − x h wxx − 2a 2 h wx v 15
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 令此式中 22-)-装。=0 则 号-两-专 1 即 誓产 两边积分，可得心的一个特解 w)=h-可 1 从而有 Ws=(hr 0红=h2守 将”及其各阶导数代入作函数变换后的泛定方程中得到 -a2n=0 此方程的通解为 v(r,t)=fi(r+at)+f2(r-at) 于是原问题的泛定方程的通解为人 u(z,t)=w(z)v(r.t) [fi(x+at)+f2(x-at)]/(h-x) 将定解条件代入泛定方程通解得 fi(r)+f2()=(h-x)(r) 和 a(fi(x)-f2()/(h-x)=v(x) 即 联立上式得 回=-@+六质-4()越+号 =-去h-(-号
数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 令此式中 2a 2 1 − x h wx − 2a 2 h w = 0 则 wx w = 1 h(1 − x/h) = 1 h − x 即 dw w = dx h − x 两边积分，可得 w 的一个特解 w(x) = 1 (h − x) 从而有 wx = 1 (h−x) 2 wxx = 2 (h−x) 3 将 w 及其各阶导数代入作函数变换后的泛定方程中得到 vn − a 2 vn = 0 此方程的通解为 v(x, t) = f1(x + at) + f2(x − at) 于是原问题的泛定方程的通解为 u(x, t) = w(x)v(x, t) = [f1(x + at) + f2(x − at)] /(h − x) 将定解条件代入泛定方程通解得 f1(x) + f2(x) = (h − x)φ(x) 和 a [f1(x) − f2(x)] /(h − x) = ψ(x) 即 f1(x) − f2(x) = 1 a Z x x0 (h − ξ)ψ(ξ)dξ + C 联立上式得 f1(x) = (h−x)φ(x) 2 + 1 2a R x x0 (h − ξ)φ(ξ)dξ + C 2 f2(x) = (h−x)φ(x) 2 − 1 2a R x x0 (h − ξ)ψ(ξ)dξ − C 2 16
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 所以，定解问题的解为 u(,t)=2(h-z(h-al)p(x+at)+(h-z+at)p(r-at)+ h-(dE 3.9通解法求解定解问题 通解的求解为类型：可通过函数变换转化为可直接积分类型 ∫器+器=0 u(0,)=(y),u(x,0)=(x) 解：利用函数代换来求解泛定方程。 两边对x积分一次得 +u=9) 其中，9()为任意函数，故上述方程又可写为 2 u)=g(u) 两边对，积分得 e"g(y)dy+h(x) 于是得泛定方程的通解为 u(r,y)=f(y)+e-wh(x) 其中，f()和()为任意函数.将定解条件代入通解，构建己知函数和未知函数的联系 ∫fy)+evh(0)=p() f0)+h(x)=(x) 故有 h(x)=()-f(0) f()=p()-eh(0)=()-e[(0)-fo 用己知函数表达未知函数并代入通解，得到定解问题的解为 u(x,）=p(划)+e[(）-p(0j
数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 所以，定解问题的解为 u(x, t) = 1 2(h − x) [(h − x − at)φ(x + at) +(h − x + at)φ(x − at) + Z x+at x−at h − ξ a ψ(ξ)dξ 3.9 通解法求解定解问题 通解的求解为类型：可通过函数变换转化为可直接积分类型 ( ∂ 2u ∂x∂y + ∂u ∂x = 0 u(0, y) = φ(y), u(x, 0) = ψ(x) 解：利用函数代换来求解泛定方程。 ∂ ∂x ∂u ∂y + u = 0 两边对 x 积分一次得 ∂u ∂y + u = g(y) 其中, g(y) 为任意函数, 故上述方程又可写为 ∂ ∂y (e yu) = e y g(y) 两边对 y 积分得 e yu = Z e y g(y)dy + h(x) 于是得泛定方程的通解为 u(x, y) = f(y) + e −yh(x) 其中, f(y) 和 h(x) 为任意函数. 将定解条件代入通解，构建已知函数和未知函数的联系 ( f(y) + e −yh(0) = φ(y) f(0) + h(x) = ψ(x) 故有 h(x) = ψ(x) − f(0) f(y) = φ(y) − e −yh(0) = φ(y) − e −y [ψ(0) − f(0)] 用已知函数表达未知函数并代入通解，得到定解问题的解为 u(x, y) = φ(y) + e −y [ψ(x) − φ(0)] 17
