故有D1,=(P-D)62-1),从中解出： (6) 从[2，]看，最大存贮量A=(P-D-2):从山，T刀看，最大存贮量 A=D(T-1)。故有(P-D13-12)=R(T-1),从中解得 5-5-2T-4 (7) 易知，在0，T门时间内： 存贮费为)C,(P-D0,-hXT-4): 缺货费为)C,Dh: 定购费为C。 故[0，T]时间内平均总费用为 C)C.(P-DX.-LXr-.yjc.D.+C] 故将(6)和(7)代入，整理后得 (8) 2P 解方程组 c2=0 812 可得 T=2Co(C,+C) DC.C,(1-2) -322
-322- 故有 ( )( ) 1 2 1 Dt = P − D t − t ，从中解出： 1 2t P P D t − = （6） 从 [ , ] 2 3 t t 看，最大存贮量 ( )( ) 3 2 A = P − D t −t ； 从 [ , ] t3 T 看，最大存贮量 ( )3 A = D T −t 。故有( )( ) ( ) 3 2 3 P − D t −t = R T −t ，从中解得 ( ) 3 2 2 T t P D t −t = − （7） 易知，在[0,T]时间内： 存贮费为 ( )( )( ) 2 1 3 2 2 C P D t t T t P − − − ； 缺货费为 1 2 2 1 C Dt t S ； 定购费为CD 。 故[0,T]时间内平均总费用为 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = P − − − + s +CD C P D t t T t C Dt t T C T t2 3 2 2 1 2 2 1 ( )( )( ) 2 1 1 ( , ) 故将（6）和（7）代入，整理后得 T C T t C T C t C C P P D D C T t D p P P S ⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + − = 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( , ) （8） 解方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ = ∂ ∂ 0 ( , ) 0 ( , ) 2 2 2 t C T t T C T t 可得 (1 ) 2 ( ) * P D DC C C C C T P S D P S − + =
容易证明，此时的费用C(T,)是费用函数C(T,)的最小值。 因此，模型的最优存贮策略各参数值为： 最优存贮周期T=T= 2Cp(Cp+Cs) (9 x,c0-亭 经济生产批量Q=DT= 2CpD(Cp+Cs) 10) C.C.0-) 缺货补足时间=C,十C 2CpCpD (11】 c.C.+cX-P 开始生产时间(=P-D pcE,- 6=\C,C,+C) (12) 结束生产时间G-丹T+0-P (13) 最大存贮量A=D(T'-) (14) 最大缺货量B=D1 (15) 平均总费用C=29 (16) 例2有一个生产和销售图书设备的公司，经营一种图书专用设备，基于以往的销 售记录和今后市场预测。估计今后一年的需求量为4900个，由于占用资金的利息以及 存贮库房和其它人力物力的费用，存贮一个书架一年要花费1000元。这种书架是该公 司自己生产的，每年的生产量9800个，而组织一次生产要花费设备调试等生产准备费 500元。如果允许缺货，缺货费为每年每件2000元。该公司为了把成本降到最低，应 如何组织生产？要求出其生产、存贮周期，每个周期的最优生产量，以及最少的年总费 用。 解根据题意知，D=4900,Cp=1000,P=9800,C。=500,Cs=2000, -323
-323- * * 2 T C C C t P S P + = 容易证明，此时的费用 ( , ) * 2 * C T t 是费用函数 ( , ) 2 C T t 的最小值。 因此，模型的最优存贮策略各参数值为： 最优存贮周期 (1 ) 2 ( ) * * P D DC C C C C T T P S D P S − + = = （9） 经济生产批量 (1 ) 2 ( ) * * P D C C C D C C Q DT P S D P S − + = = （10） 缺货补足时间 ( )(1 ) * * 2 2 P D C C C C C D T C C C t S P S D P P S P + − = + = （11） 开始生产时间 ( ) 2 (1 ) * 2 * 1 S P S D P C C C P D C C D t P P D t + − = − = （12） 结束生产时间 * 2 * * 3 (1 )t P D T P D t = + − （13） 最大存贮量 ( ) * 3 * * A = D T −t （14） 最大缺货量 * 1 * B = Dt （15） 平均总费用 * * 2 T C C D = （16） 例 2 有一个生产和销售图书设备的公司，经营一种图书专用设备，基于以往的销 售记录和今后市场预测。