自控习题及解答 第三章 3-2某温度计插入温度恒定的热水后,其显示温度随时间的变化规律可用一阶系统的响应 来描述,实验测得当1=60s时,温度计度数达到实际水温的95%,试确定该温度计的传递函 【解】用一阶系统的模型,G(s) 3T=60秒故T=20,G(s) 20s+1 3-3在用温度计测量容器内的水温时,发现需要lmin的时间才能指示其实际温度的98%, 如果容器内的水温以10C/min的速度线性增加,试求温度计的稳态误差 【解】用一阶系统的模型,G(s) 4T=1分钟故T=0.25分钟 容器内的水温以10Cmin的速度线性增加时,可认为是斜率是10°C/分钟的斜坡输入,此 时的稳态误差为 e=10×T=2.5C 3-4已知系统单位阶跃响应为 h()=10-125e1sn(16t+53.1°) 试求系统的超调量σ%、峰值时间t和调节时间ts 【解】,由已知表达式可知,该系统为欠阻尼的二阶系统,有 h()=10(1-1.25e 16t+53.1° n( @, t+B 5= a cos B=acos531=0.6,On=1.2/5=2 lp 100%=94% 「3.5 2.92△=5% 3.67Δ=2%0 35设单位反馈系统的开环传递函数为 (1)G(s) (2)G(s) s(s+06) 试求系统(1)、(2)在单位阶跃输入下的动态性能指标。并通过计算说明比例-微分控制的作用。 【解】系统的闭环传递函数为 (1)d(s)=- 0.4s+1 (2)d(s)= s2+0.6s+1 s2+s+1
自控习题及解答 第三章 3-2 某温度计插入温度恒定的热水后，其显示温度随时间的变化规律可用一阶系统的响应 来描述，实验测得当 t=60s 时，温度计度数达到实际水温的 95%，试确定该温度计的传递函 数。 【解】用一阶系统的模型， 1 ( ) 1 G s Ts = + ， 1 3 60 , 20 20 1 T T s = = = + 秒 故 ，G(s) 3-3 在用温度计测量容器内的水温时，发现需要 1min 的时间才能指示其实际温度的 98%， 如果容器内的水温以 100C/min 的速度线性增加，试求 温度计的稳态误差。 【解】用一阶系统的模型， 1 ( ) 1 G s Ts = + , 4 1 , 0.25 T T = = 分钟 故 分钟 容器内的水温以 100C/min 的速度线性增加时，可认为是斜率是 0 10 / C 分钟 的斜坡输入，此 时的稳态误差为 0 10 2.5 ss e T C = = 3-4 已知系统单位阶跃响应为 ( ) 10 12.5 sin(1.6 53.1 ) 1.2 0 = − + − h t e t t 试求系统的超调量σ%、峰值时间 tp 和调节时间 ts。 【解】，由已知表达式可知，该系统为欠阻尼的二阶系统，有 1.2 0 2 2 ( ) 10(1 1.25 sin(1.6 53.1 ) 1 10(1 sin( 1 ) 1 n t t n h t e t e t − − = − + = − − + − 0 cos cos53.1 0.6, 1.2 / 2 n = = = = = a a 2 1.96 1 p d n t = = = − ， 2 / 1 (%) 100% 9.4% e − − = = 3.5 2.92 5% 4.4 3.67 2% n s n t = = = = = 3-5 设单位反馈系统的开环传递函数为 （1） ( 0.6) 1 ( ) + = s s G s ， （2） ( 0.6) 0.4 1 ( ) + + = s s s G s 试求系统(1)、（2)在单位阶跃输入下的动态性能指标。并通过计算说明比例-微分控制的作用。 【解】 系统的闭环传递函数为 2 2 1 0.4 1 (1). ( ) , (2). ( ) 0.6 1 1 s s s s s s s + = = + + + +
5=0.3, 5=0.5 t=3.2 11.67=5% 4.88△=5% 1467△=2% 774A=2% %)=37% 比例-微分控制的确可以加快系统的响应速度,两个峰值时间基本相同,但超调量和调节时 间则大大减小。响应见下图 3-6图3-78是简化的飞行控制系统结构图,试选择参数K1、Kt,使系统的自然频率为6rads, 阻尼比1 08) 图3-78习题3-6飞行控制结构图 【解】系统闭环传递函数为 (s)=25K, s+(0.8+25K1K,)s+25K1 2a5=08+25KK,n=5,由已知条件an=65=1,得 K1=144,K=0.311 37已知系统的特征方程为3s4+10s3+552+s+2=0 试用劳斯稳定判据判别系统的稳定性 【解】 2 4.7
