数理方程复习指导 2020春数理方程08班 即 ∫5= n= 则方程变为 7(,小=0 2 此时己经完成转化目标，直接积分即可得到方程的解 u(ξ，)=f()+() 其中，1()和()分别为和刀的任意函数。 3.5定解问题的书写 在去年的期末考试试题中出现给出自然语言描述的物理问题，要求根据对于数理方 程的理解，写出对应的定解问题。这类题目要求我们对数理方程的建立、三类典型方程 的书写及其物理意义、定解条件的书写及物理意义都要有一定理解。 设有一厚壁圆简，其初始温度为，并设它的内表面的温度增加与时间t成线性关系， 外表面和温度为山的介质进行热交换，试写出其温度分布满足的定解问题。 这类问题的求解首先要明确题目所述的物理问题属于哪类问题，尤其是对于温度分布类 问题，要判断题目要求求解的是某一时间段的温度分布还是稳定时刻的温度分布。 解： 而内表面的温度为 叫-n,=at+b 其中，a,b为常数。由-0=o可求得b=0,故有 ulr=m=at +uo 由题意知周围介质的温度为山1，则由Newton冷却定律有 -kurl=H(ur2-u）
数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 即 ( ξ = 3x−y 4 η = x+y 4 则方程变为 ∂ 2 ∂ξ∂ηu(ξ, η) = 0 此时已经完成转化目标，直接积分即可得到方程的解 u(ξ, η) = f1(ξ) + f2(η) 其中，f1(ξ) 和 f2(η) 分别为 ξ 和 η 的任意函数。 3.5 定解问题的书写 在去年的期末考试试题中出现给出自然语言描述的物理问题，要求根据对于数理方 程的理解，写出对应的定解问题。这类题目要求我们对数理方程的建立、三类典型方程 的书写及其物理意义、定解条件的书写及物理意义都要有一定理解。 设有一厚壁圆筒, 其初始温度为 u0, 并设它的内表面的温度增加与时间 t 成线性关系， 外表面和温度为 u1 的介质进行热交换, 试写出其温度分布满足的定解问题。 这类问题的求解首先要明确题目所述的物理问题属于哪类问题，尤其是对于温度分布类 问题，要判断题目要求求解的是某一时间段的温度分布还是稳定时刻的温度分布。 解： ut = D∆u = D ∂ 2u ∂r2 + 1 r ∂u ∂r , u| t=0 = u0 而内表面的温度为 u| r=r1 = at + b 其中, a, b 为常数。由 u| t=0 = u0 可求得 b = u0, 故有 u| r=r1 = at + u0 由题意知周围介质的温度为 u1, 则由 Newton 冷却定律有 − kur| r=r2 = H u| r=r2 − u1 10
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 即 (u+hur)r=r =u1 其中，=奈，k和H分别为热传导系数和热交换系数 3.6行波法求解一维无界区域弦振动问题 un a2urz (-oo<x<+oo,t>0) u(0,x)=(x),(0,x)=(x)(-∞<x<+o) 利用上述变量代换法可以求得一维齐次波动方程的通解为一X u=f(x-at)+g(x+at) 由所给的初始条件，就有 u(0,z)=f(z)+g()=() L(0,x)=-af'(x)+ag(x)=(x) 积分可得 a+a-e+c 联立上式，解得 f)=g-六6o()d- g()=号+六6()+号 于是，我们得到了 u(t,z)=f(x-at)+g(x+at) =e-+9t+a0+ φ()d 2 2a L 即为原问题的解
数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 即 (u + hur)| r=r2 = u1 其中, h = k H , k 和 H 分别为热传导系数和热交换系数. 3.6 行波法求解一维无界区域弦振动问题 ( utt = a 2uxx (−∞ < x < +∞, t > 0) u(0, x) = φ(x), ut(0, x) = ϕ(x)(−∞ < x < +∞) 利用上述变量代换法可以求得一维齐次波动方程的通解为 u = f(x − at) + g(x + at) 由所给的初始条件，就有 ( u(0, x) = f(x) + g(x) = φ(x) ut(0, x) = −af′ (x) + ag′ (x) = ϕ(x) 积分可得 −f(x) + g(x) = 1 a Z x 0 ψ(ξ)dξ + c 联立上式，解得 f(x) = φ(x) 2 − 1 2a R x 0 ϕ(ξ)dξ − c 2 g(x) = φ(x) 2 + 1 2a R x 0 ϕ(ξ)dξ + c 2 于是，我们得到了 u(t, x) = f(x − at) + g(x + at) = φ(x − at) + φ(x + at) 2 + 1 2a Z x+at x−at ϕ(ξ)dξ 即为原问题的解。 11
