Le=festedt (Rep>Rea) (其中可以是复数) p-a 4e1=1 Lea1=1 p-io' (Rep>0) p+i@ 0 p+@ 2+0 Le sinot]=e sinatedt="e-mpy sinatdt= (p+2)2+o2 Lle i cosor]= p+A (p+)2+0 (把sinat和cosaf拉氏换式中的p换成p叶入即可.) 6
66 0 , (Re 1 [ ] Re ) t t pt L e p e e dt p − = = − (其中可以是复数) ( ) 1 1 [ ] , [ ] , Re 0 i t i t L e L e p p i p i − = = − + 2 2 2 2 1 1 1 1 2 [ ] ( ) 2 2 [s n ] 2 i i t i t e e i L i i p L t i p i i p p − − = = − = + + + = − 2 2 2 2 1 1 1 [cos 1 2 [ ] ( ) 2 2 2 ] i t i t e e p L p p L t i p i p p − + = = + = + + + = − ( ) 2 2 0 0 [ sin ] sin sin ( ) t t pt p t L e t e te dt e tdt p − − − − + = = = + + （把sint和cost拉氏换式中的p换成p+即可.） 2 2 [ cos ] ( ) t p L e t p − + = + +
shom1=4,e上 11 0 2 `p-0p+0' 2-0 ote-or 1 要记住！ D一0 p+ω -o §5.2拉氏变换的性质 性质1：拉氏变换是一个线性变换，即： L[f()]=F(p),[()]=F(P) L[af(t)+a:S:(t)]=aF(p)+a:F(p) 这个性质很容易从Laplace变换的定义得到，因为它只不 过是积分运算的线性性质的反映
77 2 2 1 1 1 [ ] ( 2 [ ] s ) 2 h t t e e L t L p p p − − = = = + − − − 2 2 1 1 1 [ ] ( 2 [ ] c ) 2 h t t e e L p p L t p p − + = = = + − + − §5.2 拉氏变换的性质 性质1：拉氏变换是一个线性变换，即： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 L f t F p L f t F p = = , ( ) ( ) ( ) ( ) L f t f t F p F p 1 1 2 2 1 1 2 2 + = + 这个性质很容易从Laplace变换的定义得到，因为它只不 过是积分运算的线性性质的反映. 要记住!
性质2：原函数的导数的拉氏变换 微分性质 设f()及f'(t)都满足拉氏变换存在的充分条件，Lf(t川=F(p), 则：∫f()et=f)e⑧+pft)ert=-fO+pF(p) LLf'(t)川=pF(p)-f0) 因此，对原函数f①)的微商运算就转化为对象函数Fp) 的乘法运算，而且还自动包括了f0的初值.正因为这个 特点，拉氏变换方法是求解微分方程的一种重要方法， f(u=Jf(0edt=∫eaf)=f(0e+p小f()edi =-f'(0)+plpF(p)-f(0川=p2F(p)-pf0)-f(0) Lf(t)川=p"F(p)-p"-f(0)-p"-2f(0)-
88 性质2 ：原函数的导数的拉氏变换 设f (t)及 f t ' ( ) 都满足拉氏变换存在的充分条件， L f t F p [ ( )] ( ), = 则： ' 0 0 0 ( ) ( ) ( ) (0) ( ) pt pt pt f t e dt f t e p f t e dt f pF p − − − = + = − + ' L f t pF p f [ ( )] ( ) (0) = − 因此，对原函数f(t)的微商运算就转化为对象函数F(p) 的乘法运算，而且还自动包括了f(t)的初值. 正因为这个 特点，拉氏变换方法是求解微分方程的一种重要方法. ' '' ' ' ' 0 0 ' 0 0 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) pt pt pt pt L f t f t e dt e df t f t e p f t e dt − − − − = = = + ' 2 ' = − + − = f p pF p (0) [ ( ) (0)] f p F p( ) (0) (0) − − pf f . ( ) 1 2 ' ( 1) [ ( )] ( ) (0) (0) (0) n n n n n L f t p F p p f p f f − − − = − − − − 微分性质
例1、已知4o=D4a,求4 Icosal 【解】L6ino]=o-Leos@rl=-p:, 0 +20 利用微分性质 L[cos@t]=,卫 p2+02 例2、解强迫振动方程x(t)+ox()=f(t) 【解】令x(t)=X(p吵，Lf=F(p) x()+o2x(t)=f(t) 方程两边同时作拉氏变换，则： p2X(p)-px(0)-x(0)+o2X(p)=F(p) →X(p)=Fp)+pO)+0 p2+o2
99 例1、已知 L t [sin ] 2 2 ，求 p = + L t [cos ]. 【解】 ' 2 2 L t L t p [(sin ) ] [cos ] 0 p = = − + 2 2 [cos ] p L t p = + 例2、解强迫振动方程 . 2 x( ) ( ) ( ). t x t f t + = 【解】令 L x t X p L f t F p [ ( )] ( ), [ ( )] ( ) = = . 2 x( ) ( ) ( ) t x t f t + = 方程两边同时作拉氏变换，则： . 2 2 p X p px x X p F p ( ) (0) (0) ( ) ( ) − − + = . 2 2 ( ) (0) (0) ( ) . F p px x X p p + + = + 利用微分性质
性质3：若f1=Fp),则可f)=F(p) 积分性质 【证明】设∫if)t=g)则g()=f) Lg(t)川=LLf(t)川=F(p) LI3 (t)]=pG(p)-3(0)=pG(p)-0=pG(p) →F(p)=pG(p) 一Gp)=LFpj fd=4(-G(p)=1F(p) 10 4D
1010 性质3 ：若 L f t F p [ ( )] ( ) = ，则 0 1 L f t dt F p [ ( ) ] ( ) p = 0 ( ) ( ) t f t dt g t = ' 【证明】 设 则 g t f t ( ) ( ) = ' L g t L f t F p [ ( )] [ ( )] ( ) = = ' L g t pG p g pG p pG p [ ( )] ( ) (0) ( ) 0 ( ) = − = − = F p pG p ( ) ( ) = 1 G p F p ( ) ( ) p = 0 1 L f t dt L g t G p F p [ ( ) ] [ ( )] ( ) ( ) p = = = 积分性质