武汉工程大学：《材料力学》第十章 能量法

第十章能量法 材料力学教案 学|6学时 弹性杆件的变形能计算 单位载荷法、计算莫尔积分的图乘法 教「1.掌握外力功、变形能的计算方法。 学2.了解应变余功,应变余能的基本概念。 日|3.掌握由能量原理导出的能量法、莫尔积分公式的导出 的4.掌握单位载荷法与图乘法之间的关系。 5.掌握图乘法的基本原理与推导过程以及图乘法的应用条件 6.能够熟练地应用图乘法计算指定截面的位移 7.了解并掌握图乘法的计算与应用技巧。 重点和难点 重点:1.掌握外力功、变形能的计算方法 2.掌握能量法的基本原理。 3.要求熟练掌握五种基本变形状态下的变形能的计算。 4.掌握单位载荷法与图乘法之间的关系 5.重点掌握图乘法的基本原理与应用条件。 6.要求熟练掌握图乘法的计算方法与计算技巧。 难点:是如何正确理解虚功原理。 难点之一是莫尔积分公式的正确应用。 难点之二是莫尔积分公式应用的推广。 在解决问题时,有时图乘法非常简单,有时却很麻烦。 在虚功原理的基础上,建立莫尔积分公式,在直杆分析时,重 学点讲授图乘法的应用。 方法|2.授过程中在适当地方安排课堂讨论 (a)单位载荷法与莫尔积分之间的关系 (b)虚位移与虚功的基本概念。 (c)莫尔积分与图乘法的应用条件有什么区别? 作业

第十章 能量法 ————材料力学教案 学 时 6 学时 基 本 内 容 弹性杆件的变形能计算 单位载荷法、计算莫尔积分的图乘法 教 学 目 的 1. 掌握外力功、变形能的计算方法。 2. 了解应变余功，应变余能的基本概念。 3. 掌握由能量原理导出的能量法、莫尔积分公式的导出。 4. 掌握单位载荷法与图乘法之间的关系 。 5. 掌握图乘法的基本原理与推导过程以及图乘法的应用条件。 6. 能够熟练地应用图乘法计算指定截面的位移。 7．了解并掌握图乘法的计算与应用技巧 。 重 点 和 难 点 重点：1.掌握外力功、变形能的计算方法。 2.掌握能量法的基本原理。 3.要求熟练掌握五种基本变形状态下的变形能的计算。 4.掌握单位载荷法与图乘法之间的关系 。 5. 重点掌握图乘法的基本原理与应用条件。 6. 要求熟练掌握图乘法的计算方法与计算技巧。 难点： 是如何正确理解虚功原理。 难点之一是莫尔积分公式的正确应用。 难点之二是莫尔积分公式应用的推广。 在解决问题时，有时图乘法非常简单，有时却很麻烦。 教 学 方法 1．在虚功原理的基础上，建立莫尔积分公式，在直杆分析时，重 点讲授图乘法的应用。 2．授过程中在适当地方安排课堂讨论。 （a）单位载荷法与莫尔积分之间的关系。 （b）虚位移与虚功的基本概念。 （c）莫尔积分与图乘法的应用条件有什么区别？ 作业

第十章能量法 本章介绍弹性变形势能,并将虚位移原理、势能驻值原理及最小势能原理用于变形固体。 本章重点介绍单位载荷法,这是一种用能量原理求位移的方法,是一种很简单实用的方法。 §10.1弹性变形势能的计算 当构件发生弹性变形时,其内部会贮存能量,从而使构件具有作功的能力。例如,被跳 水运动员压弯的跳板,因变形而贮存了能量,再利用释放出来的能量对运动员作功,加强了 运动员的弹跳力。这种因弹性变形而贮存的能量称为弹性变形势能,简称变形能或应变能, 用V表示,单位为J,1J=1N·m。单位体积的应变能称为应变能密度,用ν。表示,单位 为J/m3。 外力由零开始缓慢地增加到最终值,构件始终处于平衡状态,动能的变化及其他能量的 损耗均可略去不计。根据能量守恒定律,构件内部贮存的应变能在数值上等于外力所作的功 (10.1) 此关系称为功能原理。 1、外力功的计算 外力由零缓慢增加到最终值F,外力作用点的位置发生移动,移动量为△(见图 则此力的功为 若材料服从胡克定律,力和位移的关系是线性的,如图10.1b所示,显然此时外力功 等于斜直线下三角形面积,即 图10.1 W=-F△ (10.2) 应该指出,此处所讲的力和位移都是广义的,外力可以是力,也可以是力偶,相应的广义位 移则分别为线位移或角位移

