附录A平面图形的几何性质 材料力学教案 学时2 基静矩、矩形及相互关系,惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半 本径,惯性矩与惯性积的移轴公式和转轴公式,主轴与形心主轴 内主矩与形心主矩,组合图形的形心、形心主轴与形心主矩的计 容算方法 教1、理解平面图形几何性质(形心、静矩、惯性矩、惯性半 径、极惯性矩、惯性积、主轴等)的概念。 目|2、能正确计算组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩 的 重重点:形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、 点主轴等概念及其计算。 和 难难点:惯性矩与惯性积的转轴公式及主惯性矩的计算。 教学以常见的圆形、圆环、矩形、T形、常见型钢截面的组合圆形 方法为主。 作业
1 附录 A 平面图形的几何性质 ——材料力学教案 学时 2 基 本 内 容 静矩、矩形及相互关系，惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半 径，惯性矩与惯性积的移轴公式和转轴公式，主轴与形心主轴、 主矩与形心主矩，组合图形的形心、形心主轴与形心主矩的计 算方法。 教 学 目 的 1、 理解平面图形几何性质（形心、静矩、惯性矩、惯性半 径、极惯性矩、惯性积、主轴等）的概念。 2、 能正确计算组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩。 重 点 和 难 点 重点：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、 主轴等概念及其计算。 难点：惯性矩与惯性积的转轴公式及主惯性矩的计算。 教学 方法 以常见的圆形、圆环、矩形、T 形、常见型钢截面的组合圆形 为主。 作业
附录A平面图形的几何性质 §A-1引言 不同受力形式下杆件的应力和变形,不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸,而且与 杆件截面的几何性质有关。当研究杆件的应力、变形,以及研究失效问题时,都要涉及到 与截面形状和尺寸有关的几何量。这些几何量包括:形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极 惯性短、惯性积、主轴等,统称为“平面图形的几何性质” 研究上述这些几何性质时,完全不考虑研究对象的物理和力学因素,作为纯几何问题 加以处理。 §A-2静矩、形心及相互关系 任意平面几何图形如图A-1所示。在其上取面积微元dA,该微元在0xy坐标系中的坐 标为x、y。定义下列积分: dA vdA (A-1) 分别称为图形对于x轴和y轴的截面一次矩或静矩, 其单位为m3。 C(A) 如果将dA视为垂直于图形平面的力,则ydA和 zdA分别为dA对于z轴和y轴的力矩;S,和S则分 别为dA对z轴和y轴之矩。图A-1图形的静矩与形心 图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于 图A-1图形的静矩与形心 图形平面的力,则形心即为合力的作用点 设xc、yc为形心坐标,则根据合力之矩定理 S=Ax 或 de de y A 这就是图形形心坐标与静矩之间的关系 根据上述定义可以看出: 1.静矩与坐标轴有关,同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静 矩为正;对另外某些坐标轴为负;对于通过形心的坐标轴,图形对其静矩等于零。 2.如果已经计算出静矩,就可以确定形心的位置:反之,如果已知形心位置,则可计 算图形的静矩。 2
2 附录 A 平面图形的几何性质 §A-1 引言 不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与 杆件截面的几何性质有关。当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到 与截面形状和尺寸有关的几何量。这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极 惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。 研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题 加以处理。 §A-2 静矩、形心及相互关系 任意平面几何图形如图 A-1 所示。在其上取面积微元 dA，该微元在 Oxy 坐标系中的坐 标为 x、y。定义下列积分： = A Sx ydA = A Sy ydA （A-1） 分别称为图形对于 x 轴和 y 轴的截面一次矩或静矩， 其单位为 3 m 。 如果将 dA 视为垂直于图形平面的力，则 ydA 和 zdA 分别为 dA 对于 z 轴和 y 轴的力矩； x S 和 y S 则分 别为 dA 对 z 轴和 y 轴之矩。图 A-1 图形的静矩与形心 图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于 图形平面的力，则形心即为合力的作用点。 设 C x 、 C y 为形心坐标，则根据合力之矩定理 = = y C x C S Ax S Ay (A-2) 或 = = = = A ydA A S y A xdA A S x x A C y A C (A-3) 这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。 根据上述定义可以看出： 1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静 矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。 2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计 算图形的静矩
实际计算中,对于简单的、规则的图形,其形心位置可以直接判断。例如矩形、正方 形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。对于组合图形,则先将其分解为若干个 简单图形(可以直接确定形心位置的图形):然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的 静矩,并求其代数和:再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。即 S,=AyaL+A, Ay=∑A Axc2+……+Asno x ∑A A ∑4 §A-3惯性炬、极惯性炬、惯性积、惯性半径 图A-1中的任意图形,以及给定的0xy坐标,定义下列积分: 1,=LydA 1,=「 分别为图形对于x轴和y轴的截面二次轴矩或惯性矩。 定义积分 rda 为图形对于点0的截面二次极矩或极惯性矩。 定义积分 (A-9) 为图形对于通过点0的一对坐标轴x、y的惯性积 定义 A 分别为图形对于x轴和y轴的惯性半径 根据上述定义可知
