武汉工程大学：《材料力学》第五章 应力状态分析

第五章应力状态分析 材料力学教案 教学学时8 基本内容1、一点处应力状态的概念及其分类 2、平面应力状态的应力坐标变换; 正负号规则:微元局部平衡:应力坐标变换 3、平面应力状态的应力圆 应力圆方程及其画法;对应关系;应力圆的应用 4、主应力、主方向与面内最大切应力 5、三向应力状态简介 三组特殊方向面,三向应力状态应力圆,一点处的最大正应力与最大切应力 6、广义虎克定律 般微元与主微元的广义虎克定律表达式及其应用 弹性常数之间的关系。 7、一般应力状态下的应变能密度 总应变能密度,体积改变能密度与畸变能密度 教学目的|1、掌握一点处应力状态的概念及其研究目的 2、掌握平面应力状态的应力坐标变换式及微元互垂面上正应力、切应力的关 3、应力圆的画法、对应关系。 4、掌握主应力、主方向与面内最大切应力的计算 5、了解三组特殊方向面与三向应力状态应力圆,掌握一点处的最大正应力 最大切应力的计算 6、掌握广义虎克定律及其应用 7、了解应变能密度、体积改变能密度与畸变能密度的概念和计算 重点、难点重点:一点处应力状态的概念、描述与研究目的;平面应力状态的应力坐标变 换式与应力圆,主应力、主方向与面内最大切应力:广义虎克定律及其应用 难点:对构件内危险点处的最大切应力(σ1)第一主方向与最大切应力及其 作用方位客观存在的理解 广义虎克定律的应用(解决应力分析与应变分析的工程实际问题) 教学方法安排三次课堂讨论 1、材料破坏与应力状态的关系: 塑性材料与脆性材料在相同外力作用下的破坏形式为什么不同? 塑性材料与脆性材料在相冋外力作用下的机械性能(屈服滑移线、颈缩、断口 等) 2、应力圆是否描述了一点的应力状态,包含了一点应力状态的各种信息? 3、如何应用广义虎克定律解决应力分析和应变分析问题 课外作业

1 第五章 应力状态分析 ————材料力学教案 教学学时 8 基本内容 1、 一点处应力状态的概念及其分类 2、 平面应力状态的应力坐标变换； 正负号规则；微元局部平衡；应力坐标变换 3、 平面应力状态的应力圆； 应力圆方程及其画法；对应关系；应力圆的应用 4、 主应力、主方向与面内最大切应力 5、 三向应力状态简介 三组特殊方向面，三向应力状态应力圆，一点处的最大正应力与最大切应力 6、 广义虎克定律 一般微元与主微元的广义虎克定律表达式及其应用 弹性常数之间的关系。 7、 一般应力状态下的应变能密度 总应变能密度，体积改变能密度与畸变能密度。 教学目的 1、 掌握一点处应力状态的概念及其研究目的。 2、 掌握平面应力状态的应力坐标变换式及微元互垂面上正应力、切应力的关 系。 3、 应力圆的画法、对应关系。 4、 掌握主应力、主方向与面内最大切应力的计算。 5、 了解三组特殊方向面与三向应力状态应力圆，掌握一点处的最大正应力、 最大切应力的计算。 6、 掌握广义虎克定律及其应用。 7、 了解应变能密度、体积改变能密度与畸变能密度的概念和计算。 重点、难点 重点：一点处应力状态的概念、描述与研究目的；平面应力状态的应力坐标变 换式与应力圆，主应力、主方向与面内最大切应力；广义虎克定律及其应用。 难点：对构件内危险点处的最大切应力（  1 ）、第一主方向与最大切应力及其 作用方位客观存在的理解。 广义虎克定律的应用（解决应力分析与应变分析的工程实际问题） 教学方法 安排三次课堂讨论： 1、 材料破坏与应力状态的关系： 塑性材料与脆性材料在相同外力作用下的破坏形式为什么不同？ 塑性材料与脆性材料在相同外力作用下的机械性能（屈服滑移线、颈缩、断口 等） 2、 应力圆是否描述了一点的应力状态，包含了一点应力状态的各种信息？ 3、 如何应用广义虎克定律解决应力分析和应变分析问题？ 课外作业

