第一章事件与概率 一芹与 §11随机事件与样本空间 教学目的要求: 掌握几个基本概念,为后面的学习打下基础,并对本书内容体系有一个大致的了解. 教材分析: 1。概括分析:概率论是数理统计的理论基础,本节是概率论中的最基本的与最基础 的内容之一.学习本节,要求学生掌握随机事件、样本空间、事件域、布尔代数等基本概念, 了解事件之间的关系和事件之间的一些运算 2.教学重点:随机事件、样本空间、事件域、布尔代数等基本概念,事件之间的关 系和事件之间的一些运算 3.教学难点:事件之间的关系和事件之间的一些运算的证明 教学过程: 我们在引言中已经介绍了随机试验现在进一步明确它的含意 几个基本概念: 1.随机试验 一个试验如果满足下述条件: (1)试验可以在相同的情形下重复进行 (2)试验的所有可能结果是明确可知道的,并且不止一个 (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这 次试验会出现那一个结果 就称这样的试验是一个随机试验为方便起见,也简称为试验 2.基本事件:随机试验的每一个可能的结果称为基本事件 3.样本空间:所有基本事件的全体称为样本空间通常用字母9表 4.样本点:9中的点即基本事件,有时也称作样本点通常用字母表示 [例]1.1在前述试验中,令 ω1={取得白球},ω2={取得黑球} 9={u1.2} [例]12一个盒子中有十个完全相同球,分别标以号码1,2…,10,从中任取一球,令 ={取得球的号码为i} 则 ={1,2,…,10}
第一章 事件与概率 ·３· 第一章 事件与概率 §1.1 随机事件与样本空间 教学目的要求： 掌握几个基本概念,为后面的学习打下基础,并对本书内容体系有一个大致的了解. 教 材 分 析 ： 1．概括分析：概率论是数理统计的理论基础,本节是概率论中的最基本的与最基础 的内容之一.学习本节,要求学生掌握随机事件、样本空间、事件域、布尔代数等基本概念, 了解事件之间的关系和事件之间的一些运算. 2．教学重点：随机事件、样本空间、事件域、布尔代数等基本概念,事件之间的关 系和事件之间的一些运算. 3．教学难点：事件之间的关系和事件之间的一些运算的证明. 教 学 过 程 ： 我们在引言中已经介绍了随机试验,现在进一步明确它的含意. 一、几个基本概念： 1．随机试验： 一个试验如果满足下述条件： ⑴ 试验可以在相同的情形下重复进行； ⑵ 试验的所有可能结果是明确可知道的,并且不止一个； ⑶ 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这 次试验会出现那一个结果. 就称这样的试验是一个随机试验,为方便起见,也简称为试验. 2．基本事件：随机试验的每一个可能的结果,称为基本事件. 3．样本空间：所有基本事件的全体称为样本空间,通常用字母Ω表示. 4．样本点：Ω中的点,即基本事件,有时也称作样本点,通常用字母ω表示. [例]1.1 在前述试验中,令 ω1={取得白球}, ω2={取得黑球} 则 Ω={ω1,ω2} [例]1.2 一个盒子中有十个完全相同球,分别标以号码 1,2,…,10,从中任取一球,令 i ={取得球的号码为 i} 则 Ω={1,2,…,10}
第一章事件与概率 [例]13讨论某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数,令 i={收到的呼唤次数为i 则 Q={1,2,… [例]14测量某地水温,令t={测得的水温为t℃ 则 Q=[0,100 5.随机事件:无论是基本事件还是复杂事件它们在试验中发生与否都带有随机性, 所以都叫随机事件或简称为事件习惯上用大写字母A,BC等表示事件. 在试验中如果出现A中所包含的某一个基本事件心,则称作A发生,并记作∈A. 