3 实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。例如矩形、正方 形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。对于组合图形，则先将其分解为若干个 简单图形(可以直接确定形心位置的图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的 静矩，并求其代数和；再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。即: = + + + = = + + + = = = n i y C C n Cn i Ci n i x C C n Cn i Ci S A x A x A x A x S A y A y A y A y 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 (A-4) = = = = = = = = n i i n i i Ci x C n i i n i i Ci y C A A y A S y A A x A S x 1 1 1 1 (A-5) §A-3 惯性炬、极惯性炬、惯性积、惯性半径 图 A-1 中的任意图形，以及给定的 Oxy 坐标，定义下列积分： = A I x y dA 2 (A-6) I x dA A y = 2 (A-7) 分别为图形对于 x 轴和 y 轴的截面二次轴矩或惯性矩。 定义积分 = A I P r dA 2 (A-8) 为图形对于点 O 的截面二次极矩或极惯性矩。 定义积分 = A xy I xydA (A-9) 为图形对于通过点 O 的一对坐标轴 x、y 的惯性积。 定义 A I i x x = , A I i y y = 分别为图形对于 x 轴和 y 轴的惯性半径。 根据上述定义可知：
1.惯性矩和极惯性矩恒为正:而惯性积则由于坐标轴位置的不同,可能为正,也可能为 负。三者的单位均为m4或mm4。 2因为r2=y2+x2,所以由上述定义不难得出 (A-10) 3.根据极惯性矩的定义式(A-8),以及图A-2中所示的微面积取法,不难得到圆截面对 其中心的极惯性矩为 (A-11) p (A-12) 式中,d为圆的直径;R为半径 类似地,还可以得圆环截面对于圆环中心的极惯性矩为 d (A-13) 式中,D为圆环外径;d为内径。 图A-2圆形的极惯性矩 图A-3矩形微面积的取法 4.根据惯性矩的定义式(A-6)、(A-7),注意微面积的取法(图A-3所示),不难求得矩形 对于平行其边界的轴的惯性矩: bh 根据式(A-10)、(A-11),注意到圆形对于通过其中心的任意两根轴具有相同的惯性矩 便可得到圆截面对于通过其中心的任意轴的惯性矩均为 1=7 (A-15) 对于外径为D、内径为d的圆环截面
4 1.惯性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于坐标轴位置的不同，可能为正，也可能为 负。三者的单位均为 4 m 或 4 mm 。 2.因为 2 r = 2 y + 2 x ，所以由上述定义不难得出 P I = x I + y I (A-10) 3.根据极惯性矩的定义式(A-8)，以及图 A-2 中所示的微面积取法，不难得到圆截面对 其中心的极惯性矩为 32 4 d I P = (A-11) 2 4 R I P = (A-12) 式中,d 为圆的直径；R 为半径。 类似地，还可以得圆环截面对于圆环中心的极惯性矩为 (1 ) 32 4 4 = − D I P , D d = (A-13) 式中，D 为圆环外径；d 为内径。 4.根据惯性矩的定义式(A-6)、(A-7)，注意微面积的取法(图 A-3 所示)，不难求得矩形 对于平行其边界的轴的惯性矩： 12 3 bh I x = , 12 3 hb I y = (A-14) 根据式(A-10)、(A-11)，注意到圆形对于通过其中心的任意两根轴具有相同的惯性矩， 便可得到圆截面对于通过其中心的任意轴的惯性矩均为 64 4 d I I x y = = (A-15) 对于外径为 D、内径为 d 的圆环截面, (1 ) 64 4 4 = = − D I I x y
应用上述积分,还可以计算其他各种简单图形对于给定坐标轴的惯性矩。 必须指出,对于由简单几何图形组合成的图形,为避免复杂数学运算,一般都不采用积 分的方法计算它们的惯性矩。而是利用简单图形的惯性矩计算结果以及图形对于平行轴惯性 矩之间的关系,由求和的方法求得。 sA-4惯性矩与惯性积的移轴定理 图A-4中所示之任意图形,在坐标系0xy系中,对于x、y轴的惯性矩和惯性积为 1,=「y2d ryda 另有一坐标系0xy,其中x和y分别平行于x和yo|b 轴,且二者之间的距离为a和b 所谓移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性 图A-4移轴定理 矩、惯性积之间的关系。即通过已知对一对坐标轴 的惯性矩、惯性积,求图形对另一对坐标轴的惯性矩与惯性积。 下面推证二者间的关系 根据平行轴的坐标变换 x,=x+b y 将其代人下列积分 得 I,=(x+b)dA G+ax+b)da 展开后,并利用式(A-2)、(A-3)中的定义,得
5 D d = (A-16) 应用上述积分，还可以计算其他各种简单图形对于给定坐标轴的惯性矩。 必须指出，对于由简单几何图形组合成的图形，为避免复杂数学运算，一般都不采用积 分的方法计算它们的惯性矩。而是利用简单图形的惯性矩计算结果以及图形对于平行轴惯性 矩之间的关系，由求和的方法求得。 §A-4 惯性矩与惯性积的移轴定理 图 A-4 中所示之任意图形，在坐标系 Oxy 系中，对于 x、y 轴的惯性矩和惯性积为 = A I x y dA 2 I x dA A y = 2 = A xy I xydA 另有一坐标系 Ox1y1，其中 x1和 y1 分别平行于 x 和 y 轴，且二者之间的距离为 a 和 b。 所谓移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性 矩、惯性积之间的关系。即通过已知对一对坐标轴 的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标轴的惯性矩与惯性积。 下面推证二者间的关系。 根据平行轴的坐标变换 x1 = x + b y1 = y + a 将其代人下列积分 = A I x y dA 2 1 1 , = A I y x dA 2 1 1 = A I x1y1 x1y1dA 得 I y a dA A x 2 1 ( ) = + = + A I y x b dA 2 1 ( ) = + + A I x1y1 (y a)(x b)dA 展开后,并利用式(A-2)、(A-3)中的定义，得