(4)do+ (a, cos nx + b, sin nx)2n=它是由三角函数列（也称为三角函数系）1cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,..., cos nx, sin nx,... (5)所产生的一般形式的三角级数容易验证，若三角级数（4）收敛，则它的和一定是一个以2伪为周期的函数关于三角函数（4）的收敛性有如下定理：若级数定理15. 1Lal +Z(l a, I + b, )2收敛，则级数（4）在整个数轴上绝对收敛且一致收敛
( cos sin ) 2 1 0 a nx b nx a n n + n + = （4） 它是由三角函数列（也称为三角函数系） 1 cos ,sin ,cos 2 ,sin 2 ,.,cos ,sin ,. (5) x x x x nx nx 所产生的一般形式的三角级数。 容易验证，若三角级数（4）收敛，则它的和一定 是一个以2 为周期的函数。 关于三角函数（4）的收敛性有如下定理： (| | | |) 2 | | 1 0 n n an b a + + = 收敛，则级数（4） 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛。 定理15.1 若级数
证 对任何实数x，由于I an cos nx +b, sin nx < an + b, l应用魏尔斯特拉斯M判别法（定理13.5）可推得本定理为了进一步研究三角级数（4）的收敛性，我们探讨三角函数系（5）具有哪些特性首先容易看出，三角函数系（5）中所有的函数具有共同的周期2元其次，在三角函数系（5）中，任何两个不相同的函数的乘积在[-元,元]上的积分都等于零，即
其次，在三角函数系（5）中，任何两个不相同 的函数的乘积在 上的积分都等于零，即 证 对任何实数x，由于 | cos sin | | | an nx +bn nx an +bn 应用魏尔斯特拉斯M判别法(定理13.5）可推得本定理 为了进一步研究三角级数（4）的收敛性，我 们探讨三角函数系（5）具有哪些特性。 首先容易看出，三角函数系（5）中所有的函数 具有共同的周期2 [−, ]
元sin nxdx = 0cos nxdx =S(6)元1元cos mxcos nxdx = O(m # n)一元元sin mxsin nxdx = 0(m ± n),(7)-元cos mxsin nxdx = 0元而（5）中任何一个函数的平方在[-元,元]上的积分都不等于零
cos sin 0 sin sin 0( ), cos cos 0( ), cos sin 0 = = = = = − − − − − m x nxdx m x nxdx m n m x nxdx m n nxdx nxdx （6） （7） 而（5）中任何一个函数的平方在 [−, ] 上的积分都不等于零
cos’nxdx = [" sin’nxdx = 元 (8)即一元1["1' dx = 2元-元通常把两个函数 Φ与在[a,b]上可积,[. p(x)d(x) = 0且一的函数β与称为在「a,b]上是正交的，由此我们说三角函数系（5）在[一元,元]上具有正交性或说（5）是正交函数系
即 2 2 cos sin (8) nxdx nxdx − − = = 1 2 2 = − dx 通常把两个函数 与 在[a,b]上可积， ( ) ( ) = 0 b a 且 x x 的函数 与 称为在 [a,b]上是正交的，由此 我们说三角函数系（5）在 [−, ] 上具有正交性， 或说（5）是正交函数系
二以2元为周期的函数的傅里叶级数定理15.2若在整个数轴上(t) = % + Z(a, cos nx + b, sin nx)(9)2n=1且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式a, - ", () os mxdx, ,1,...(10a)元b, - - " (x) sin nxdx, = ,1,...(10b)元
二 以 2 为周期的函数的傅里叶级数 定理15.2 若在整个数轴上 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a f x n n n = = + + （9） 且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式： 1 ( )cos , 0,1, 2,., 1 ( )sin , 0,1, 2,., n n a f x nxdx n b f x nxdx n − − = = = = （10a) (10b)