自控习题及解答 第二章 2-2若某系统在阶跃输入r(t)=1(t)时,零初始条件下的输出响应c(t)=1-e2+e,试求系统的传 递函数和脉冲响应。 【解】根据传递函数的定义,其传递函数为零初始条件下,输出信号的拉氏变换与输入信号 拉氏变换之比,即 G(s)=C(s)_1 R(s)ss+2s+1s(s+1)(s+2) 23设系统传递函数为 G(s) 初始条件c(0)=-1,dc(0)/dt=0。求单位阶跃输入nt)=1(t时,系统的输出响应c(t 【解】系统传递函数与微分方程是一一对应的,故通过传递函数先求出微分方程,然后通过 拉氏变换的方法求解微分方程。 系统对应的微分方程为 +4c(1)+3c(1)=2r() 在给定的非零初始条件下,进行拉氏变换 (s2+4s+3)C(s)-sc(0)-c(0)-4c(0)= 整理后 +3)(s2+4 部分分式展开后,拉氏反变换 s+4 ]=L[ 2/35/25/6 c()=L[C(3s)=E[ (s2+4s+3)(s2+4s+3) 25-5 6 24在图2-48中,已知Gs)和H(s两方框对应的微分方程分别为 C(s) ( (1)+2c(t)=5e(1) 4b(1)+3b(1)=6c(1) 图2-48习题2-4系统结构框图 且初始条件为零,试求传递函数C(sR(s)。 【解】求出每个方框的传递函数,利用反馈等效的方法求C(s)/R(s) 根据定义可得
自控习题及解答 第二章 2-2 若某系统在阶跃输入 r(t)=1(t)时，零初始条件下的输出响应 c(t)=1-e -2t+e-t，试求系统的传 递函数和脉冲响应。 【解】根据传递函数的定义，其传递函数为零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号 拉氏变换之比，即 ( ) 1 1 1 1 ( ) ( ) / ( ) 2 1 C s G s R s s s s s = = − + + + 2 4 2 ( 1)( 2) s s s s + + = + + 2-3 设系统传递函数为 4 3 2 ( ) 2 + + = s s G s 初始条件 c(0) = −1,dc(0)/ dt = 0 。求单位阶跃输入 r(t)=1(t)时，系统的输出响应 c(t)。 【解】系统传递函数与微分方程是一一对应的，故通过传递函数先求出微分方程，然后通过 拉氏变换的方法求解微分方程。 系统对应的微分方程为 c c t c t r t ++= 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 在给定的非零初始条件下，进行拉氏变换 2 2 ( 4 3) ( ) (0) (0) 4 (0) s s C s sc c c s + + − − − = 整理后 2 2 2 1 ( ) ( 4 3) ( 4 3) s C s s s s s s + = − + + + + 部分分式展开后，拉氏反变换 1 1 1 2 2 3 2 4 2 / 3 5/ 2 5/ 6 ( ) [ ( )] [ ] [ ] ( 4 3) ( 4 3) 1 3 2 5 5 3 2 6 t t s c t L C s L L s s s s s s s s e e − − − − − + = = − = − + + + + + + + = − + 2-4 在图 2-48 中，已知 G(s) 和 H(s)两方框对应的微分方程分别为 ( ) 2 ( ) 5 ( ) 4 ( ) 3 ( ) 6 ( ) c t c t e t b t b t c t + = + = 图 2-48 习题 2-4 系统结构框图 且初始条件为零，试求传递函数 C(s)/R(s)。 【解】求出每个方框的传递函数，利用反馈等效的方法求 C(s)/R(s)。 根据定义可得 H(s) G(s) R(s) E(s) C(s) B(s) 5
G(s)=5 C(s) 5G(s) (s+2) 25(4s+3) 100s+75 R(s)1+G(s)H(s)、x(s+2)(4s+3) 6(s+2)4s+3)+304s2+1ls+-36 2·5图2-49是由电阻、电容和运算法放大器组成的无源网络和有源网络,试列写以Vit) 为输入量,Vou(t)为输出量的传递函数 R C? R 图2-49习题25电路图 【解】(a)Z1 R RCs+1 Z2 G(s)=2 RCs+I R R(C1+C2) RC,s+1 Cas (b)21=Rz2=R2=nB RCs+1 R, G(s)=-2=kCs+=-R 21R R RCs
5 ( ) 2 G s s = + ， 6 ( ) 4 3 H s s = + 2 5 5 ( ) 5 ( ) 25(4 3) 100 75 ( 2) ( ) 1 ( ) ( ) ( 2)(4 3) 30 4 11 36 5 6 1 ( 2) (4 3) C s G s s s s R s G s H s s s s s s s + + + = = = = + + + + + + + + + 2-5 图 2-49 是由电阻、电容和运算法放大器组成的无源网络和有源网络，试列写以 Vin(t) 为输入量，Vout(t)为输出量的传递函数。 (a) （b） (c) (d) 图 2-49 习题 2-5 电路图 【解】(a) 1 2 1 1 2 1 1 , 1 R Z R Z C s RC s C s = = = + 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 ( ) 1 ( ) 1 1 Z C s RC s G s Z Z R C C s R RC s C s + = = = + + + + + （b） 2 1 1 2 2 2 1 1 R Z R Z R Cs R Cs = = = + 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 ( ) 1 R Z R Cs R G s Z R R R Cs + = − = = − + C R1 R2 Vin Vout R3 1 C R R2 Vin Vout C R1 R2 Vin Vout R3 Vin Vou C1 C2 R