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 3.7一维半无界区域的弦振动方程的处理之通解法和延拓 法 首先我们的想法很明确，即基于对行波法求解一维无界区域弦振动方程的理解，进 行转化。有两类转化目标，即借鉴思想和直接转化为可处理的问题。这道例题的法一和 法二分别是这两种思路的应用。 t-a2ur=-0(0<x<o,t>0) u(,0)=p(x) u(x,0)=(x) ur(0,t)=0 解：法一 泛定方程的通解为 u(z,t)=fi(z+at)+f2(z-at) 故有 fi(r)+f2(r)=(r) 进而可得 afi(e)-af()=() 即 )+c 其中，C=(0)-2(0).X f()-p()+五6()d+号 回)=（回）-六6()d-号 以上二式均是在0≤x<o的前题下推得的.因为x+at总是大于，等于零的，故有 +四-e+网+安8账+写 至于x-at就不一定大于零了. ()若x-at≥0，则有 e-a-e-am-六厂ees-号 12
数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 3.7 一维半无界区域的弦振动方程的处理之通解法和延拓 法 首先我们的想法很明确，即基于对行波法求解一维无界区域弦振动方程的理解，进 行转化。有两类转化目标，即借鉴思想和直接转化为可处理的问题。这道例题的法一和 法二分别是这两种思路的应用。 utt − a 2uxx = 0(0 < x < ∞, t > 0) u(x, 0) = φ(x) ut(x, 0) = ψ(x) ux(0, t) = 0 解：法一 泛定方程的通解为 u(x, t) = f1(x + at) + f2(x − at) 故有 f1(x) + f2(x) = φ(x) 进而可得 af′ 1 (x) − af′ 2 (x) = ψ(x) 即 f1(x) − f2(x) = 1 a Z x 0 ψ(ξ)dξ + C 其中, C = f1(0) − f2(0). f1(x) = 1 2 φ(x) + 1 2a R x 0 ψ(ξ)dξ + C 2 f2(x) = 1 2 φ(x) − 1 2a R x 0 ψ(ξ)dξ − C 2 以上二式均是在 0 ≤ x < ∞ 的前题下推得的. 因为 x + at 总是大于, 等于零的, 故有 f1(x + at) = 1 2 φ(x + at) + 1 2a Z x+at 0 ψ(ξ)dξ + C 2 至于 x − at 就不一定大于零了。 (1) 若 x − at ≥ 0, 则有 f2(x − at) = 1 2 φ(x − at) − 1 2a Z x−at 0 ψ(ξ)dξ − C 2 12
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 (2)若x-at<0,则上式不能用。但将边界条件代入通解得 ff(at)+f2(-at)=0 令x=at,并对上式从0到x积分得 fi()-f2(-x)=C 即 f2(-x)=f()-C(x≥0) 故 f2(x-at)=f2[-(at-z)](at-0) =fi(at-z)-C =at-+g-c /(e+ad+p(e-at+去()ds u(z,t)= -at≥0 o(x+at)+p(at-x月+六6+()d +v()deat <0 法二： 设想将半无限长的杆，延拓（拼接）成无限长的杆，并将原定解问题的初始条件看成无限 长杆的纵振动的初始条件在0≤x<©中的部分，即将原定解问题转化为 uH=a2u(-00<x<0o,t>0) u(z,0)=(x)= (x),0≤x<∞ f(r).-0<<0 (c),0≤x<0o u(x,0)=亚(x)= g(x),-<x<0 ux(0,t)=0 则由d'Alembert公式立即可写出定解问题的解为 其中，f(x)和g(x)是未知的。 延拓的目标是要用延拓后的解来得到原问题的解，因此要让延拓后的解在原问题的定 义域处的部分和原问题解相同。所以利用原问题的边界条件可以求得的(：，)在0≤