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 第二章综合复习 4.1主要内容 分离变量法的基本概念以及想法来源 分离变量法的适用范围 分离变量法的具体操作 施刘方程的定义以及将一般二阶常微分方程转化为施刘方程的方法 施刘定理的成立条件 施刘定理的具体内容 非齐次方程的定解问题结合分离变量法求解 非齐次边界条件的定解问题结合分离变量法求解 非齐次方程和非齐次边界混合问题的求解 4.2学习目标 理解分离变量法的想法来源，即转化思想 理解分离变量法的适用范围，有界区域，齐次方程，齐次边界 理解分离变量法的本质，把解和定解条件在固有函数系上展开 熟练掌握分离变量法的具体流程 熟练掌握固有值问题的书写以及求解，可以记忆不同边界条件对应的固有值问题 的解 熟练掌握形式解的书写 熟练掌握利用正交性求解形式解中的系数的方法 18
数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 第二章综合复习 4.1 主要内容 分离变量法的基本概念以及想法来源 分离变量法的适用范围 分离变量法的具体操作 施刘方程的定义以及将一般二阶常微分方程转化为施刘方程的方法 施刘定理的成立条件 施刘定理的具体内容 非齐次方程的定解问题结合分离变量法求解 非齐次边界条件的定解问题结合分离变量法求解 非齐次方程和非齐次边界混合问题的求解 4.2 学习目标 理解分离变量法的想法来源，即转化思想 理解分离变量法的适用范围，有界区域，齐次方程，齐次边界 理解分离变量法的本质，把解和定解条件在固有函数系上展开 熟练掌握分离变量法的具体流程 熟练掌握固有值问题的书写以及求解，可以记忆不同边界条件对应的固有值问题 的解 熟练掌握形式解的书写 熟练掌握利用正交性求解形式解中的系数的方法 18
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 了解施刘方程的定义以及一般二阶常微分方程转化为施刘方程的方法 了解施刘定理的成立条件 理解施刘定理的具体内容及其应用 熟练掌握非齐次问题的处理方法 4.3学习方法 理解分离变量法所蕴含的转化思想，了解转化目标和方法 理解分离变量法的适用范围，以及具体操作 理解分离变量法的本质，把解和定解条件在固有函数系上展开 理解施刘定理的重要意义 4.4明确齐次方程的基本概念 u-Bu=0(0<<l,t>0) {u(0,t)=0,u(l,t)=0 u(,0)=p(x) 解：遇到定解问题我们要首先明确其类型，进而选择合适的方法进行求解。首先根据工 的定义域是有界区域判断满足分离变量法的要求。进一步看方程和边界条件是否齐次。 这个问题的方程看起来会有一点点迷惑性，但是要注意，这是齐次的方程，只不过有了 原函数项。而边界条件是齐次的。因此，经过分析我们确定，可以采用分离变量法。按 照分离变量法的三步走战略，求解过程如下： (1)写出分离变量形式。令 u(x,t)=X(z)T(t) 代入泛定方程得 X(z)T'(t)-DX"(z)T(t)-BX(x)T(t)=0 两边除DXT得
数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 了解施刘方程的定义以及一般二阶常微分方程转化为施刘方程的方法 了解施刘定理的成立条件 理解施刘定理的具体内容及其应用 熟练掌握非齐次问题的处理方法 4.3 学习方法 理解分离变量法所蕴含的转化思想，了解转化目标和方法 理解分离变量法的适用范围，以及具体操作 理解分离变量法的本质，把解和定解条件在固有函数系上展开 理解施刘定理的重要意义 4.4 明确齐次方程的基本概念 ut − Duxx − βu = 0(0 < x < l, t > 0) u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 u(x, 0) = φ(x) 解：遇到定解问题我们要首先明确其类型，进而选择合适的方法进行求解。首先根据 x 的定义域是有界区域判断满足分离变量法的要求。进一步看方程和边界条件是否齐次。 这个问题的方程看起来会有一点点迷惑性，但是要注意，这是齐次的方程，只不过有了 原函数项。而边界条件是齐次的。因此，经过分析我们确定，可以采用分离变量法。按 照分离变量法的三步走战略，求解过程如下： (1) 写出分离变量形式。令 u(x, t) = X(x)T(t) 代入泛定方程得 X(x)T ′ (t) − DX′′(x)T(t) − βX(x)T(t) = 0 两边除 DXT 得 T ′ (t) DT(t) − β D = X′′(x) X(x) =µ 19