第四章弹性杆横截面上的切应力分析 一教学方案 基1、圆轴扭转时横截面上的切应力 本 圆轴扭转变形特征,变形协调方程,物理关系,静力学关系。 内|2、非圆截面杆扭转时横截面上的切应力,截面翘曲,切应力公式。 教1、了解外力偶矩与功率、转速间的关系 学|2、掌握圆轴扭转时横截面上的切应力公式及其应用。 目|3、了解矩形截面杆扭转时截面上的应力分布规律。 的4、了解矩形截面梁、工字形截面梁的弯曲切应力的分布规律。掌握 最大弯曲切应力的计算。 重重点:圆轴扭转时横截面切应力公式的建立及其分布规律。 点、难点:矩形截面梁弯曲切应力公式的推导。 难点教学方法 用简单模型教具演示圆轴扭转变形的平面假定 课外作业|4,5,9,1 第四章弹性杆樻微面上的切疝力分析 对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件,当其横截面上仅有扭矩(M)或剪力(Fo或Foa 时,与这些内力分量相对应的分布内力,其作用面与横截面重合。这时分布内力在一点处的 集度,即为切应力
1 第四章 弹性杆横截面上的切应力分析 ——教学方案 学 时 6 基 本 内 容 1、圆轴扭转时横截面上的切应力 圆轴扭转变形特征，变形协调方程，物理关系，静力学关系。 2、非圆截面杆扭转时横截面上的切应力，截面翘曲，切应力公式。 教 学 目 的 1、了解外力偶矩与功率、转速间的关系。 2、掌握圆轴扭转时横截面上的切应力公式及其应用。 3、了解矩形截面杆扭转时截面上的应力分布规律。 4、了解矩形截面梁、工字形截面梁的弯曲切应力的分布规律。掌握 最大弯曲切应力的计算。 重 点、 难 点 重点：圆轴扭转时横截面切应力公式的建立及其分布规律。 难点：矩形截面梁弯曲切应力公式的推导。 教 学 方 法 用简单模型教具演示圆轴扭转变形的平面假定。 课外作业 4，5，9，11 第四章 弹性杆横截面上的切应力分析 对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有扭矩(Mx)或剪力(FQy 或 FQz) 时，与这些内力分量相对应的分布内力，其作用面与横截面重合。这时分布内力在一点处的 集度，即为切应力
分析与扭矩和剪力对应的切应力的方法不完全相同。对于扭矩存在的情形,依然借助于 平衡、变形协调与物性关系,其过程与正应力分析相似。对于剪力存在的情形,在一定的前 提下,则仅借助于平衡方程。 本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力以及薄壁杆件的弯曲切应力分析。 §4-1圆轴扭转时横截面上的切应力 工程上将传递功率的构件称为轴,且大多数情形下均为圆轴。当圆轴承受绕轴线转动的 外扭转力偶作用时(图4-1),其横截面上将只有扭矩一个内力分量,轴受扭时,其上的外扭转 力偶矩M(单位为Nm)与轴传递的功率P(单位为kW)和轴的转速n(单位为rmin)有 如下关系: M}m=9549 P (4-1) 发电机 汽轮机 图4-1承受扭转的轴 不难看出,受扭后,轴将产生扭转变形,如图42b所示。圆轴上的每个微元(例如图4-2a 中的ABCD)的直角均发生变化,这种直角的改变量即为切应变,如图42c所示。这表明, 圆轴横截面和纵截面上都将出现切应力(图中AB和CD边对应着横截面;AC和BD边则对 应着纵截面),分别用τ和r’表示。应用平衡关系不难证明
2 分析与扭矩和剪力对应的切应力的方法不完全相同。对于扭矩存在的情形，依然借助于 平衡、变形协调与物性关系，其过程与正应力分析相似。对于剪力存在的情形，在一定的前 提下，则仅借助于平衡方程。 本章重点介绍圆截面杆在扭矩作用下其横截面切应力以及薄壁杆件的弯曲切应力分析。 §4-1 圆轴扭转时横截面上的切应力 工程上将传递功率的构件称为轴，且大多数情形下均为圆轴。当圆轴承受绕轴线转动的 外扭转力偶作用时(图 4-1)，其横截面上将只有扭矩一个内力分量，轴受扭时，其上的外扭转 力偶矩 Me（单位为 Nm）与轴传递的功率 P（单位为 kW）和轴的转速 n（单位为 r/min）有 如下关系： / min . 9549 r kW e N m n P M = （4-1） 不难看出，受扭后，轴将产生扭转变形，如图 4-2b 所示。圆轴上的每个微元(例如图 4-2a 中的 ABCD)的直角均发生变化，这种直角的改变量即为切应变，如图 4-2c 所示。这表明， 圆轴横截面和纵截面上都将出现切应力(图中 AB 和 CD 边对应着横截面；AC 和 BD 边则对 应着纵截面)，分别用τ和 表示。应用平衡关系不难证明：