数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 (2) 若 x − at < 0, 则上式不能用。但将边界条件代入通解得 f ′ 1 (at) + f ′ 2 (−at) = 0 令 x = at, 并对上式从 0 到 x 积分得 f1(x) − f2(−x) = C 即 f2(−x) = f1(x) − C(x ≥ 0) 故 f2(x − at) =f2[−(at − x)](at − x ≥ 0) = f1(at − x) − C = 1 2 φ(at − x) + 1 2a Z at−x 0 ψ(ξ)dξ − C u(x, t) = 1 2 [φ(x + at) + φ(x − at)] + 1 2a R x+at x−at ψ(ξ)dξ x − at ≥ 0 1 2 [φ(x + at) + φ(at − x)] + 1 2a hR x+at 0 ψ(ξ)dξ + R at−x 0 ψ(ξ)dξ i , x − at < 0 法二: 设想将半无限长的杆, 延拓 (拼接) 成无限长的杆，并将原定解问题的初始条件看成无限 长杆的纵振动的初始条件在 0 ≤ x < ∞ 中的部分 , 即将原定解问題转化为 utt = a 2uxx(−∞ < x < ∞, t > 0) u(x, 0) = Φ(x) = ( φ(x), 0 ≤ x < ∞ f(x), −∞ < x ≤ 0 ut(x, 0) = Ψ(x) = ( ψ(x), 0 ≤ x < ∞ g(x), −∞ < x < 0 ux(0, t) = 0 则由 d’Alembert 公式立即可写出定解问题的解为 u(x, t) = 1 2 [Φ(x + at) + Φ(x − at)] + 1 2a Z x+at x−at Ψ(ξ)dξ 其中, f(x) 和 g(x) 是未知的。 延拓的目标是要用延拓后的解来得到原问题的解，因此要让延拓后的解在原问题的定 义域处的部分和原问题解相同。所以利用原问题的边界条件可以求得的 u(x, t) 在 0 ≤ 13
数理方程复习指导 2020春数理方程08班 x<∞中的值即为原定解问题的解 (0,)=Φ'(0+at)+Φ'0-at) +2a(0+a)-0-al=0 即 2®(8)+-划+云(9-(-】=0帐≥0) 由此有()=(-)，()=(-)这说明满足边界条件的重和业，均为偶函数。即 (x)= (x),0≤x<00 p(-x),-∞<x<0 (x) (x),0≤x<0 (-x),-0o<x<0 亦即 f(x)=(-x),g(x)=(-x) 注意到x+t总于大于等于零的，于是有 Φ(x+ad)=p(z+at) 后+(d-后+e) 而x一at有可能大于，等于或小于委。 (1)若x-at≥0，则 Φ(x-at)=p(-at) 9-vas (2)若x-t<0,则 (-at)=-(-at)]=(at-z) v-ddn v(ases 14
数理方程 08 班 数理方程复习指导 2020 春数理方程 08 班 x < ∞ 中的值即为原定解问题的解. ux(0, t) = 1 2 [Φ′ (0 + at) + Φ′ (0 − at)] + 1 2a [Ψ(0 + at) − Ψ(0 − at)] = 0 即 1 2 [Φ′ (ξ) + Φ′ (−ξ)] + 1 2a [Ψ(ξ) − Ψ(−ξ)] = 0(ξ ≥ 0) 由此有 Φ(ξ) = Φ(−ξ), Ψ(ξ) = Ψ(−ξ) 这说明满足边界条件的 Φ 和 Ψ, 均为偶函数。即 Φ(x) = ( φ(x), 0 ≤ x < ∞ φ(−x), −∞ < x < 0 Ψ(x) = ( ψ(x), 0 ≤ x < ∞ ψ(−x), −∞ < x < 0 亦即 f(x) = φ(−x), g(x) = ψ(−x) 注意到 x + at 总于大于等于零的, 于是有 Φ(x + at) = φ(x + at) R x+at 0 Ψ(ξ)dξ = R x+at 0 ψ(ξ)dξ 而 x − at 有可能大于, 等于或小于零。 (1) 若 x − at ≥ 0, 则 Φ(x − at) = φ(x − at) Z 0 x−at Ψ(ξ)dξ = Z 0 x−at ψ(ξ)dξ (2) 若 x − at < 0, 则 Φ(x − at) = φ[−(x − at)] = φ(at − x) Z 0 x−at Ψ(ξ)dξ = Z 0 x−at ψ(−ξ)dξ η=−ξ = − Z 0 at−x ψ(η)dη 即 Z 0 x−at Ψ(ξ)dξ = Z at−x 0 ψ(ξ)dξ 14