第十一章超静定问题 材料力学教案 学|6学时 时基本内容 1.静不定系统。 2.力法。 3.对称条件的利用 1.静不定结构系统的基本概念, 2.掌握桁架、刚架静不定次数的判定 3.掌握静不定结构的基本解法 教4.掌握力法的基本原理及计算公式的导出 学|5.了解正则方程式与正则方程组的建立 日|6.了解对称结构的对称变形与反对称变形基本概念。 的 7.了解对称结构的对称变形与反对称变形性质的利用,对于某 些载荷既非对称,也非反对称,但可将它们化成对称和反对 称两种情况的叠加,以使问题简化 重重点:1.重点掌握静不定问题的基本解法。 点和难点 2.重点掌握正则方程式与正则方程组的建立、主系数、副 系数、自由项的计算方法。 难点:1.难点是正确确定多次静不定系统的静不定次数及正确地 解正则方程组。 2.难点是建立正确的简化方案 首先,讲授解超静定问题的基本方法和基本方程 学其次,介绍求解复杂超静定系统的力法(正则方法) 方法 1.用什么方法计算主系数、副系数、自由项最方便? 2.如何正确应用图乘法?
第十一章 超静定问题 ————材料力学教案 学 时 6 学时 基 本 内 容 1. 静不定系统。 2. 力法。 3. 对称条件的利用 教 学 目 的 1. 静不定结构系统的基本概念。 2. 掌握桁架、刚架静不定次数的判定。 3. 掌握静不定结构的基本解法。 4. 掌握力法的基本原理及计算公式的导出。 5. 了解正则方程式与正则方程组的建立。 6. 了解对称结构的对称变形与反对称变形基本概念。 7. 了解对称结构的对称变形与反对称变形性质的利用，对于某 些载荷既非对称，也非反对称，但可将它们化成对称和反对 称两种情况的叠加，以使问题简化 。 重 点 和 难 点 重点：1.重点掌握静不定问题的基本解法。 2.重点掌握正则方程式与正则方程组的建立、主系数、副 系数、自由项的计算方法。 难点：1.难点是正确确定多次静不定系统的静不定次数及正确地 解正则方程组。 2.难点是建立正确的简化方案。 教 学 方法 首先，讲授解超静定问题的基本方法和基本方程 其次，介绍求解复杂超静定系统的力法（正则方法） 1.用什么方法计算主系数、副系数、自由项最方便？ 2.如何正确应用图乘法？ 作业
第十一章超静定问题 静不定结构也称为超静定结构,和相应的静定结构相比,具有强度高、刚度大的优点 因此工程实际中的结构大多是静不定结构。本章主要介绍静不定结构的定义、静不定次数的 判断以及静不定结构的求解方法,重点介绍用力法求解静不定结构 §11-1概述 1静不定结构的概念 在各种受力情况下的支座约束力和内力,仅利用静力学平衡方程就可全部求得,这类结 构称为静定结构。例如图11-1a所示的被车削工件,图11-2a所示的桁架都是静定结构。它 们上面作用的载荷和支座约束力构成平面一般力系,有3个独立的平衡方程,正好可解出3 个未知的支座约束力,其内力也可由截面法或节点法所列的平衡方程求得 为了满足构件对强度、刚度的要求,常常会增加一些约東。例如为了提高图11-1a所示 工件的车削精度,在自由端B处增加了一个尾架,见图11-1b。这样未知的支座约束力由原 来的3个增加到4个,仅仅利用平衡方程已不能求出全部的支座约束力,这类结构称为外静 不定结构。又如图11-2a所示桁架中增加了一个杆BD,见图11-2b,虽然支座约束力仍为3 个,仍能由静力学平衡方程确定,但是杆件的内力却不能全部由平衡方程求出,这类结构称 为内静不定结构。此外,还有的结构既是外静不定的,又是内静不定的,见图11-2c。凡是 用静力学平衡方程无法求出全部支座约束力和内力的结构,统称为静不定结构或静不定系 统 在图11-1a及11-a所示结构中,原有的约束对于维持结构的平衡是必要的,充分的 而由于其他原因在静定结构上增加的约束,如图11-1b中的尾架,图11-2b中的杆肋以及图 11-2c中的杆BD和D处的水平支座链杆,对于结构的平衡来说,则是多余的。因此称它们 为“多余约束”,相应的支座约束力或内力,则称为“多余约束力”。当然“多余约東”对工 程实际来说并非多余,它们都是为了提高强度或刚度而加上去的 (b) (b) 图11-1 图11-2
