瀚S3.3阶梯算符TheladderoperatorsM,=M,+iM递升算符 step-up or raising operator升算符M_=M.-iM递减算符step-downorloweringoperator降算符M,M?-[M,M?+iM,,M?=0M_,M2-[M,M2-i[M,,M2=0[M.,M.]-[M,M.]+i[M,,M.=-inM,-hM,=-hM[M.,M.-M,M.]-iM,M.--inM,+hM,-hMMM.=M.M-hM=(M.-h)MMM,=M.M_ +hM_ =(M,+h)M11111111111111111《量子化学》第三章角动量和自旋
《量子化学》第三章 角动量和自旋 §3.3 阶梯算符 The ladder operators ˆ ˆ ˆ i ˆˆˆ i x y x y M M M M M M 递升算符 step-up or raising operator升算符 递减算符 step-down or lowering operator降算符 22 2 22 2 ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ , , i, 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , , i, 0 x y x y MM MM MM MM MM MM ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ , , i, i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ , , i, i ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ( ) z xz yz y x z xz yz y x zz z zz z M M MM MM M M M M M MM MM M M M MM MM M M M MM MM M M M 11111111111111111
南戚M,M_=(M,+iM,)(M-iM,)=M +M,+i(M,M,-M,M,)=M?-M?+hMMM=M?-M?-hM阶梯算符法求角动量的本征值M'Y=CYM2,M，共同的本征函数Y，设m+1M.Y-bYm,m-1M.M.Y=M.bY=bMY= M.(MY)=(b+h)M YMMY=M.MY-hMYY'= MYM.作用在Y上，得到新函数Y'，Y'也是M,的本征函数，M.Y'=(b+h)Y"但本征值增加了，这就是递升算符名称的来源11111111111111111《量子化学》第三章角动量和自旋
《量子化学》第三章 角动量和自旋 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ii i ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ x y x y x y yx xy z z z z M M M M M M M M MM MM MM M MM M M M 阶梯算符法求角动量的本征值 2 ˆ ˆ , M Mz 共同的本征函数Y，设 2 ˆ ˆ z M Y cY M Y bY ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ( )( ) ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ( ) z z z z z M M Y M bY bM Y M MY b MY M MY MMY MY Y MY MY b Y M+作用在Y上，得到新函数Y'， Y'也是Mz的本征函数， 但本征值增加了，这就是递升算符名称的来源 ml+1 ml ml1 M ˆ M ˆ 11111111111111111
《葡》M M.(MY)=(b+h)M?Y(M.M -hM)(MY)= M.M?Y-hM?Y =(b+h)M?)M.M?Y =(b+2h)M?yM.M*Y =(b+kh)M*YMkY是M.的本征函数k-0, 1, 2...M.M*Y = (b-kh)M*yM,M]=0+[M]=[M2,M]=0M与M?对易11111111111111111《量子化学》第三章角动量和自旋
《量子化学》第三章 角动量和自旋 2 22 2 2 2 ˆˆ ˆ ˆ ( )( ) ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ( )( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ( 2) z z z z MM MY b MY M M M MY MMY MY b MY MMY b MY ˆˆ ˆ ( ) ˆˆ ˆ ( ) k k z k k z M MY b k MY M MY b k MY k=0, 1, 2. ˆ k MY是 ˆMz的本征函数 2 22 2 2 2 ˆ ˆ , 0 ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ , , ,0 ˆ ˆ , 0 k M M MM MM M M MM M M ˆ 与 对易 k M 2 Mˆ 11111111111111111