我们已经知道样本空间Ω包含了全体基本事件,而随机事件不过是有某些特征的基本 事件所组成,所以从集合论的观点来看,一个随机事件不过是样本空间9的一个子集而已 又因为9是所有基本事件所组成因而在任一次试验中,必然要出现9中的某一基本事件 ,即ω∈9.也就是在试验中,Ω必然会发生,所以今后又用9来代表一个必然事件.相应 地,空集Φ可以看作是Ω的子集,在任一次实验中不可能有ω∈Φ,也就是说Φ永远不可能 发生,所以Φ是不可能事件.为了方便起见,我们把必然事件和不可能事件看作随机事件的 两个极端情形 一个样本空间Ω中,可以有很多的随机事件.概率论的任务之一,是研究随机事件的规 律,通过对较简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律.为此,需要研究事件之间的关 系和事件之间的一些运算 事件之间的关系和运算 1.如果事件A发生必然导致事件B发生,则称B包含了A,或称A是B的特款并记作 AcB或B=A如图1.1 因为不可能事件Φ不含有任何ω,所以对任一事件A,我们约定ΦcA 2.如果有AcB,BCA同时成立,则称事件A与B相等,记作A=B.如图1.2 3.“事件A与B中至少有一个发生”,这样的一个事件称作事件A与B的并(或和)并 记作AUB.如图1.3 4“事件A与B同时发生”,这样的一个事件称作事件A与B的交(或积),记作A∩B(或 AB).如图1.4 5.“事件A发生而B不发生”,这样的一个事件称作事件A与B的差记作A一B如图 5. 6.若事件A与B不能同时发生也就是说AB是一个不可能事件即AB=中,则称事件 A与B互不相容.如图1.6 7.若A是一个事件令A=Ω-A,称A是A的对立事件或逆事件如图1.7 显然有: AA=Φ,AUA=9,A=A 8.若有n个事件:A,A2,…,An,则“A,A2,…,An中至少发生其中的一个”这样的事件 称作A,A2…,A的并并记作AUAU…UA或A1:若“A,A2…,An同时发生”,这样的
第一章 事件与概率 ·４ · [例]1.3 讨论某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数,令 i={收到的呼唤次数为 i} 则 Ω={1,2,…} [例]1.4 测量某地水温,令 t={测得的水温为 t℃} 则 Ω=[0,100] 5．随机事件：无论是基本事件还是复杂事件,它们在试验中发生与否,都带有随机性, 所以都叫随机事件或简称为事件.习惯上用大写字母 A,B,C 等表示事件. 在试验中,如果出现 A 中所包含的某一个基本事件ω,则称作 A 发生,并记作ω∈A. 我们已经知道样本空间Ω包含了全体基本事件,而随机事件不过是有某些特征的基本 事件所组成,所以从集合论的观点来看,一个随机事件不过是样本空间Ω的一个子集而已. 又因为Ω是所有基本事件所组成,因而在任一次试验中,必然要出现Ω中的某一基本事件 ω,即ω∈Ω.也就是在试验中,Ω必然会发生,所以今后又用Ω来代表一个必然事件.相应 地,空集Φ可以看作是Ω的子集,在任一次实验中不可能有ω∈Φ,也就是说Φ永远不可能 发生,所以Φ是不可能事件.为了方便起见,我们把必然事件和不可能事件看作随机事件的 两个极端情形. 一个样本空间Ω中,可以有很多的随机事件.概率论的任务之一,是研究随机事件的规 律,通过对较简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律.为此,需要研究事件之间的关 系和事件之间的一些运算. 二、事件之间的关系和运算： 1．如果事件 A 发生必然导致事件 B 发生,则称 B 包含了 A,或称 A 是 B 的特款,并记作 A⊂B 或 B⊃A.如图 1.1. 因为不可能事件Φ不含有任何ω,所以对任一事件 A,我们约定 Φ⊂A. 2．如果有 A⊂B,B⊂A 同时成立,则称事件 A 与 B 相等,记作 A=B.如图 1.2. 3．