(4-2) 这一关系称为切应力互等定理或切应力成对定理。 1.平面假设及变形几何关系变形协调方程 如图4-3a所示受扭圆轴,与薄圆筒相似,如用一系列平行的纵线与圆周线将圆轴表面分 成一个个小方格,可以观察到受扭后表面变形有以下规律 (1)各圆周线绕轴线相对转动一微小转角,但大小,形状及相互间距不变 (2)由于是小变形,各纵线平行地倾斜一个微小角度y,认为仍为直线;因而各小方格变 形后成为菱形 平面假设:变形前横截面为圆形平面,变形 后仍为圆形平面,只是各截面绕轴线相对“刚性 地”转了一个角度。从图43a取出图4-3b所示微 段dx,其中两截面ppqq相对转动了扭转角dφ, 纵线ab倾斜小角度γ成为ab’,而在半径p(Od) 处的纵线cd根据平面假设,转过dp后成为cd, 其相应倾角为y。(见图43c)。由于是小变形, 从图4-3c可知:dd=r,x=puφ。于是 图43 dx 对于半径为R的圆轴表面(见图4-3b),则为 do R (4-4) 应用反对称性和反证法也可以从理论上证明:圆轴受扭后其横截面依然保持平面其上的 各点只能在同一平面内转动,并且,受扭后圆轴横截面只发生刚性转动。通过扭转变形分析 仍可以得到式(4-3),该式表明:圆轴扭转时,其横截面上任意点处的切应变与该点至截面 中心之间的距离成正比。式(4-3)即为圆轴扭转时的变形协调方程 2.物性关系剪切虎克定律 若在弹性范围内加载,即切应力小于某一极限值时, 对于大多数各向同性材料,切应力与切应变之间存在线性 关系,如图44所示。于是,有 (4-5) 上式即为剪切虎克定律。 图44
3 = − （4-2） 这一关系称为切应力互等定理或切应力成对定理。 1. 平面假设及变形几何关系 变形协调方程 如图 4-3a 所示受扭圆轴，与薄圆筒相似，如用一系列平行的纵线与圆周线将圆轴表面分 成一个个小方格，可以观察到受扭后表面变形有以下规律： (1) 各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变； (2) 由于是小变形，各纵线平行地倾斜一个微小角度 ，认为仍为直线；因而各小方格变 形后成为菱形。 平面假设：变形前横截面为圆形平面，变形 后仍为圆形平面，只是各截面绕轴线相对“刚性 地”转了一个角度。从图 4-3a 取出图 4-3b 所示微 段 dx , 其中两截面 pp,qq 相对转动了扭转角 d , 纵线 ab 倾斜小角度 成为 ab’，而在半径 ( od ) 处的纵线 cd 根据平面假设，转过 d 后成为 cd’, 其相应倾角为 （见图 4-3c）。由于是小变形， 从图 4-3c 可知： dd rdx d ' = = 。于是 dx d = （4-3） 对于半径为 R 的圆轴表面（见图 4-3b），则为 dx d R = （4-4） 应用反对称性和反证法也可以从理论上证明：圆轴受扭后,其横截面依然保持平面,其上的 各点只能在同一平面内转动，并且，受扭后圆轴横截面只发生刚性转动。通过扭转变形分析 仍可以得到式（4-3），该式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的切应变与该点至截面 中心之间的距离成正比。式(4-3)即为圆轴扭转时的变形协调方程。 2. 物性关系 剪切虎克定律 若在弹性范围内加载，即切应力小于某一极限值时， 对于大多数各向同性材料，切应力与切应变之间存在线性 关系，如图 4-4 所示。于是，有 = G (4-5) 上式即为剪切虎克定律 。 图 4-3 图 4-4
3.静力学方程 将式(4-3代入式(44),到 r。=(p)=Gp (4-6) 这表明,横截面上各点的切应力与点到截面中心的距离成正比,即切应力沿截面的半径呈线 性分布(如图45,6),方向如图4-6a所示。 作用在横截面上的切应力形成一分布力系,这一力系向截面中心简化的结果为一力偶 其力偶矩即为该截面上的扭矩。于是有 L,Ppda=M (47) 此即静力学方程。将式(4-6代入(47)后,得到 do M (4-8) dx GI 其中 为圆截面对其中心的极惯性矩。式(4-8)中的Gl称为 圆轴的扭转刚度。 4.切应力表达式 将式(4-8代人式(4-6,得到 图45 MP (4-10) 此即圆轴扭转时横截面上任意点的切应力表达式,其中M由平衡条件确定。IP由式(4-9) 积分求得(参见图46b中微元面积的取法)。对于直径为d的实心圆轴 图4-6圆轴扭转时横截面上的切应力分布