估计今后一年的需求量为 4900 个，由于占用资金的利息以及 存贮库房和其它人力物力的费用，存贮一个书架一年要花费 1000 元。这种书架是该公 司自己生产的，每年的生产量 9800 个，而组织一次生产要花费设备调试等生产准备费 500 元。如果允许缺货，缺货费为每年每件 2000 元。该公司为了把成本降到最低，应 如何组织生产？要求出其生产、存贮周期，每个周期的最优生产量，以及最少的年总费 用。 解 根据题意知，D = 4900 ， =1000 CP ，P = 9800 ， = 500 CD ，CS = 2000
利用式(9)~(13)，(16)求相关的指标。 编写的LNGO程序如下： model. D=4900: C_P=1000: P=9800: C_D=500: C$-2000: T1=(2*C_D*(CP+C_s)/(D*C*C_S*(1-D/P)0.51单位为年 T-T1*365!单位为天 Q=D*T1; TS=CP*T/(CP+CS);1求缺货时间 TP-D*T/P;!求生产周期： c=2*C_D/T1;求年总费用 求得每个周期为9天，其中9天中有4.5天在生产，每次的生产量为121件，而且 缺货的时间有3天。总的费用（包括存贮费、订货费和缺货费）为4044.52元。 可以把模型一看作模型二的特殊情况。在模型二中，取消允许缺货和补充需要一定 时间的条件，即Cs→0，P→0，则模型二就是模型一。事实上，如将Cs→和 P→口代入模型二的最优存贮策略各参数公式，就可得到模型一的最优存贮策略。只 是必须注意，按照模型一的假设条件，应有 =5=5=0,=Q°，B=0 2.3模型三：不允许缺货，补充时间较长一基本的经济生产批最存贮模型 在模型二的假设条件中，取消允许缺货条件（即设C,→0,2=0），就成为模 型三。因此，模型三的存贮状态图和最优存贮策略可以从模型二直接导出。 模型三的存贮状态见图4。下面我们用另外的方法导出模型三的最优存贮策略。 ,最高仔贮量 平均存园 时间 时时 图4经济生产批量模型存贮量的变化情况 经济生产批量存贮模型除满足基本假设外，其最主要的假设是：当存贮降到零后， 324
-324- 利用式（9）～（13），（16）求相关的指标。 编写的 LINGO 程序如下： model: D=4900; C_P=1000; P=9800; C_D=500; C_S=2000; T1=(2*C_D*(C_P+C_S)/(D*C_P*C_S*(1-D/P)))^0.5; !单位为年; T=T1*365; !单位为天; Q=D*T1; T_S=C_P*T/(C_P+C_S); !求缺货时间; T_P=D*T/P; ! 求生产周期; C=2*C_D/T1; ! 求年总费用; end 求得每个周期为 9 天，其中 9 天中有 4.5 天在生产，每次的生产量为 121 件，而且 缺货的时间有 3 天。总的费用（包括存贮费、订货费和缺货费）为 4044.52 元。 可以把模型一看作模型二的特殊情况。在模型二中，取消允许缺货和补充需要一定 时间的条件，即CS → ∞ ， P → ∞ ，则模型二就是模型一。事实上，如将CS → ∞ 和 P → ∞ 代入模型二的最优存贮策略各参数公式，就可得到模型一的最优存贮策略。只 是必须注意，按照模型一的假设条件，应有 0 * 3 * 2 * t1 = t = t = ， * * A = Q ， 0 * B = 2.3 模型三：不允许缺货，补充时间较长—基本的经济生产批量存贮模型 在模型二的假设条件中，取消允许缺货条件（即设Cs → ∞ ， 0 t2 = ），就成为模 型三。因此，模型三的存贮状态图和最优存贮策略可以从模型二直接导出。 模型三的存贮状态见图 4。下面我们用另外的方法导出模型三的最优存贮策略。 图 4 经济生产批量模型存贮量的变化情况 经济生产批量存贮模型除满足基本假设外，其最主要的假设是：当存贮降到零后
开始进行生产，生产率为P,且P>D,即生产的产品一部分满足需求，剩余部分才 作为存度贮。 设生产批量为Q,生产时间为1，则生产时间与生产率之间的关系为 1=g 对于经济生产批量模型，有 最高存贮量=(P-D=(P-D)g=1-PQ (17) 而平均存贮量是最高存贮量的一半，关于平均固定生产费与经济定购模型中的平均订货 费相同，同样是CP。这样，平均总费用为 0 (18) 类似于前面的推导，得到最优生产量、最优存贮周期、最大存贮量和最优存贮费用 (19) 1e.a-9 -VC- 2CP (20) 20-R)CoD (21 CCn-.c.D (22) 例3商店经销某商品，月需求量为30件，需求速度为常数。该商品每件进价300 元，月存贮费为进价的2%。向工厂订购该商品时订购费每次20元，定购后需5天才 开始到货，到货速度为常数，即2件/天。求最优存贮策略。 解本例特占品补充除需要入库时间（相当于生产时间）外，还需要考虑拖后时 间。因此，订购时间应在存贮降为零之前的第5天。除此之外，本例和模型三的假设条 件完全一致。本例的存贮状态见图5。 -325