“事件 A 与 B 中至少有一个发生”,这样的一个事件称作事件 A 与 B 的并(或和)并 记作 A∪B.如图 1.3. 4．“事件 A 与 B 同时发生”,这样的一个事件称作事件 A 与 B 的交(或积),记作 A∩B(或 AB).如图 1.4. 5．“事件 A 发生而 B 不发生”,这样的一个事件称作事件 A 与 B 的差,记作 A－B.如图 1.5. 6．若事件 A 与 B 不能同时发生,也就是说 AB 是一个不可能事件,即 AB=Φ,则称事件 A 与 B 互不相容.如图 1.6. 7．若 A 是一个事件,令 A =Ω－A,称 A 是 A 的对立事件或逆事件.如图 1.7. 显然有： A A =Φ, A∪ A =Ω, A =A 8．若有 n 个事件：A1,A2,…,An,则“A1,A2,…,An 中至少发生其中的一个”这样的事件 称作 A1,A2,…,An 的并,并记作 A1∪A2∪…∪An 或 n i Ai =1 ；若“A1,A2,…,An 同时发生”,这样的
第一章事件与概率 事件称作A,A2…A1的交记作AA…A或∩4 图1.1 图1.2 图1.3 图1.4 图1.5(1 1.52) 图1.6 图1.7 大家已经有了一定的集合论知识,一定会发现事件间的关系及运算与布尔( Boole)代数 中集合间的关系和运算之间是完全可以互类比的下面给出这种类比的对应关系 概率论 集合论 样本空间 9={o 事件 事件A发生 事件A不发生 必然事件 不可能事件 事件A发生导致B发生 “事件A与B至少有一个发生” “事件A与B同时发生” A∩B “事件A发生而B不发生” 事件A与B互不相容 AB=op 在很多场合,用集合论的表达方式显得简练些,也更容易理解些.但对初学概率论的大 家来说,重要的是要学会用概率论的语言来解释集合间的关系及运算,并能运用它们 [例]1.5设A、B、C是Ω中的随机事件,则 1)事件“A与B发生,C不发生”可以表示成:ABC或AB-C或AB-ABC 2)事件“A、B、C中至少有二个发生”可以表示成: ABUACU BC或 ABCU∪ ABCUABCUABC. 3)事件“A、B、C中恰好发生三个”可以表示成:ABC∪ ABCUABC
第一章 事件与概率 ·５· 事件称作 A1,A2,…,An 的交,记作 A1A2…An 或 n i Ai =1 . 大家已经有了一定的集合论知识,一定会发现事件间的关系及运算与布尔(Boole)代数 中集合间的关系和运算之间是完全可以互类比的.下面给出这种类比的对应关系： 在很多场合,用集合论的表达方式显得简练些,也更容易理解些.但对初学概率论的大 家来说,重要的是要学会用概率论的语言来解释集合间的关系及运算,并能运用它们. [例] 1.5 设 A、B、C 是Ω中的随机事件,则 1) 事件“A 与 B 发生,C 不发生”可以表示成： ABC 或 AB－C 或 AB－ABC. 2) 事件“A、B、C 中至少有二个发生”可以表示成：AB∪AC∪BC 或 ABCABCABCABC . 3) 事件“A、B、C 中恰好发生二个”可以表示成： ABCABCABC . 概率论 集合论 样本空间 Ω={ω} 事件 子集 事件 A 发生 ω∈A 事件 A 不发生 ωA 必然事件 Ω 不可能事件 Φ 事件 A 发生导致 B 发生 AB “事件 A 与 B 至少有一个发生” A∪B “事件 A 与 B 同时发生” A∩B “事件 A 发生而 B 不发生” A－B 事件 A 与 B 互不相容 AB=Φ