第十一章 超静定问题 静不定结构也称为超静定结构，和相应的静定结构相比，具有强度高、刚度大的优点， 因此工程实际中的结构大多是静不定结构。本章主要介绍静不定结构的定义、静不定次数的 判断以及静不定结构的求解方法，重点介绍用力法求解静不定结构。 §11-1 概 述 1.静不定结构的概念 在各种受力情况下的支座约束力和内力，仅利用静力学平衡方程就可全部求得，这类结 构称为静定结构。例如图 11-1a 所示的被车削工件，图 11-2a 所示的桁架都是静定结构。它 们上面作用的载荷和支座约束力构成平面一般力系，有 3 个独立的平衡方程，正好可解出 3 个未知的支座约束力，其内力也可由截面法或节点法所列的平衡方程求得。 为了满足构件对强度、刚度的要求，常常会增加一些约束。例如为了提高图 11-1a 所示 工件的车削精度，在自由端 B 处增加了一个尾架，见图 11-1b。这样未知的支座约束力由原 来的 3 个增加到 4 个，仅仅利用平衡方程已不能求出全部的支座约束力，这类结构称为外静 不定结构。又如图 11-2a 所示桁架中增加了一个杆 BD，见图 11-2b，虽然支座约束力仍为 3 个，仍能由静力学平衡方程确定，但是杆件的内力却不能全部由平衡方程求出，这类结构称 为内静不定结构。此外，还有的结构既是外静不定的，又是内静不定的，见图 11-2c。凡是 用静力学平衡方程无法求出全部支座约束力和内力的结构，统称为静不定结构或静不定系 统。 在图 11-1a 及 11-2a 所示结构中，原有的约束对于维持结构的平衡是必要的，充分的。 而由于其他原因在静定结构上增加的约束，如图 11-1b 中的尾架，图 11-2b 中的杆肋以及图 11-2c 中的杆 BD 和 D 处的水平支座链杆，对于结构的平衡来说，则是多余的。因此称它们 为“多余约束”，相应的支座约束力或内力，则称为“多余约束力”。当然“多余约束”对工 程实际来说并非多余，它们都是为了提高强度或刚度而加上去的。 图 11-1 图 11-2
2静不定次数 1)外静不定结构 首先由约束的性质确定支座约束力所含未知量的数目,再根据结构所受到的力系的性质确 定独立平衡方程的数目,二者之差即为结构的静不定次数。例如图11-1b中,A端固定有3 个支座约束力,B端可动铰支座有1个支座约束力,共4个支座约束力:结构受平面一般力 系作用,有3个独立的平衡方程。支座约束力数与平衡方程数之差为1,所以此结构为1次 外静不定 2)内静不定结构 用截面法将结构切开一个或几个截面(即去掉内部多余约束),使它变成静定的,那么切开 截面上的内力分量的总数(即原结构内部多余约束数目)就是静不定次数。 在平面结构(结构轴线与载荷均在同一平面内)中 (1)切开一个链杆(二力杆),截面上只有1个内力分量(轴力Fx),相当于去掉1个多 余约束 2)切开一个单铰,截面上有2个内力分量(轴力FN、剪力Fo),相当于去掉2个多余 约束 (3)切开一处刚性联结,截面上有3个内力分量(轴力FN、剪力F、弯矩M,相当于 去掉3个多余约束 (4)将刚性联结换为单铰,或将单铰换为链杆,均相当于去掉1个多余约束。 例如图11-2b中,切开链杆BD(切开其他任何一根也可),结构就变成静定的,所以此 结构为1次内静不定。又如图11-3a中所示结构,从中间铰C处切开,就变成静定的(图 11-3b),切开截面上有2个内力分量(图11-3c),所以此结构为2次内静不定。再如图11-4 中所示结构,将任何一处刚性联结切断就变成静定的(图11-4b),切开截面上有3个内力分 量(图11-4c),所以此结构为3次内静不定 图11-3 图11-4