4 3. 静力学方程 将式(4-3)代入式(4-4)，到 dx d = ( ) = G （4-6） 这表明，横截面上各点的切应力与点到截面中心的距离成正比，即切应力沿截面的半径呈线 性分布（如图 4-5，6），方向如图 4-6a 所示。 作用在横截面上的切应力形成一分布力系，这一力系向截面中心简化的结果为一力偶， 其力偶矩即为该截面上的扭矩。于是有 x A dA = M （4-7） 此即静力学方程。将式(4-6)代入（4-7）后，得到 P x GI M dx d = （4-8） 其中， = A I P dA 2 （4-9） 为圆截面对其中心的极惯性矩。式（4-8）中的 GIP 称为 圆轴的扭转刚度。 4. 切应力表达式 将式(4-8)代人式(4-6)，得到 P x I M = （4-10） 此即圆轴扭转时横截面上任意点的切应力表达式，其中 Mx 由平衡条件确定。 IP由式(4-9) 积分求得(参见图 4-6b 中微元面积的取法)。对于直径为 d 的实心圆轴： 图 4-5
(4-11) 对于内、外直径分别为d、D的空心圆轴 (1-a4),a=d/D (4-12) 32 从图4-5,6a中不难看出,最大切应力发生在横截面边缘上各点,其值由下式确定 M 其中 (4-14) 称为圆截面的扭转截面系数。对于实心圆截面和空心圆截面,分别有 (4-15) 、/3 5.端部加载方式的影响 以上讨论中忽略了轴端外扭转力偶矩的施加方式(是集中力偶还是位于端截面内的分布 力偶:是均匀分布的分布力偶,还是与横截面上切应力分布相似的分布力系)。为了使轴两端 之间所有横截面都保持平面并只产生刚性转动,外扭转力偶的施加方式应使两端面保持平面 并只产生刚性转动。这种加载方式可以通过将外扭转力偶矩施加在与轴端固结的刚性板上而 实现,如图4一7所示。在这样的加载方式下,前面所导出的公式可应用于轴全长的所有截 面:否则,根据圣维南原理只适用于离端部稍远处的截面 图4-7圆轴端部施加力偶的刚性板 6.应用举例 例题4-1实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相联,并传递功率,如图4-8所示。已 知轴的转速n=100r/min,传递的功率P=7kW。若要求二者横截面上的最大切应力均等于 40Mpa,且已知空心圆轴的内、外径之比a=0.5,试确定实心轴的直径和空心轴的外径
5 32 4 d I p = （4-11） 对于内、外直径分别为 d、D 的空心圆轴 d D d I p (1 ), / 32 4 4 = − = （4-12） 从图 4-5，6a 中不难看出，最大切应力发生在横截面边缘上各点，其值由下式确定： p x W M max = (4-13) 其中， max P p I W = （4-14） 称为圆截面的扭转截面系数。对于实心圆截面和空心圆截面，分别有 16 3 d Wp = （4-15） (1 ) 16 4 3 = − d Wp （4-16） 5. 端部加载方式的影响 以上讨论中忽略了轴端外扭转力偶矩的施加方式(是集中力偶还是位于端截面内的分布 力偶；是均匀分布的分布力偶，还是与横截面上切应力分布相似的分布力系)。为了使轴两端 之间所有横截面都保持平面并只产生刚性转动，外扭转力偶的施加方式应使两端面保持平面 并只产生刚性转动。这种加载方式可以通过将外扭转力偶矩施加在与轴端固结的刚性板上而 实现，如图 4 一 7 所示。在这样的加载方式下，前面所导出的公式可应用于轴全长的所有截 面；否则，根据圣维南原理只适用于离端部稍远处的截面。 6. 应用举例 例题 4-1 实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并传递功率，如图 4-8 所示。已 知轴的转速 n=100r/min，传递的功率 P=7kW。若要求二者横截面上的最大切应力均等于 40Mpa，且已知空心圆轴的内、外径之比α=0.5，试确定实心轴的直径和空心轴的外径。 图 4-7 圆轴端部施加力偶的刚性板 (a) (b)