-325- 开始进行生产，生产率为 P ，且 P > D ，即生产的产品一部分满足需求，剩余部分才 作为存贮。 设生产批量为Q ，生产时间为t ，则生产时间与生产率之间的关系为 P Q t = 对于经济生产批量模型，有 最高存贮量 Q P D P Q = (P − D)t = (P − D) = (1− ) （17） 而平均存贮量是最高存贮量的一半，关于平均固定生产费与经济定购模型中的平均订货 费相同，同样是 Q CD D 。这样，平均总费用为 Q C D QC P D C D = (1− ) P + 2 1 （18） 类似于前面的推导，得到最优生产量、最优存贮周期、最大存贮量和最优存贮费用 (1 ) * 2 P D C C D Q P D − = （19） ( ) 2 * * C D P D C P D Q T P D − = = （20） P D C C D P D Q P D A 2(1 ) (1 ) * * − = − = （21） C C D P D T C C P D D 2(1 ) 2 * * = = − （22） 例 3 商店经销某商品，月需求量为 30 件，需求速度为常数。该商品每件进价 300 元，月存贮费为进价的 2％。向工厂订购该商品时订购费每次 20 元，定购后需 5 天才 开始到货，到货速度为常数，即 2 件/天。求最优存贮策略。 解 本例特点是补充除需要入库时间（相当于生产时间）外，还需要考虑拖后时 间。因此，订购时间应在存贮降为零之前的第 5 天。除此之外，本例和模型三的假设条 件完全一致。本例的存贮状态见图 5
存贮量 斜*P-D 斜（←D) 0。+时间 图5拖后时间的存贮模型 从图5可见，拖后时间为[0,6]，存贮量L应恰好满足这段时间的需求，故L=D1。 根据题意，有P=2件/天，D=1件厌，C,=300×2%×30=0.2元/天·件， C。=20元/次，6=5天，L=1x5=5件。代入(19)~(22)，求得 Q°=20件，T=20天，A=10件，C=2元 在木例中，L称为订货点，其意义是每当发现存贮量降到L或更低时就定购。在 存贮管理中，称这样的存贮策略为“定点订货”。类似地，称每隔一个固定时间就订货 的存贮策略为“定时订货”，称每次订购量不变的存贮策略为“定量订货” 2.4模型四：允许缺货，补充时间极短的经济订购批量存贮模型 在模型二的假设条件中，取消补充需要一定时间的条件（即设P→0），就成为 模型四。因此，和模型三一样，模型四的存贮状态图和最优存贮策略也可以从模型二直 接导出。 模型四的存贮状态图见图6。下面我们用另外的方法导出模型四的最优存贮策略。 设T仍为时间周期，其中T表示T中不缺货时间，T表示T中缺货时间，即 T+T,=T。S为最大缺货量，C,为缺货损失的单价，Q仍为每次的最高订货量，则 Q-S为最高存贮量，因为每次得到订货量Q后，立即支付给顾客最大缺货S。 -326
-326- 图 5 拖后时间的存贮模型 从图 5 可见，拖后时间为[0, ] 0t ，存贮量 L 应恰好满足这段时间的需求，故 L = Dt0 。 根据题意，有 P = 2 件/天， D =1件/天， 0.2 30 1 CP = 300× 2%× = 元/天·件， = 20 CD 元/次，t0 = 5天， L =1×5 = 5 件。代入（19）～（22），求得 20 * Q = 件， 20 * T = 天， 10 * A = 件， 2 * C = 元 在本例中， L 称为订货点，其意义是每当发现存贮量降到 L 或更低时就定购。在 存贮管理中，称这样的存贮策略为“定点订货”。类似地，称每隔一个固定时间就订货 的存贮策略为“定时订货”，称每次订购量不变的存贮策略为“定量订货”。 2.4 模型四：允许缺货，补充时间极短的经济订购批量存贮模型 在模型二的假设条件中，取消补充需要一定时间的条件（即设 P → ∞ ），就成为 模型四。因此，和模型三一样，模型四的存贮状态图和最优存贮策略也可以从模型二直 接导出。 模型四的存贮状态图见图 6。下面我们用另外的方法导出模型四的最优存贮策略。 设T 仍为时间周期，其中T1 表示T 中不缺货时间，T2 表示T 中缺货时间，即 T1 +T2 = T 。 S 为最大缺货量,Cs 为缺货损失的单价，Q 仍为每次的最高订货量，则 Q − S 为最高存贮量，因为每次得到订货量Q 后，立即支付给顾客最大缺货 S