第一章事件与概率 4)事件“A、B、C中有不多于一个事件发生”可以表示成: ABC JABC|ABC」ABC 5)事件“A发生而B与C都不发生”可以表示成:ABC或A_B-C或A-(BUC) 6)事件“A、B、C恰好发生一个”可以表示成: ABC UABC 7)事件“A、B、C中至少发生一个”可以表示成:A∪B∪C或 ABC U ABCABC U ABC ABC UABC 三、事件的运算规则: 1.交换律:AUB=BUA AB=BA 2.结合律:(AUB)UC=AU(BUC) 3.分配律:(AUB)C= ACU BC (AB)UC=(AUC)(BUC 4.德摩根(0 e Morgan)定理(对偶原则;∪4=∩∩4=U耳 四、寡件域: 我们已经知道事件是Ω的某些子集,如果把“是事件”的这些子集归在一起,则得到 个类,记作字,称作事件域,即 午={A:AcΩ,Ω是事件} 在前面已经提到,9、Φ是事件,所以Q∈F,中∈F.又讨论了事件间的运算“U” “∩”和“一”,如果A与B都是事件,即A∈F,B∈F,非常自然地要求AUB、AB、A-B 也是事件.因此,如果有A∈F、B∈F,就要求 AUB∈T、AB∈F、A一B∈F 用集合论的语言来说,就是事件域T关于运算“U”、“∩”和“一”是封闭的经过 归纳与整理,事件域F应该满足下述要求: (1)9∈F; (2)若A∈T,则A∈F 3)若A∈r,i=1,2,…,则∪A∈F 在集合论中,满足上述三个条件的集合类,称作布尔代数所以事件域应该是一个布尔 代数.对于样本空间Ω,如果是Ω的一切子集的全体,那么显然字是一个布尔代数
第一章 事件与概率 ·６ · 4) 事件“A、B、C 中有不多于一个事件发生”可以表示成： ABCABCABCABC . 5) 事件“A 发生而 B 与 C 都不发生”可以表示成： ABC 或 A－B－C 或 A－(B∪C). 6) 事件“A、B、C 恰好发生一个”可以表示成： ABC ABC ABC . 7) 事件“A、B、C 中至少发生一个”可以表示成： A B C 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC . 三、事件的运算规则： 1. 交换律：A∪B=B∪A AB=BA 2. 结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (AB)C=A(BC) 3. 分配律：(A∪B)C=AC∪BC (AB)∪C=(A∪C)(B∪C) 4. 德摩根(De Morgan)定理(对偶原则)： n i i n i Ai A =1 =1 = n i i n i Ai A =1 =1 = 四、事件域： 我们已经知道事件是Ω的某些子集,如果把“是事件”的这些子集归在一起,则得到一 个类,记作ℱ ,称作事件域,即 ℱ ={A：A,是事件} 在前面已经提到,Ω、Φ是事件,所以Ω∈ℱ,Φ∈ℱ.又讨论了事件间的运算“∪” 、 “∩”和“－”,如果 A 与 B 都是事件,即 A∈ℱ,B∈ℱ,非常自然地要求 A∪B、AB、A－B 也是事件.因此,如果有 A∈ℱ、B∈ℱ,就要求 A∪B∈ℱ、AB∈ℱ、A－B∈ℱ 用集合论的语言来说,就是事件域 ℱ 关于运算“∪” 、“∩”和“－”是封闭的.经过 归纳与整理,事件域 ℱ 应该满足下述要求： ⑴ Ω∈ℱ； ⑵ 若 A∈ℱ,则 A ∈ℱ； ⑶ 若 Ai ∈ℱ,i=1,2, …,n,则 n i Ai =1 ∈ℱ. 在集合论中,满足上述三个条件的集合类,称作布尔代数.所以事件域应该是一个布尔 代数.对于样本空间Ω,如果ℱ 是Ω的一切子集的全体,那么显然ℱ 是一个布尔代数
第一章事件与概率 §1.2概率和频率 教学目的要求: 通过本节的学习,使学生掌握频率与概率的概念及其性质,为后面的学习打下基础 教材分析: 1.概括分析:本节是概率论这一部分的最基本和最基础的重要内容之一通过对引 言中随机试验的分析给出了概率的定义并通过频率与概率的内在关系的分析得到频率与 概率的性质在此基础上给出了概率的公理化定义 2.教学重点:概率的性质及公理化定义 3.教学难点:概率的公理化定义 教学过程: 回忆引言中的试验二,我们已经知道它是一个随机试验,并且样本空间9={u1,o2},其 中 ω1={取得白球},ω2={取得黑球}是其本事件.