第十章 能量法 本章介绍弹性变形势能，并将虚位移原理、势能驻值原理及最小势能原理用于变形固体。 本章重点介绍单位载荷法，这是一种用能量原理求位移的方法，是一种很简单实用的方法。 §10.1 弹性变形势能的计算 当构件发生弹性变形时，其内部会贮存能量，从而使构件具有作功的能力。例如，被跳 水运动员压弯的跳板，因变形而贮存了能量，再利用释放出来的能量对运动员作功，加强了 运动员的弹跳力。这种因弹性变形而贮存的能量称为弹性变形势能，简称变形能或应变能， 用 V 表示，单位为 J，l J=1 N·m。单位体积的应变能称为应变能密度，用  v 表示，单位 为 3 J / m 。 外力由零开始缓慢地增加到最终值，构件始终处于平衡状态，动能的变化及其他能量的 损耗均可略去不计。根据能量守恒定律，构件内部贮存的应变能在数值上等于外力所作的功 W，即 V = W （10.1） 此关系称为功能原理。 1、 外力功的计算 外力由零缓慢增加到最终值 F，外力作用点的位置发生移动，移动量为△(见图 10．1a)， 则此力的功为   = 0 W fd 若材料服从胡克定律，力和位移的关系是线性的，如图 10．1b 所示，显然此时外力功 等于斜直线下三角形面积，即 W = F 2 1 （10.2） 应该指出，此处所讲的力和位移都是广义的，外力可以是力，也可以是力偶，相应的广义位 移则分别为线位移或角位移。 图 10.1

2、应变能的计算 根据功能原理,应变能可以通过外力功的计算求得。在线弹性范围内有 V=W=÷F△ 1.轴向拉压时的应变能 若杆件在轴向外力F的作用下,轴向变形为△1,且△l与F成正比,则 V=F△ 由于轴力FN,所以 EA 2E 若轴力FN沿轴线为一变量FN(x),则有应变能的一般表达式 dx (10.3) 2EA 若结构为,n根直杆组成的桁架时,整个结构内的应变能为 V=∑ 2E. A 式中F、l、E;和A1分别为桁架中第i根杆的轴力、长度、弹性模量和横截面面积 2.圆轴扭转时的应变能 若圆轴在扭转力偶矩M,的作用下,端面扭转角为q(图10.2a),且q与M,成正比(图 V=M9 10.2

2、 应变能的计算 根据功能原理，应变能可以通过外力功的计算求得。在线弹性范围内有 V = W = F 2 1  1．轴向拉压时的应变能 若杆件在轴向外力 F 的作用下，轴向变形为△l，且△l 与 F 成正比，则 V = Fl 2 1  由于轴力 FN = F ， EA F l l N  = ，所以 EA F l V N 2 2  = 若轴力 FN 沿轴线为一变量 F (x) N ，则有应变能的一般表达式  = l N dx EA F x V 2 ( ) 2  （10.3） 若结构为，n 根直杆组成的桁架时，整个结构内的应变能为 = = n i i i Ni i E A F l V 1 2 2  式中 FNi 、 i l 、 Ei 和 Ai 分别为桁架中第 i 根杆的轴力、长度、弹性模量和横截面面积。 2.圆轴扭转时的应变能 若圆轴在扭转力偶矩 Mt 的作用下，端面扭转角为  (图 10.2a)，且  与 Mt 成正比(图 10.2b)，则 V M t 2 1 = 图 10.2

由于扭矩T=M1,Q=GIP 所以 T2I 2G1 若扭矩T沿轴线为一变量T(x),则有应变能的一般表达式 (10.4) gLp 3.梁弯曲时的应变能 纯弯曲梁AB如图10.3a所示,用第6章求弯曲变形的方法,可以求出A和B两个端截 面的相对转角为 可见b与M也是成正比的(图10.3b),则 V=M(6 Ml 由于弯矩M=M。,6 所以 2EI 若弯矩M沿轴线为一变量M(x),则有应变能的一般表达式 (10.5) (b) 图10.3 横力弯曲时,梁的横截面上除了弯矩还有剪力,应分别计算与弯曲和剪切相对应的 应变能。剪切应变能的表达式为

由于扭矩 T = Mt ， GIP Tl  = 所以 GI P T l V 2 2  = 若扭矩 T 沿轴线为一变量 T(x)，则有应变能的一般表达式  = l P dx GI T x V 2 ( ) 2  (10.4) 3.梁弯曲时的应变能 纯弯曲梁 AB 如图 10.3a 所示，用第 6 章求弯曲变形的方法，可以求出 A 和 B 两个端截 面的相对转角为 EI M l e  = 可见  与 Me 也是成正比的(图 10.3b)，则 V M e 2 1 = 由于弯矩 M = Me ， EI M l e  = 所以 EI M l V 2 2  = 若弯矩 M 沿轴线为一变量 M(x)，则有应变能的一般表达式  = l dx EI M x V 2 ( ) 2  (10.5) 横力弯曲时，梁的横截面上除了弯矩还有剪力，应分别计算与弯曲和剪切相对应的 应变能。剪切应变能的表达式为 图 10.3