第五章疝力状忞分析 前面两章的分析结果表明,一般情形下杆件横截面上不同点的应力是不相同的。本章还 将证明,过同一点的不同方向面上的应力,一般情形下也是不相同的。因此,当提及应力时 必须指明"哪一个面上哪一点"的应力或者"哪一点哪一个方向面”上的应力。此即应力的点和 面的概念 所谓"应力状态"又称为一点处的应力状态,是指过一点不同方向面上应力的集合 应力状态分析是用平衡的方法,分析过一点不同方向面上应力的相互关系,确定这些应 力中的极大值和极小值以及它们的作用面。 与前几章中所采用的平衡方法不同的是,平衡对象既不是整体杆或某一段杆,也不是微 段杆或其一部分,而是三个方向尺度均为小量的微元局部 此外,本章中还将采用与平衡解析式相比拟的方法,作为分析和思考问题的一种手段, 快速而有效地处理一些较为复杂的问题,从而避免死背硬记繁琐的解析公式。 §5-1一点处应力状态描述及其分类 对于受力的弹性物体中的任意点,为了描述其应力状态,一般是围绕这一点作一个微 六面体,当六面体在三个方向的尺度趋于无穷小时,六面体便趋于所考察的点。这时的六 面体称为微单元体,简称为徽元。一旦确定了微元各个面上的应力,过这一点任意方向面 上的应力均可由平衡方法确定。进而,还可以确定这些应力中的最大值和最小值以及它们 的作用面。因此,一点处的应力状态可用围绕该点的微元及其各面上的应力描述。图5-1 中所示为一般受力物体中任意点处的应力状态,它是应力状态中最一般的情形,称为空间 应力状态或三向应力状态 图5-1 图 当微元只有两对面上承受应力并且所有应力作用线均处于同一平面内时,这种应力状态 统称为二向应力状态或平面应力状态。图5-2中所示为平面应力状态的一般情形 当图5-2所示的平面应力状态微元中的切应力 0,且只有一个方向的正应力作用 时,这种应力状态称为单向应力状态:当上述平面应力状态中正应力x=,=0时,这种 应力状态称为纯剪应力状态或纯切应力状态。不难分析,横向荷载作用下的梁,在最大和最 小正应力作用点处,均为单向应力状态;而在最大切应力作用点处,大多数情形下为纯剪应 力状态。同样,对于承受扭矩的圆轴,其上各点均为纯剪应力状态 需要指出的是,平面应力状态实际上是三向应力状态的特例,而单向应力状态和纯剪 应力状态则为平面应力状态的特殊情形。一般工程中常见的是平面应力状态 2

2 第五章 应力状态分析 前面两章的分析结果表明，一般情形下杆件横截面上不同点的应力是不相同的。本章还 将证明，过同一点的不同方向面上的应力，一般情形下也是不相同的。因此，当提及应力时， 必须指明"哪一个面上哪一点"的应力或者"哪一点哪一个方向面"上的应力。此即"应力的点和 面的概念"。 所谓"应力状态"又称为一点处的应力状态，是指过一点不同方向面上应力的集合。 应力状态分析是用平衡的方法，分析过一点不同方向面上应力的相互关系，确定这些应 力中的极大值和极小值以及它们的作用面。 与前几章中所采用的平衡方法不同的是，平衡对象既不是整体杆或某一段杆，也不是微 段杆或其一部分，而是三个方向尺度均为小量的微元局部。 此外，本章中还将采用与平衡解析式相比拟的方法，作为分析和思考问题的一种手段， 快速而有效地处理一些较为复杂的问题，从而避免死背硬记繁琐的解析公式。 §5-1 一点处应力状态描述及其分类 对于受力的弹性物体中的任意点，为了描述其应力状态，一般是围绕这一点作一个微 六面体，当六面体在三个方向的尺度趋于无穷小时，六面体便趋于所考察的点。这时的六 面体称为微单元体，简称为微元。一旦确定了微元各个面上的应力，过这一点任意方向面 上的应力均可由平衡方法确定。进而，还可以确定这些应力中的最大值和最小值以及它们 的作用面。因此，一点处的应力状态可用围绕该点的微元及其各面上的应力描述。图 5-1 中所示为一般受力物体中任意点处的应力状态，它是应力状态中最一般的情形，称为空间 应力状态或三向应力状态。 当微元只有两对面上承受应力并且所有应力作用线均处于同一平面内时，这种应力状态 统称为二向应力状态或平面应力状态。图 5-2 中所示为平面应力状态的一般情形。 当图 5-2 所示的平面应力状态微元中的切应力  xy = 0 ，且只有一个方向的正应力作用 时，这种应力状态称为单向应力状态；当上述平面应力状态中正应力  x =  y = 0 时，这种 应力状态称为纯剪应力状态或纯切应力状态。不难分析，横向荷载作用下的梁，在最大和最 小正应力作用点处，均为单向应力状态；而在最大切应力作用点处，大多数情形下为纯剪应 力状态。同样，对于承受扭矩的圆轴，其上各点均为纯剪应力状态。 需要指出的是，平面应力状态实际上是三向应力状态的特例，而单向应力状态和纯剪 应力状态则为平面应力状态的特殊情形。一般工程中常见的是平面应力状态。 图 5-1 图 5-2

