几1=5为极大似然估计量。 P2例6,85N(6) f(, 解:正态分布的似然函数 2丌8 hL=-mx2丌)--l620ax aIn l ∑(x-)=0 In l x x 解方程组得 可见11=5O,=Sn为极大似然估计量。 例3:xb(1,p)未知参数p∈H=[ 由容量为1样本求p的极大似然估计量。 (x, p)=p(I-p). InI=xInp+ ah/CxP2=x1+1-x有唯一解,但x0或1,不在[ P 4·d内,因而x不能 作为p的极大似然估计,此时只能用定义。 当x=0时L(x,P)=1-pp∈[ 当x=1时L(x,p)=p P 44p=为极大似然估计值: 44P=4为极大似然估计值 e > 求,的极大似然估计。 0(其他)
_ = l 为极大似然估计量。 p269 例 6，8 ~ ( , ) 2 N x e xi f i 2 2 2 2 ( ) 2 1 ( , , ) − = − . 解：正态分布的似然函数 ( , ; , ) 1 2 x xn L = e n i xi n − = − 1 2 2 ( ) 2 1 2 1 2 2 − = = − − − n i xi n n L 1 2 2 2 ( ) 2 1 ln 2 ln( 2 ) 2 ln 令 + = − = = − = − = = n i n i i x x i I n I 1 2 2 2 2 1 2 0 2 1 2 ln ( ) 0 ln 1 ( ) 解方程组得 = = = − = 1 2 2 _ 1 _ 1 i ( ) i x x x n i x n 可见 _ = ul l sn 2 2 = 为极大似然估计量。 例 3： x~b(1,p) 未知参数 p H= ] 4 3 , 4 1 [ 由容量为 1 样本求 p 的极大似然估计量。 (1 ) 1 ( , ) p p x x L x p − − = 。ln I = x • ln p + (1− x)ln(1− p) p I x p ln (' , ) = p x p x − − • + 1 1 1 有唯一解 x,但 x=0 或 1，不在 ] 4 3 , 4 1 [ 内，因而 x 不能 作为 p 的极大似然估计，此时只能用定义。 当 x=0 时 L(x, p) = 1− p ] 4 3 , 4 1 p [ 4 1 = p 为极大似然估计值； 当 x=1 时 L(x, p) = p ] 4 3 , 4 1 p [ 4 3 = p 为极大似然估计值。 又如： f (x) = ( ) − − 0 其他 ( ) 1 e x x 求 ， 的极大似然估计
解:样本( 51925n )的极大似然函数 x-A L05x1x“x)=e2 (x≥ 0(其他) 当x≥时有hA(,p)=-mh0-2(x-) aIn 1(0,u) 1(x )=0 令 0hL(6,)=+n=0 由方程(1)知0+H=∑x1=x但无法求出, 但在b恒定时,要使L(,O)最大,只须最大。 又H只能在x1x2…xn中取,且≤x,(i=12.m) H=minx=x)=x-xm° 6,=5-5为极大似然估计量。 Rao— -Cramer不等式 一有效性 Th3若参数的两个无偏估计1和62,它们的方差对一6切6∈H有 D(61)≤D2),则称估计61比估计2有效。 例1若5分布均匀U[0,6];=255为6的无偏, 62=(n)为的渐进无偏 n+1 62为无偏
解： 样本 ) 1 2 n （ 的极大似然函数 ( , ; , ) = x1 x2 xn L = − − 0(其他） ( ) 1 1 ( ) 1 n e xi n i xi 当 x i 时有 ( ) 1 ln ( , ) ln 1 = − − − = n i xi l n 令 = + = = − + − = = 0 ln ( , ) ( ) 0 ln ( , ) 1 1 2 L n I n n i xi 由方程（1）知 _ 1 1 x n n i xi + = = = 但无法求出 , 但在 恒定时，要使 L(, ) 最大，只须 最大。 又 只能在 x1 x2 xn , 中取，且 xi (i = 1,2...n) xj x j n (1) min 1 = = x x(1) _ = − 。 (1) = l (1) _ = − l 为极大似然估计量。 §6.3 Rao---Cramer 不等式 一 有效性 Th3 若参数 的两个无偏估计 1 ˆ 和 2 ，它们的方差对一 切 H 有 D（ 1 ） ( ) D 2 ，则称估计 1 比估计 2 有效。 例 1 若 分布均匀 U[0， ]； 1 =2 为 的无偏， ( ) 2 = n 为 的渐进无偏 2 = 2 1 n n + 为无偏