式中K是量纲为1的量,它与横截面形状和尺寸有关,矩形截面K为一导,实心圆截面 K为,薄壁圆管时K为2。但在细长梁的情况下,对应于剪切的应变能与弯曲应变能 相比,一般很小,所以常常略去不计 4.组合变形构件的应变能 由于小变形情况下各内力分量引起的应变能互不耦合,所以组合变形构件的总应变 能(不计剪力的影响)为 ≈fF(lx+rr2(x) M2(x) (10.6) 2EA 2Gl 2EⅠ 若杆件不是圆截面,应将上式中lp换为l1,若杆件为变截面杆,那么上式中A,Ip,I 均为x的函数。 §102虚功原理用于变形固体 1、虚位移原理用于变形固体 虚位移原理是分析静力学的一个基本原理,是适用于任意质点系的。现在研究的是 变形体,所以除了外力在虚位移上要作功外,内力在相应的变形虚位移上也要作功。前 者称为外力虚功,用δW表示;后者称为内力虚功,用OW表示。此处的内力虚功 相应于刚体系统中的弹簧力所作的虚功。那么用于变形固体的虚位移原理(又称虚功原 理)可以表述为 变形固体平衡的充分必要条件是作用于其上的外力系和内力系在任意一组虚位移 上所作的虚功之和为零,即 ow+sw=o (10.7) 此处的虚位移是除作用在杆件上的原力系本身以外,由其他因素所引起的满足约束 条件的假想的无限小位移。它是在原力系作用下的平衡位置上再增加的位移。它可以是 真实位移的增量,也可以是与真实位移无关的其他位移,例如另外的广义力或温度变化, 支座移动等引起的位移,甚至是完全虚拟的。但是这种虚位移必须满足边界位移条件和 变形连续性条件,并符合小变形要求。 虚位移既然与作用的力无关,就不受外力与位移关系的限制,也不受材料应力应变 关系的限制,所以虚位移原理可以用于非线性情况。 2、内力虚功的表达式 在结构中取出一微段dx,如图10.4a所示。微段上的变形虚位移可分解为d(△) dO,d",如图10.4b、c、d所示

 = l Q dx GA KF x V 2 ( ) 2  式中 K 是量纲为 1 的量，它与横截面形状和尺寸有关，矩形截面 K 为 5 6 导，实心圆截面 K 为 9 10 ，薄壁圆管时 K 为 2。但在细长梁的情况下，对应于剪切的应变能与弯曲应变能 相比，一般很小，所以常常略去不计。 4.组合变形构件的应变能 由于小变形情况下各内力分量引起的应变能互不耦合，所以组合变形构件的总应变 能(不计剪力的影响)为  = l N dx EA F x V 2 ( ) 2  + l P dx GI T x 2 ( ) 2 + l dx EI M x 2 ( ) 2 （10.6） 若杆件不是圆截面，应将上式中 P I 换为 t I ，若杆件为变截面杆，那么上式中 A， P I ，I 均为 x 的函数。 §10.2 虚功原理用于变形固体 1 、虚位移原理用于变形固体 虚位移原理是分析静力学的一个基本原理，是适用于任意质点系的。现在研究的是 变形体，所以除了外力在虚位移上要作功外，内力在相应的变形虚位移上也要作功。前 者称为外力虚功，用 We '  表示；后者称为内力虚功，用 Wi '  表示。此处的内力虚功， 相应于刚体系统中的弹簧力所作的虚功。那么用于变形固体的虚位移原理(又称虚功原 理)可以表述为： 变形固体平衡的充分必要条件是作用于其上的外力系和内力系在任意一组虚位移 上所作的虚功之和为零，即 0 ' '  We +  Wi = (10.7) 此处的虚位移是除作用在杆件上的原力系本身以外，由其他因素所引起的满足约束 条件的假想的无限小位移。它是在原力系作用下的平衡位置上再增加的位移。它可以是 真实位移的增量，也可以是与真实位移无关的其他位移，例如另外的广义力或温度变化， 支座移动等引起的位移，甚至是完全虚拟的。但是这种虚位移必须满足边界位移条件和 变形连续性条件，并符合小变形要求。 虚位移既然与作用的力无关，就不受外力与位移关系的限制，也不受材料应力应变 关系的限制，所以虚位移原理可以用于非线性情况。 2、 内力虚功的表达式 在结构中取出一微段 dx，如图 10.4a 所示。微段上的变形虚位移可分解为 * d(l) ， * d ， * d ，如图 10.4b、c、d 所示