§5-2平面应力状态的应力坐标变换 1.正负号规定 图5一3a、b、c中所示分别为平面应力状态微元以及任意方向上的受力图。图中0为x y’坐标轴与x、y坐标轴之间的夹角,即Oxy坐标系旋转的角度。关于0角以及各应力分量 有下列正负号规则 Ox (b) 图5-3 0角一一从x正方向反时针转至x正方向的为正:反之为负。 正应力一一拉为正;压为负 切应力一一使微元或其局部产生顺时针方向转动趋势者为正:反之为负 图5一3中所示的6角及正应力和切应力均为正;,为负。 2.微元的局部平衡 为确定平面应力状态中任意方向面上的应力,将微元从任意方向面截为两部分,考察其 中任意部分,其受力如图53b所示,假定任意方向的正应力σx,和切应力rx,均为正方 向。于是,根据力的平衡方程,可以写出 F,=0 o dA-(o dAcos 0)cos+(t, dA cosO)sn 8 (o dAsn O)sn 6+(r dAsin 0)cos0=0 ∑F I. dA-(o dA cosO)sin 0+(T dA cos 0)cos 8 (o dAsin 0)cos0+(T dAsin O)sin 0=0 解上两式整理得平面应力状态下单元体任一斜截面上的应力计算公式 0-0 cos 20 (5-1) -sin 20+r. cos 20 2

3 §5-2 平面应力状态的应力坐标变换 1. 正负号规定 图 5 一 3a、b、c 中所示分别为平面应力状态微元以及任意方向上的受力图。图中θ为 x  、 y  坐标轴与 x、y 坐标轴之间的夹角，即 Oxy 坐标系旋转的角度。关于θ角以及各应力分量 有下列正负号规则： θ角一一从 x 正方向反时针转至 x ‘正方向的为正；反之为负。 正应力一一拉为正；压为负。 切应力一一使微元或其局部产生顺时针方向转动趋势者为正；反之为负。 图 5 一 3 中所示的  角及正应力和切应力 xy  均为正； yx  为负。 2. 微元的局部平衡 为确定平面应力状态中任意方向面上的应力，将微元从任意方向面截为两部分，考察其 中任意部分，其受力如图 5-3b 所示，假定任意方向的正应力 ' x  ，和切应力 ' ' x y  ,均为正方 向。于是，根据力的平衡方程，可以写出：  ' = 0 x F  ' dA − ( xdAcos ) cos + ( xydAcos )sin  − x ( ydAsin  )sin  + ( yxdAsin  ) cos = 0  ' = 0 y F  ' dA− ( xdAcos)sin  + ( xydAcos)cos − xy ( ydAsin  ) cos + ( yxdAsin  )sin  = 0 解上两式整理得平面应力状态下单元体任一斜截面上的应力计算公式         cos 2 sin 2 2 2 ' xy x y x y x − − + + = （5-1）       sin 2 cos 2 2 ' ' xy x y x y + − = （5-2） x  xy  xy  x  图 5-3

应用上式计算G、xy时,各已知应力,、可,、n和日均用其代数值 §5-3类比法的应用—应力圆 1应力圆方程 将上式(5-1)、(5-2)两边平方,然后相加,并应用sn22a+cos2a2=1,便可得 到一圆方程 +T 2 2 对于所研究的单元体,σ、、是常量,口,、,是变量(随O的变化而变化) 0+O 故令:=X、xyy =a +z2=R,则上式变为如下形式 R2 由解析几何可知,上式代表的是圆心坐标(a,0),半径为R的圆。因此,式(5-3)代表 + 个圆方程;若取σ为横坐标,τ为纵坐标,则该圆的圆心是( 0),半径等于 +z2,这个圆称为“应力圆”。因应力圆是德国学者莫尔( 0. Mohr)于1882 年最先提出的,所以又叫莫尔圆。应力圆上任一点坐标代表所研究单元体上任一截面的应力 因此应力圆上的点与单元体上的截面有着一一对应关系 2几种对应关系 考察平面应力状态坐标变换相对应的应力圆,如图54所示 ar 图5-4