在一次试验中,虽然不能肯定是ω1还是ω2发 生,但是我们可以问在一次试验中发生ω1(或ω2)的可能性有多大?由对称性,很自然地可 以断定在一次试验中,出现1(或ω2)的可能性是%,因为我们知道盒子中白球数和黑球数 都是5个.现在引入一个定义如下 频率和概率的定义: 定义1.1随机事件A发生可能性大小的度量(数值),称为A发生的概率,记作P(A) 正如恩格斯所指出的:“在表面上是偶然性在起作用的地方,这种偶然性始终是受内 部的隐蔽着的规律支配的,而问题只是在于发现这些规律.”(恩格斯:《路德维希·费尔巴 哈和德国古典哲 学的终结》,人民出版社,1972年,第38页) 人们经过长期的实践发现,虽然个别随机事件在某次试验或观察中可以出现也可以不 出现;但在大量试验中它却呈现出明显的规律性一—频率稳定性 在掷一次硬币时,既可能出现正面,也可能出现反面,预先作出确定的判断是不可能的, 但是假如硬币均匀,直观上出现正面与出现反面的机会应该相等,即在大量试验中出现正 面的频率,应接近于50%,为了验证这点,历史上曾有不少人做过这个试验,其结果如下 实验者掷硬币次数出现正面次数频 2048 0.5069 皮尔逊12000 6019 0.5016 皮尔 24000 12012 0.5005 又如,在英语中某些字母出现的频率远远高于另外一些字母.在进行了更深入的研究 之后,人们还发现各个字母被使用的频率相当稳定.例如,下面就是英文字母使用频率的一 份统计表.其他各种文字也都有着类似的规律
第一章 事件与概率 ·７· §1.2 概率和频率 教学目的要求： 通过本节的学习,使学生掌握频率与概率的概念及其性质,为后面的学习打下基础. 教 材 分 析 ： 1．概括分析：本节是概率论这一部分的最基本和最基础的重要内容之一.通过对引 言中随机试验的分析给出了概率的定义,并通过频率与概率的内在关系的分析得到频率与 概率的性质,在此基础上给出了概率的公理化定义. 2．教学重点：概率的性质及公理化定义. 3．教学难点：概率的公理化定义. 教 学 过 程 ： 回忆引言中的试验二,我们已经知道它是一个随机试验,并且样本空间Ω={ω1,ω2},其 中 ω1={取得白球},ω2={取得黑球}是其本事件.在一次试验中,虽然不能肯定是ω1 还是ω2 发 生,但是我们可以问在一次试验中发生ω1(或ω2)的可能性有多大?由对称性,很自然地可 以断定在一次试验中,出现ω1 (或ω2)的可能性是½,因为我们知道盒子中白球数和黑球数 都是 5 个.现在引入一个定义如下： 一、频率和概率的定义： 定义 1.1 随机事件 A 发生可能性大小的度量(数值),称为 A 发生的概率,记作 P(A). 正如恩格斯所指出的：“在表面上是偶然性在起作用的地方,这种偶然性始终是受内 部的隐蔽着的规律支配的,而问题只是在于发现这些规律．”(恩格斯：《路德维希·费尔巴 哈和德国古典哲 学的终结》,人民出版社,1972 年,第 38 页)． 人们经过长期的实践发现,虽然个别随机事件在某次试验或观察中可以出现也可以不 出现；但在大量试验中它却呈现出明显的规律性——频率稳定性． 在掷一次硬币时,既可能出现正面,也可能出现反面,预先作出确定的判断是不可能的, 但是假如硬币均匀,直观上出现正面与出现反面的机会应该相等,即在大量试验中出现正 面的频率,应接近于 50％,为了验证这点,历史上曾有不少人做过这个试验,其结果如下: 实验者 掷硬币次数 出现正面次数 频 率 蒲 丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 又如,在英语中某些字母出现的频率远远高于另外一些字母. 在进行了更深入的研究 之后,人们还发现各个字母被使用的频率相当稳定．例如,下面就是英文字母使用频率的一 份统计表．其他各种文字也都有着类似的规律．