图 11-4 2.静不定次数 1）外静不定结构 首先由约束的性质确定支座约束力所含未知量的数目，再根据结构所受到的力系的性质确 定独立平衡方程的数目，二者之差即为结构的静不定次数。例如图 11-1b 中，A 端固定有 3 个支座约束力，B 端可动铰支座有 1 个支座约束力，共 4 个支座约束力；结构受平面一般力 系作用，有 3 个独立的平衡方程。支座约束力数与平衡方程数之差为 1，所以此结构为 1 次 外静不定。 2）内静不定结构 用截面法将结构切开一个或几个截面(即去掉内部多余约束)，使它变成静定的，那么切开 截面上的内力分量的总数(即原结构内部多余约束数目)就是静不定次数。 在平面结构(结构轴线与载荷均在同一平面内)中： (1)切开一个链杆(二力杆)，截面上只有 1 个内力分量(轴力 FN )，相当于去掉 1 个多 余约束。 (2)切开一个单铰，截面上有 2 个内力分量(轴力 FN 、剪力 FQ )，相当于去掉 2 个多余 约束。 (3)切开一处刚性联结，截面上有 3 个内力分量(轴力 FN 、剪力 FQ 、弯矩 M)，相当于 去掉 3 个多余约束。 (4)将刚性联结换为单铰，或将单铰换为链杆，均相当于去掉 1 个多余约束。 例如图 11-2b 中，切开链杆 BD(切开其他任何一根也可)，结构就变成静定的，所以此 结构为 1 次内静不定。又如图 11-3a 中所示结构，从中间铰 C 处切开，就变成静定的(图 11-3b)，切开截面上有 2 个内力分量(图 11-3c)，所以此结构为 2 次内静不定。再如图 11-4a 中所示结构，将任何一处刚性联结切断就变成静定的(图 11-4b)，切开截面上有 3 个内力分 量(图 11-4c)，所以此结构为 3 次内静不定。 图 11-3
3.既是外静不定又是内静不定结构 首先判断其外静不定次数,再判断其内静不定次数,二者之和即为此结构的静不定 次数。例如图11-2c中所示结构,外静不定次数为1,内静不定次数也为1,所以此结 构为2次静不定 根据上述讨论,静不定次数可表达如下 多余约束数 多余未知量个数 解不定次数 (包括内外多余约束)(包括支座约束力和内力) 未知量个数-独立平衡方程数 §11-2简单的超静定问题 1.求解超静定问题的基本方法 由于多余约束的存在,使问题由静力学可解变为静力学不可解,这只是问题的一个方面 问题的另一方面是,由于多余约束对结构位移或变形有着确定的限制,而位移或变形又是与 力相联系的,因而多余约束又为求解超静定问题提供了条件。 根据以上分析,求解超静定问题,除了平衡方程外,还需要根据多余约束对位移或变形 的限制,建立各部分位移或变形之间的几何关系,即建立几何方程,称为变形协调方程,并 建立力与位移或变形之间的物理关系,即物理方程或称本构方程。将这二者联立才能找到求 解超静定问题所需的补充方程 可见,求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡、变形协调与物理等三方面,这就是 求解超静定问题的基本方法。这与第3章中分析正应力的方法是相似的 2.几种简单的超静定问题 1)拉压超静定问题 这类超静定结构中构件只承受轴力。 例11-1图11-5中所示衍架,A、B、C、D四处均为饺链,求1、2、3的内力 解图11-5中所示衍架,A、B、C、D四处均为饺链,故1、2、3三均为二力杆,设 其轴力分别为FN1、FN2、FN3o由图115b受力图可知,其中有三个力是未知的,而平衡方 程只有两个,故为一次超静定结构。 A2|A4∥A 图11-5