4 应用上式 计算 ' x  、 ' ' x y  时，各已知应力  x 、 y 、 xy  和  均用其代数值。 §5-3 类比法的应用——应力圆 1.应力圆方程 将上式（5-1）、（5-2）两边平方，然后相加，并应用 sin 2 cos 2 1 2 2  +  = ，便可得 到一圆方程 2 2 2 2 ) 2 ) ( 2 ( ' ' ' xy x y x y x y x        + − + = + − （5-3） 对于所研究的单元体，  x 、 y 、 xy  是常量， ' x  、 ' ' x y  是变量（随  的变化而变化）， 故令 ' x  =x、 ' ' x y  =y、 a x y = + 2   、 xy R x y + =         − 2 2 2    ，则上式变为如下形式： ( ) 2 2 2 x − a + y = R 由解析几何可知，上式代表的是圆心坐标（a，0），半径为 R 的圆。因此，式（5-3）代表一 个圆方程；若取  为横坐标，  为纵坐标，则该圆的圆心是（ 2  x + y ，0），半径等于 2 2 2 x x y    +         − ，这个圆称为“应力圆”。因应力圆是德国学者莫尔（O.Mohr）于 1882 年最先提出的，所以又叫莫尔圆。应力圆上任一点坐标代表所研究单元体上任一截面的应力， 因此应力圆上的点与单元体上的截面有着一一对应关系。 2.几种对应关系 考察平面应力状态坐标变换相对应的应力圆，如图 5-4 所示。 图 5-4

假设应力圆上点a的坐标对应着微元A面上的应力(0x,τx)。将点a与圆心C相连, 并延长aC交应力圆于点d。根据图中的几何关系,不难证明,应力圆上d点坐标对应微元 D面上的应力(oy,-txy) 根据上述类比不难得到以下几种对应关系: 点面对应 应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力值。 转向对应 应力圆半径旋转时,半径端点的坐标随之改变,对应地,微元坐标轴亦沿相同方向旋转, 才能保证某一方向面上的应力与应力圆上半径端点的坐标相对应 倍角对应 应力圆上半径转过的角度等于坐标轴旋转角度的2倍 3.应力圆的应用 基于上述对应关系,不仅可以根据微元两相互垂直面上的应力确定应力圆上一直径上 的两端点,并由此确定圆心C,进而画出应力圆,从而使应力圆绘制过程大为简化。而且 还可以确定任意方向面上的正应力和切应力,以及正应力和切应力的极大值和极小值。 以图55a中所示的平面应力状态为例。首先在图5-5b所示的O:;坐标系中找到 与微元A、D面上应力(ax,tx)、(0y,ty)对应的两点a、d,连接ad交,轴于点C, 以点C为圆心,以Ca或Cd为半径作圆,即为与所给应力状态对应的应力圆。 20 (b) 图5-5 其次,为求x轴逆时针旋转0角至x轴位置时微元方向面G上的应力,可将应力圆上 的半径Ca按相同方向旋转20,得到点g,则点g的坐标值即为G面上的应力值(图5-5c) 这一结论留给读者自己证明。 §54主应力、主方向与面内最大切应力 1.主平面、主应力和主方向

5 假设应力圆上点 a 的坐标对应着微元 A 面上的应力(σx，τxy)。将点 a 与圆心 C 相连, 并延长 aC 交应力圆于点 d。根据图中的几何关系，不难证明，应力圆上 d 点坐标对应微元 D 面上的应力（σy，-τxy）。 根据上述类比,不难得到以下几种对应关系： ·点面对应 应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力值。 ·转向对应 应力圆半径旋转时，半径端点的坐标随之改变,对应地，微元坐标轴亦沿相同方向旋转， 才能保证某一方向面上的应力与应力圆上半径端点的坐标相对应。 ·倍角对应 应力圆上半径转过的角度等于坐标轴旋转角度的 2 倍。 3. 应力圆的应用 基于上述对应关系，不仅可以根据微元两相互垂直面上的应力确定应力圆上一直径上 的两端点，并由此确定圆心 C，进而画出应力圆，从而使应力圆绘制过程大为简化。而且， 还可以确定任意方向面上的正应力和切应力，以及正应力和切应力的极大值和极小值。 以图 5-5a 中所示的平面应力状态为例。首先在图 5-5b 所示的 O ' x  ' ' x y  坐标系中找到 与微元 A、D 面上应力(σx，τxy)、(σy，τyx)对应的两点 a、d，连接 ad 交 ' x  轴于点 C， 以点 C 为圆心，以 Ca 或 Cd 为半径作圆，即为与所给应力状态对应的应力圆。 其次，为求 x 轴逆时针旋转θ角至 x'轴位置时微元方向面 G 上的应力，可将应力圆上 的半径 Ca 按相同方向旋转 2θ，得到点 g，则点 g 的坐标值即为 G 面上的应力值(图 5-5c)。 这一结论留给读者自己证明。 §5-4 主应力、主方向与面内最大切应力 1. 主平面、主应力和主方向 图 5-5