同济大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章矩阵的初等变换与线性方程组 习题课

生5行最简形矩阵 经过初等行变换,行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵,其特点是:非零行的第 个非零元为1,且这些非零元所在列的其它元素都 为0 例如1-0-104 0:1-103 000 ■■ 1_3 00000 上页

经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都 为0． 例如               − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 0 3 1 0 1 0 4 ５ 行最简形矩阵

生6矩阵的标准形 对行阶梯形矩阵再进行初等列变换,可得到 矩阵的标准形,其特点是:左上角是一个单位矩 阵,其余元素都为0 例如 10-104 4C4 10000 工工工 01-103 C4C1C2 01000 0001-3433100100 00000 00000 上页

对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0． 例如               − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 0 3 1 0 1 0 4 c c c c c c c c c 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 3 3 ~ + +  − − +               0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ６ 矩阵的标准形

任何一个mxn矩阵,总可以经过初等变换行变 换和列变换化为标准形 F E nxn 牛此标准形由m三个数完全确定其中就是行阶 梯形矩阵中非零行的数 所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一 c个等价类,标准形F是这个等价类中形状最简单的 矩阵 上页

. , , , ), , ( 梯形矩阵中非零行的行数 此标准形由 三个数完全确定其 中 就是行阶 换和列变换 化为标准形 任何一个 矩 阵 总可以经过初等变换行 变 m n r r O O Er O F m n m n       =   所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一 个等价类，标准形 是这个等价类中形状最简单的 矩阵． F

生7矩阵的秩 定义在m×n矩阵4中任取行和列,位于这些 王行列交又处的k4个元素不改变它们在中所处 午的位置次序而得到的阶行列式称为矩阵的 6阶子式 定义设在矩阵中有一个不等于0的阶子式D, 王且所有+1阶子式如果存在的话全等于那么 牛D称为矩阵的最高阶非零子式数称为矩阵4 的秩记作R(4并规定零矩阵的秩等子 上页

定义 . , , , , 2 阶子式 的位置次序而得到的 阶行列式 称为矩阵 的 行列交叉处的 个元素 不改变它们在 中所处 在 矩 阵 中 任 取 行 和 列 位于这些 k k A k A m  n A k k ７ 矩阵的秩 定义 , ( ). 0. , 1 ( ) 0, 0 , 的 秩 记 作 并规定零矩阵的秩等于 称为矩阵 的最高阶非零子式数 称为矩阵 且所有 阶子式 如果存在的话全等于 那 么 设在矩阵 中有一个不等于 的 阶子式 R A D A r A r A r D +

生8矩阵秩的性质及定理 如果4中有一个非零的阶子式则R(4)≥r; 如果4中所有r+阶子式都为零则R(A)≤r; R(A)=R(A); 定理若4~B,则R(A)=R(B); 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数 上页

如 果A中所有r + 1阶子式都为零,则R(A)  r; R(A ) R(A); T = 定理 若A ~ B,则R(A) = R(B); 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数． ８ 矩阵秩的性质及定理 如 果A中有一个非零的r阶子式,则R(A)  r;