0.3, 1 0.5 1 n n = = = = 3.29 p t = 3.2 p t = 11.67 5% 14.67 2% s t = = = 4.88 5% 7.74 2% s t = = = (%) 37% = (%) 18% = 比例-微分控制的确可以加快系统的响应速度，两个峰值时间基本相同，但超调量和调节时 间则大大减小。响应见下图 3-6 图 3-78 是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数 K1、Kt，使系统的自然频率为 6 rad/s， 阻尼比 1。 图 3-78 习题 3-6 飞行控制结构图 【解】系统闭环传递函数为 1 2 1 1 25 ( ) (0.8 25 ) 25 t K s s K K s K = + + + 1 1 2 0.8 25 5 n t n = + = K K K ，由已知条件 6, 1 n = = ，得 1 K =1.44， 0.311 Kt = 3-7 已知系统的特征方程为 3 10 5 2 0 4 3 2 s + s + s + s + = 试用劳斯稳定判据判别系统的稳定性。 【解】 s 4 3 5 2 s 3 10 1 0 s 2 4.7 2 K1 （ 三） R C ( 0.8) 25 s s + Kts （ 三 ）
15.3 s 由于劳斯表的第一列元素符号变化了两次,故系统有两个正实部根,系统不稳定 3-8已知系统的特征方程如下,试求系统在s右半平的根的个数及虚根值: (1)s3+3s24+12s3+24s2+32s+48=0 【解】(1) 12 ss3s3y 24 340 8 3410 16 2 48 由于s3、s2行的系数线性相关,故s项中出现全零行,用第二种特殊情况的处理方法, 用s2项的系数构造辅助方程 F(s)=-12s32+48=0 求F(s)关于复变量s一阶导数得 dF(s)/ds=-24=0 用导数方程的各项系数代替全零行的元素,继续劳斯表的列写 5ss33s0 16 340 48 248 由于劳斯表的第一列元素符号无变化,故系统没有正实部根。但由于出现了与坐标原点对 称的根,可由辅助方程F(s)=12s2+48=0,求得s1=j2,s=-j2。故系统临界稳定,即不是渐进 稳定 (2)s6+4s53-4s4+4s3-7s2-8s+10=0 sSss33s 由于s5、s4行的系数线性相关,故s项中出现全零行,用第二种特殊情况的处理方法,用 s项的系数构造辅助方程
s 1 -15.3 0 s 0 2 由于劳斯表的第一列元素符号变化了两次，故系统有两个正实部根，系统不稳定。 3-8 已知系统的特征方程如下，试求系统在 s 右半平的根的个数及虚根值： （1） 3 12 24 32 48 0; 5 4 3 2 s + s + s + s + s + = 【解】 （1） s 5 1 12 32 s 4 3 24 48 s 3 4 16 0 s 2 12 48 s 1 0 s 0 由于 s 3、s 2 行的系数线性相关，故 s 1 项中出现全零行，用第二种特殊情况的处理方法， 用 s 2 项的系数构造辅助方程 F(s)=-12s2+48=0 求 F(s)关于复变量 s 一阶导数得 dF(s)/ds=-24=0 用导数方程的各项系数代替全零行的元素，继续劳斯表的列写 s 5 1 12 32 s 4 3 24 48 s 3 4 16 0 s 2 12 48 s 1 24 s 0 48 由于劳斯表的第一列元素符号无变化，故系统没有正实部根。但由于出现了与坐标原点对 称的根，可由辅助方程 F(s)=-12s2+48=0，求得 s1=j2, s2=-j2。故系统临界稳定，即不是渐进 稳定。 （2） 4 4 4 7 8 10 0; 6 5 4 3 2 s + s − s + s − s − s + = s 6 1 -4 -7 10 s 5 4 4 8 0 s 4 -5 -5 10 s 3 0 0 0 s 2 s 1 s 0 由于 s 5、s 4 行的系数线性相关，故 s 3 项中出现全零行，用第二种特殊情况的处理方法，用 s 4 项的系数构造辅助方程
F(s)=-55-5s2+10=0 求F(s)关于复变量s一阶导数得 F(s)ds=-20s2-10=0 用导数方程的各项系数代替全零行的元素,继续劳斯表的列写 s5ss3s+s 10 10 10 由于劳斯表的第一列元素符号变化了两次,故系统有两个正实部根,系统不稳定 同样由于出现了与坐标原点对称的根,可由辅助方程F(s)=--55-59+10=0求得 s12=土1,34=±/2s=2,s=12 3-9设单位负反馈系统的开环传递函数为 K G(s) 试确定系统稳定时K的取值范围 【解】系统的特征方程为 D(s)=1+G(s)=0,s3+832+12s+2K=0 (8x12-2K)/8 2K 欲使系统稳定,劳斯表第一列系数应保持同号,即满足 8×12-2K 求得0<K<48 2K>0 3-10已知下列单位反馈系统的开环传递函数分别为 (2)G( (3)G(s)= (s+2) (s+2(s+7) s2(s2+3s+5) 试求当输入nt)=1+2t,p>0时的稳态误差 解】R(s) (1)该系统为零型系统,斜坡输入下的稳态误差无穷大,e=
