2.2.3线性系統的基本特性 在控制系统中的作用 线性系统的叠加原理表明,两个外作用同时作用于系 统产生的总输出,等于各个外作用单独作用时产生的 输出之和,且外作用的数值增大若干倍时,其输出亦 增大同样的倍数。 因此,对线性系统进行分析和设计时,如果有几个外 作用同时加于系统,则可以将它们分别处理,依次求 出各个外作用单独加入系统的输出,然后将它们叠加。 此外,每个外作用在数值上可只取单位值,从而大大 简化了线性系统的研究工作
在控制系统中的作用 线性系统的叠加原理表明，两个外作用同时作用于系 统产生的总输出，等于各个外作用单独作用时产生的 输出之和，且外作用的数值增大若干倍时，其输出亦 增大同样的倍数。 因此，对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外 作用同时加于系统，则可以将它们分别处理，依次求 出各个外作用单独加入系统的输出，然后将它们叠加。 此外，每个外作用在数值上可只取单位值，从而大大 简化了线性系统的研究工作。 2.2.3 线性系统的基本特性
2.2.4非线性数学模型的线性化 小偏差线性化 y=f(x) (o,yo) 设函数y=在(X0,yO点连续可微,则将它在该点附近用 泰勒级数展开为 df(xo) d f(xo) x-x0)+ △y ∧y=∫(x)-f(x0),△x=x-x △x+ △y≈kAx 基于增量的线性方程
小偏差线性化 2.2.4 非线性数学模型的线性化 y = f (x) 2 0 0 2 0 0 0 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ... 2 ! df x d f x f x f x x x x x dt dt = + − + − 0 0 0 ( ) ( ), ...., x y f x f x x x x df y x dx y k x = − = − = + y x 0 y 0 x 0 0 ( , ) x y 设函数y=f(x)在(x0，y0)点连续可微，则将它在该点附近用 泰勒级数展开为 基于增量的线性方程
2.2.4非线性数学模型的线性化 线性化的条件 1系统有一个稳定的工作点(x1)y=f(x) 2.运行过程中偏差量满足小偏差条件 3.非线性函数在工作点处导数存在 △ △ Ax例如倒立摆系统 就是非线性系统 △y=k△x df 例如:y=f(x),x0,y)=(2mv,250),[]=2=3,x=25,y≈? aX
1. 系统有一个稳定的工作点 2. 运行过程中偏差量满足小偏差条件 3. 非线性函数在工作点处导数存在 y 2.2.4 非线性数学模型的线性化 线性化的条件 x ( , ) y = f (x) 0 0 x y 0 x df y x dx y k x = = 0 y 0 x 例如倒立摆系统 就是非线性系统 0 0 0 ( , )= 2mv,25 ),[ ] 3, 2.5, ? x y x y x=2 = = df 例如：y=f(x), （ dx
2.2.4非线性数学模型的线性化 例2-5图是单摆的示意图 (1)写出单摆的运动方程,假设单摆的质量m集中在单摆的末端。 (2)当输入力矩T=1Nm的阶跃输入时,用 MATLAB确定θ的 时间响应曲线。假设1m,m=0.5kg,g=981m/s2 解:运动方程根据旋转牛顿定律,单摆的运动方程为 16=T。- mglsin +SiO=其中=m2 ml 如果单摆运动的摆角在=0附近,且足够小,则有sin6≈0 b+30 l ml
2 I ml = l o T c 例2-5 图是单摆的示意图 （1）写出单摆的运动方程，假设单摆的质量m集中在单摆的末端。 （2）当输入力矩Tc=1N∙m的阶跃输入时，用MATLAB确定θ的 时间响应曲线。假设l=1 m，m=0.5kg，g=9.81m/s2 。 解：运动方程根据旋转牛顿定律，单摆的运动方程为 I = Tc − mglsin 其中 2 sin ml T l g c + = 如果单摆运动的摆角在θ=0附近，且足够小，则有sinθ≈θ， 2 ml T l g c + = 2.2.4 非线性数学模型的线性化
2.2.4非线性数学模型的线性化 代入=1,m=0.5,g-9.81,计算响应 m=0.5;g-9.81;}=1;Tc=1;%给各参数赋值 num=[1/m/// den=[1,0g/小 %定义传递函数分子、分母多项式 的系数(注意一次项的系数为零) step(num, den) %求单位阶跃响应,并画出曲线 Step Response 0.45 0.6 o.15 5-6节终
代入l=1 ，m=0.5，g=9.81，计算响应 m=0.5; g=9.81; l=1; Tc=1; %给各参数赋值 num=[1/m/l/l]; den=[1,0 g/l]; %定义传递函数分子、分母多项式 的系数 (注意一次项的系数为零) step(num,den) %求单位阶跃响应，并画出曲线 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 Step Response Time (sec) Amplitude 5-6节终 2.2.4 非线性数学模型的线性化