R3(R2+) (c)Z1=R1Z2=R3‖(R2+x)= R3(R2Cs+1) R3+R2+ (R3+R2)C R(R,CS+1) G(8)=-2=A+ACs+1=-A,RC+1 R R1(R3+R2 (d)本题和b)、(c)做法图通,因为反馈通路有接地的部分。根据理想运放的假定,负端输入 为虚地和虚开。设R2和R3中间节点的电压为V,则有 v p R R R2 由此,得 y v-y0-v 1/C R2 R3 R3 在两式中消去V,可得到Vin与Vot的关系式 (R2+R,+r,RCs) 26设弹簧特性由下式描述 F=1265y 其中,F是弹簧力,y是变性位移。若弹簧在变性位移0.25附近做微小变化,试推导△F的 线性化方程。 y-Vo Fo 【解】 dF △y,△F=1265×1.1×(0.25)△y=12.11△y 2-7试简化图2-50中的系统结构图,并求传递函数C(sR(s)和Cs)Ns) 如9回 C(s) G2(s) 图2-50习题2-7结构图 【解】(1)求Cs)R(s),由于N(s)=0,所以很简单 C(s) G2(s) H,(s) (s)
(c) 3 2 3 2 1 1 2 3 2 3 2 3 2 1 ( ) 1 ( 1) ( ) 1 ( ) 1 R R Cs R R Cs Z R Z R R Cs R R Cs R R Cs + + = = + = = + + + + 3 2 2 2 3 2 3 1 1 1 3 2 ( 1) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 R R Cs Z R Cs R R Cs R G s Z R R R R Cs + + + + = − = − = − + + (d) 本题和(b)、(c)做法图通，因为反馈通路有接地的部分。根据理想运放的假定，负端输入 为虚地和虚开。设 R2 和 R3 中间节点的电压为 V，则有 1 2 2 3 0 1/ in out V V R R V V V V R R Cs = − − − = + 由此，得 2 1 2 3 3 1 1 ( ) in out R V V R V V Cs R R R = − + + = 在两式中消去 V，可得到 Vin 与 Vout 的关系式 2 3 2 3 1 1 ( ) out in V R R R R Cs V R = − + + 2-6 设弹簧特性由下式描述 1.1 F =12.65y 其中，F 是弹簧力，y 是变性位移。若弹簧在变性位移 0.25 附近做微小变化，试推导△F 的 线性化方程。 【解】 0 0 0 1.1 , , 12.65 1.1 (0.25) 12.11 y y y y y F F F dF F y F y y dy = = − = − = = = 2-7 试简化图 2-50 中的系统结构图，并求传递函数 C(s)/R(s)和 C(s)/N(s)。 图 2-50 习题 2-7 结构图 【解】 （1）求 C(s)/R(s)， 由于 N(s)=0，所以很简单 ( ) 1 H s R(s) C(s) ( ) 1 G s ( ) 2 H s ( ) 2 G s ( ) 1 H s ( ) 3 G s R(s) C(s) ( ) 1 G s ( ) 2 H s N(s) ( ) 2 G s
R(S)1+GG,H,+G,H, (2)求C(S)N(s),等效反馈内回路和相关串联通路,有下列图化简 C(s) G2(s)H2(s) G1(s)H1(s) 移动相加点后, G2(s)G,(s)L N(s) G2(s)H2(s) (s)H1(sG2( +G2(s)H2( C(s 1+G,G2+G2G3 N(s)1+G,,+G2H 2-8已知系统结构图如图2-51所示,试通过结构图等效变换求系统的传递函数C(s)R(s) R(s) (s) H(s) G2(s) H(s)h
1 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) 1 C s G G R s G G H G H = + + (2) 求 C(s)/N(s)，等效反馈内回路和相关串联通路，有下列图化简 移动相加点后， 1 2 2 3 1 2 1 2 2 ( ) 1 ( ) 1 C s G G G G N s G G H G H + + = + + 2-8 已知系统结构图如图 2- 51 所示，试通过结构图等效变换求系统的传递函数 C(s)/R(s)。 (c) (d) C(s) N(s) 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) G s H s G s + G s H s 2 3 2 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) G s G s + G s H s 1 1 G s H s ( ) ( ) ( ) 3 G s C(s) N(s) 2 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) G s + G s H s ( ) 2 G s H(s) R(s) C(s) ( ) 1 G s G(s) H(s) R(s) C(s) B(s) 10
R(s) H(s) R(s) G2(s) R(s) -G(s)}∞-(5)} H2(s) H1(s) 图251习题28结构图 (a) C(s) G1+G2 C(s) G,G2+G R(s)1+(G1+G2)(G3-G4 R(s)1+G2(H1-H2) s) (s) R(s) 1G2(s) H(s)
(e) (f) (g) 图 2-51 习题 2-8 结构图 【解】 (a) 1 2 1 2 3 4 ( ) ( ) 1 ( )( ) C s G G R s G G G G + = + + − , (b) 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) 1 ( ) C s G G G R s G H H + = + − ( ) 2 G s H(s) R(s) C(s) ( ) 1 G s G(s) H(s) R(s) C(s) B(s) 10 ( ) 3 G s ( ) 1 H s R(s) C(s) ( ) 1 G s ( ) 2 H s ( ) 2 G s ( ) 2 H s ( ) 3 G s ( ) 1 H s R(s) C(s) ( ) 1 G s ( ) 2 G s ( ) 3 G s H(s) R(s) C(s) ( ) 1 G s ( ) 2 G s