F(s)=--5s4 -5s2+10=0 求 F(s)关于复变量 s 一阶导数得 dF(s)/ds=--20s2 -10=0 用导数方程的各项系数代替全零行的元素，继续劳斯表的列写 s 6 1 -4 -7 10 s 5 4 4 8 0 s 4 -5 -5 10 s 3 -20 -10 0 s 2 2.5 10 s 1 70 s 0 10 由于劳斯表的第一列元素符号变化了两次，故系统有两个正实部根，系统不稳定。 同样由 于出现 了与坐 标原 点对称 的根 ，可由 辅助 方程 F(s)=- --5s4 -5s2+10=0 求得 1,2 3.4 s s j = = 1, 2 s1=j2, s2=-j2。 3-9 设单位负反馈系统的开环传递函数为 ( 2)(0.5 3) ( ) + + = s s s K G s 试确定系统稳定时 K 的取值范围。 【解】系统的特征方程为 3 2 D s G s s s s K ( ) 1 ( ) 0, 8 12 2 0 = + = + + + = s 3 1 12 s 2 8 2K s 1 (8x12-2K)/8 0 s 0 2K 欲使系统稳定，劳斯表第一列系数应保持同号，即满足 8 12 2 0 14 2 0 K K − ，求得 0<K<48 3-10 已知下列单位反馈系统的开环传递函数分别为 ( 3 5) ( 2) (3) ( ) ( 3) 6 (2). ( ) ( 2)( 7) 5 (1). ( ) 2 2 + + + = + = + + = s s s s G s s s G s s s G s 试求当输入 r(t)=1+2t,，t>0 时的稳态误差。 【解】 2 1 2 R s( ) s s = + （1）该系统为零型系统，斜坡输入下的稳态误差无穷大， ss e =
或用静态误差系数法,K=5/14,K=0,en (2)该系统为一型系统,斜坡输入下的稳态误差为有限值,用静态误差系数法, Kn=∞,K,=2,en= KK (3)该系统为二型系统,斜坡输入下的稳态误差本应为零。但该系统是三阶以上系统,系 统有可能不稳定。 系统的特征方程为s4+3s3+5s2+s+2=0 劳斯表 4.66 1.34 由于劳斯表的第一列元素符号变化了一次,系统不稳定,稳定误差无穷大。e,=∞ 3-11温度控制系统利用加热器来克服户外的低温,以减小电路温度的变化幅度。温度控 制系统的框图如图3-79所示,环境温度的降低可以看作一个负的阶跃干扰信号Ms),电路 的实际温度为C(s)。求干扰Ns)对输出的稳态影响(即干扰Ns)作用下的稳态输出c3) K 200 G(s)-02s+/,G2(5)52+20s+200 ,N(s) 图3-79习题3-11温度控制系统 【解】由图可写出扰动作用下的系统输出为 Cnes) 200(0.2s+1) 1+GG.N( (02s+1)(s2+20s+200)+200Ks 系统为三阶的,需要判断稳定性。特征方程为 0.2s3+5s2+60s+200K+1)=0,适当选择0<K<65系统是稳定的 稳态输出为c=ImCn()=M →0 1+K 3-12设控制系统结构如图3-80所示,是否可以选择一个合适的K1值,使系统在单位阶跃扰 动作用下的稳态误差小于0.009?
或用静态误差系数法，Kp=5/14，Kv=0， 1 2 ss p v e K K = + = （2）该系统为一型系统，斜坡输入下的稳态误差为有限值，用静态误差系数法， , 2 K K p v = = ， 1 2 1 ss p v e K K = + = （3）该系统为二型系统，斜坡输入下的稳态误差本应为零。但该系统是三阶以上系统，系 统有可能不稳定。 系统的特征方程为 4 3 2 s s s s + + + + = 3 5 2 0 劳斯表 s 4 1 5 2 s 3 3 1 0 s 2 4.66 2 s 1 -1.34 0 s 0 2 由于劳斯表的第一列元素符号变化了一次，系统不稳定，稳定误差无穷大。 ss e = 3-11 温度控制系统利用加热器来克服户外的低温，以减小电路温度的变化幅度。 温度控 制系统的框图如图 3-79 所示，环境温度的降低可以看作一个负的阶跃干扰信号 N(s), 电路 的实际温度为 C(s)。求干扰 N(s)对输出的稳态影响（即干扰 N(s)作用下的稳态输出 css）。 0.2 1 ( ) 1 + = s K G s ， 20 200 200 ( ) 2 2 + + = s s G s ， s N N s 0 ( ) = 图 3- 79 习题 3-11 温度控制系统 【解】由图可写出扰动作用下的系统输出为 2 0 2 1 2 200(0.2 1) ( ) ( ) 1 (0.2 1)( 20 200) 200 n G s N C s N s G G s s s K s + = − = − + + + + + 系统为三阶的，需要判断稳定性。特征方程为 3 2 0.2 5 60 200( 1) 0 s s s K + + + + = ，适当选择 0<K<6.5 系统是稳定的。 稳态输出为 0 0 ( ) 1 ss n lim s N c sC s → K = = − + 3-12 设控制系统结构如图 3-80 所示，是否可以选择一个合适的 K1 值，使系统在单位阶跃扰 动作用下的稳态误差小于 0.009？ G1(s) （ 三 ） G2(s) （三 ） R N C