3．既是外静不定又是内静不定结构 首先判断其外静不定次数，再判断其内静不定次数，二者之和即为此结构的静不定 次数。例如图 11-2c 中所示结构，外静不定次数为 1，内静不定次数也为 1，所以此结 构为 2 次静不定。 根据上述讨论，静不定次数可表达如下： （包括支座约束力和内力） 多余未知量个数 （包括内外多余约束） 多余约束数 解不定次数 = = = 未知量个数 −独立平衡方程数 §11-2 简单的超静定问题 1. 求解超静定问题的基本方法 由于多余约束的存在，使问题由静力学可解变为静力学不可解，这只是问题的一个方面。 问题的另一方面是，由于多余约束对结构位移或变形有着确定的限制，而位移或变形又是与 力相联系的，因而多余约束又为求解超静定问题提供了条件。 根据以上分析，求解超静定问题，除了平衡方程外，还需要根据多余约束对位移或变形 的限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系，即建立几何方程，称为变形协调方程，并 建立力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程。将这二者联立才能找到求 解超静定问题所需的补充方程。 可见，求解超静定问题，需要综合考察结构的平衡、变形协调与物理等三方面，这就是 求解超静定问题的基本方法。这与第 3 章中分析正应力的方法是相似的。 2. 几种简单的超静定问题 1） 拉压超静定问题 这类超静定结构中构件只承受轴力。 例 11-1 图 11-5 中所示衍架，A、B、C、D 四处均为饺链，求 1、2、3 的内力。 解 图 11-5 中所示衍架，A、B、C、D 四处均为饺链，故 1、2、3 三均为二力杆，设 其轴力分别为 FN1、FN2、FN3。由图 11-5b 受力图可知,，其中有三个力是未知的，而平衡方 程只有两个，故为一次超静定结构。 (a) (b) 图 11-5
平衡方程: 2F=0: FN2sina-FNSsina=0 >F=0: FN+ FN2 coSa+FN3 cosa-Fp=0 变形协调方程: △l2=M3=△1cosa 物性关系 Ful E,A ErA 由平衡方程、变形协调方程、物性关系联立解出 F 2E2A2 LAL E,4,4, FM= F EAL, F E,,l2 2)扭转超静定问题 考察图116a中两端固定、承受扭转的圆截面直杆,设两端的约束力偶分别为Ma、 MB,其方向如图16b所示,而独立的平衡方程只有1个,即∑M(F)=0。因此,为 次超静定结构。 固定 固定 根据前述分析过程,不难确定: 于是,可以化出杆的扭矩图(图11-6c) 4() ⊥M 图11-6
平衡方程: Fx = 0 : FN2 sin − FN3 sin = 0 Fy = 0 : FN1 + FN2 cos + FN3 cos − FP = 0 变形协调方程： l 2 = l 3 = l 1 cos 物性关系:: 2 2 N2 2 2 3 1 1 N1 1 1 , E A F l l l E A F l l = = = 由平衡方程、变形协调方程、物性关系联立解出 1 1 2 2 2 1 P N1 2 1 E A l E A l F F + = P 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 N2 N3 2 1 F E A l E A l E A l E A l F F + = = 2） 扭转超静定问题 考察图 11-6a 中两端固定、承受扭转的圆截面直杆，设两端的约束力偶分别为 M eA 、 M eB ，其方向如图 11-6b 所示，而独立的平衡方程只有 1 个，即 Mx (F) = 0 。因此，为 一次超静定结构。 根据前述分析过程，不难确定： 3 e eA eB M M = M = 于是，可以化出杆的扭矩图（图 11-6c） 图 11-6