对于该微段而言,FN,F,M及F+aFx,Fo+df,M+aM都应看作是外 力。这个微段的虚位移可分为刚性虚位移和变形虚位移。该微段因其他各微段的变形而引起 的虚位移称为刚性虚位移,而由于该微段本身变形而引起的虚位移则称为变形虚位移。由于 该微段在上述外力作用下处于平衡状态,所有外力对于该微段的刚性虚位移所作的总虚功必 等于零。因此只需考虑外力在该微段的变形虚位移上所作的虚功,即 d(△M) 2+(Fn+dFN + m +(M+dm) 2 Fo-+(Fo+dF 略去式中高阶无穷小项,得 d(dW)=Fd(△)+M+Fd 学中 Fo+dF 图10.4 该微段的内力虚功则可由虚位移原理式(10.7)求得,即 d(Ow)+d(OW=0 则有 d(OW=-d(OW)=-FNd(An+ Ma8 Foda] 于是整个结构的内力虚功为 o=(∑(△)+∫Ao+SjFd 式中求和符号表示考虑结构中的所有杆件。若横截面上还存在扭矩,则内力虚功中应增 加∑「7d这一项。 这样,虚位移原理式(10.7)可具体表达为 ∑F=∑「Fd(△+∑M+∑∫ft+∑「do(08) 式中F是作用在结构上的原力系中的广义力,△是i点沿F作用方向的广义虚位移。此外, 在式(10.8)中规定△,d(△D),dO,a,d的符号与F,FN,M,FQ,T指向或转向一致者 为正,相反者为负
对于该微段而言， FN ，FQ ，M 及 FN + dFN ，FQ + dFQ，M + dM 都应看作是外 力。这个微段的虚位移可分为刚性虚位移和变形虚位移。该微段因其他各微段的变形而引起 的虚位移称为刚性虚位移，而由于该微段本身变形而引起的虚位移则称为变形虚位移。由于 该微段在上述外力作用下处于平衡状态，所有外力对于该微段的刚性虚位移所作的总虚功必 等于零。因此只需考虑外力在该微段的变形虚位移上所作的虚功，即 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) * * * * d M dM d M d l F dF d l FN N N + + + + + 2 ( ) 2 * * d F dF d FQ + Q + Q 略去式中高阶无穷小项，得 ( ) = ' d We * * * FN d(l) + Md + FQd 该微段的内力虚功则可由虚位移原理式(10.7)求得，即 d(We ) + d(Wi ) = 0 则有 ( ) ( ) [ ( ) ] * * * d Wi = −d We = − FN d l + Md + FQd 于是整个结构的内力虚功为 = − + + * * * W FN d( l) Md FQ d 式中求和符号表示考虑结构中的所有杆件。若横截面上还存在扭矩，则内力虚功中应增 加- * Td 这一项。 这样，虚位移原理式(10.7)可具体表达为 * * * * * ( ) Fii = FN d l + Md + FQ d + Td （10.8） 式中 Fi 是作用在结构上的原力系中的广义力， * i 是 i 点沿 Fi 作用方向的广义虚位移。此外， 在式(10.8)中规定 * * * * * i ,d(l) ,d ,d ,d 的符号与 Fi , FN , M , FQ ,T 指向或转向一致者 为正，相反者为负。 FQ FQ+dFQ 图 10.4
§103单位载荷法 单位载荷法 由虚位移原理可以得到计算结构中一点位移的单位载荷法。以图10.5a所示梁为例,梁 上任意一点K沿任意方向a的位移为△。要想求得△,可以再取一根同样的梁,只在K点 沿a方向作用一单位力,如图10.5b所示。由单位力引起的内力分别记为Fx,M,F 将梁上所有外力作用下的位移(图10.5a中虚线)作为虚位移,而将单位力看作实际载荷。由 虚位移原理式(10.8)可得 l·△=F4(△M)+JM+JF 一般情况下,求结构中一点位移的单位载荷法的计算公式为 图10.5 △=∑「F4(A)+∑∫M+∑「Fn+∑∫do (10.9) 这里需要说明以下几点 1.所求的位移及施加的单位力都是广义的。若要求某点的线位移,则应在该点沿所求位 移的方向施加单位力:若要求的是角位移,则应相应地施加单位力偶矩:若要求两点间的相 对线位移,则应在两点处同时相应地施加一对方向相反的单位力:若要求两横截面间的相对 角位移,则应在两横截面处同时相应地施加一对方向相反的单位力偶矩。广义单位力引起的 内力FN,F,M,T的量纲与外载作用下引起的FN,FQ,M,T量纲相同。 2.上式左端是单位力作功1·△的缩写,若求出的△为正,则说明单位力所作的功为正, 也就是所求的位移△与单位力同向;若求出△为负,则说明△与单位力反向。 3.对于细长杆件,剪力影响很小,第三项可以略去不计。 4.从推导过程可知,单位载荷法不限定用于线弹性问题 2、单位载荷法用于线弹单性结构 若材料是线弹性的,服从胡克定律,则有 d(△/)= EA
§10.3 单位载荷法 1、单位载荷法 由虚位移原理可以得到计算结构中一点位移的单位载荷法。以图 10.5a 所示梁为例，梁 上任意一点 K 沿任意方向 aa 的位移为△。要想求得△，可以再取一根同样的梁，只在 K 点 沿 aa 方向作用一单位力，如图 10.5b 所示。由单位力引起的内力分别记为 FN ，M ， FQ 。 将梁上所有外力作用下的位移(图 10.5a 中虚线)作为虚位移，而将单位力看作实际载荷。由 虚位移原理式(10.8)可得 • = + + l Q l l 1 FN d( l) Md F d 一般情况下，求结构中一点位移的单位载荷法的计算公式为 = FN d(l) + Md + FQ d + Td （10.9） 这里需要说明以下几点： 1.所求的位移及施加的单位力都是广义的。若要求某点的线位移，则应在该点沿所求位 移的方向施加单位力；若要求的是角位移，则应相应地施加单位力偶矩；若要求两点间的相 对线位移，则应在两点处同时相应地施加一对方向相反的单位力；若要求两横截面间的相对 角位移，则应在两横截面处同时相应地施加一对方向相反的单位力偶矩。广义单位力引起的 内力 FN ， FQ ， M ，T 的量纲与外载作用下引起的 FN ， FQ ， M ，T 量纲相同。 2.上式左端是单位力作功 1·△的缩写，若求出的△为正，则说明单位力所作的功为正， 也就是所求的位移△与单位力同向；若求出△为负，则说明△与单位力反向。 3. 对于细长杆件，剪力影响很小，第三项可以略去不计。 4. 从推导过程可知，单位载荷法不限定用于线弹性问题。 2、单位载荷法用于线弹性结构 若材料是线弹性的，服从胡克定律，则有 EA F dx d l N ( ) = 图 10.5