本 定理3（极值第二判别法） 设函数f(x)在点xo处具有 二阶导数，且f'(x)=0,f"(xo)≠0 (I)若f"()<0,则f(x)在点xo取极大值， (2)若f"(xo)>0,则f(x)在点xo取极小值. 证：()f(o)=1im)-f)=1imfy x→X0 x-X0 x→x0X-X0 由f"(x)<0知，存在6>0，当0<x-x<6时， f"<0 x-Xo 故当x-6<x<x时，f'(x)>0; 当x0<x<x0+6时，f'(x)<0, xo8 xo xo+S 由第一判别法知f(x)在xo取极大值 (2)类似可证
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理3 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . − + 证: (1) ( ) 0 f x 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − = → 0 ( ) lim 0 x x f x x x − = → ( ) 0 , 由 f x0 知 存在 0, 0 , 当 x − x0 时 故当 x0 − x x0时，f (x) 0; 当x0 x x0 + 时，f (x) 0, 0 x 0 x0 − x + + − 由第一判别法知 ( ) . f x 在x0 取极大值 (2) 类似可证
例2求函数fx)=(x2-1)3+1的极值， 解f'(x)=6xx2-1)2. 令f'(x)=0,求得驻点x=-1,x2=0,x3=1. f"(x)=6(x2-1)(5x2-1) 因为f"(0)=6>0,所以fx)在x=0处取得极小值， 极小值为0)=0. 因为f"(-1)=∫"(1)=0，所以用定理3无法判别. 因为在-1的左右邻域内f'(x)<0, 所以x)在-1处没有极值 同理，x)在1处也没有极值
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2 求函数f(x)=(x 2−1)3+1的极值 解 f (x)=6x(x 2−1)2 令f (x)=0求得驻点x1=−1 x2=0 x3=1 f (x)=6(x 2−1)(5x 2−1) 因为f (0)=60所以f (x)在x=0处取得极小值 极小值为f(0)=0 因为f (−1)=f (1)=0 所以用定理3无法判别 因为在−1的左右邻域内f (x)0 所以f(x)在−1处没有极值 同理 f(x)在1处也没有极值 1 x y −1