上的积分和,于是当T→0 时，上式左边趋于△S;而右边趋于JJ /1+ f(x,y)+ f;(x,y) dxdy.这就得D到曲面S的面积计算公式：AS = [/ /1+ f'(x,y)+ f,;(x, y) dxdy,(1)或另一形式：1AS =((2)dxdyIcos(n,z) I前页后页返回
前页 后页 返回 上的积分和, 于是当 T → 0 时, 上式左边趋于 S; 而右边趋于 2 2 1 ( , ) ( , ) d d . x y D + + f x y f x y x y 这就得 2 2 1 ( , ) ( , ) d d , (1) x y D = + + S f x y f x y x y 1 d d . (2) | cos( , ) | D S x y n z = 或另一形式: 到曲面 S 的面积计算公式:
例1求圆锥 =x2+2在圆柱体 x2+2≤x内那一部分的面积解据曲面面积公式AS = [J /1+z, + z,dxdy.D+y?<曲面方程I其中D是x2+y≤x,即x-2xy是z= /x + y°.故 zx =/x*+JVx+y后页返回前页
前页 后页 返回 解 据曲面面积公式, = + + 2 2 1 d d , x y D S z z x y 其中D 是 2 2 2 2 1 1 , , 2 4 x y x x y + − + 即 曲面方程 2 2 z x y = + 2 2 例1 求圆锥 在圆柱体 x y x + 内 那一部分的面积. 2 2 2 2 , , x y x y z z x y x y = = + + 2 2 是 z x y = + . 故
/1+z+z, = /2,AS =JJ V2dxdy = V2AD=2元4D*参数曲面的面积公式若空间曲面S由参数方程(3)x = x(u,v), y= y(u,v),z =z(u,v),(u,v) eD表示，其中x(u,v),(u,v),z(u,v)在D上具有连续的一阶偏导数，且2a(y,z))*+(a(z,x)a(x,y)±0,++(a(u,v)a(u,v)a(u,v))后页返回前页
前页 后页 返回 2 2d d 2 π. 4 D = = = S x y D x x u v y y u v z z u v u v D = = = ( , ), ( , ), ( , ),( , ) (3) 表示，其中 x u v y u v z u v ( , ), ( , ), ( , ) 在D上具有连续的 一阶偏导数,且 2 2 1 2, x y + + = z z 参数曲面的面积公式 若空间曲面 S由参数方程 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0, ( , ) ( , ) ( , ) y z z x x y u v u v u v + +
则曲面S在点（x,,z）的法线方向为a(y,z) (z,x) a(x, y)n=(u,v)'a(u,v)'a(u,v)记(x,y)(0,2)0(z,x)W (u,v) :++(a(u,v)(a(u,v)a(u,v)= /(x + y +z)(x, +y, +z,)-(xux, + yuy, +zuz,)n与z轴夹角的余弦则为后页返回前页
前页 后页 返回 则曲面S在点 ( , , ) x y z 的法线方向为 ( , ) ( , ) ( , ) , , . ( , ) ( , ) ( , ) y z z x x y n u v u v u v = 记 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y z x y z W u v u v u v u v = + + 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) , u u u v v v u v u v u v = + + + + − + + x y z x y z x x y y z z n 与 z 轴夹角的余弦则为
a(x,y)(W(u(u,v))cos(n,z)a(u,v)1a(x,y)(4)a(u,V) EG-F2其中E=x,+yi+zaF =x,x, +yuy,+zuz,,G=x, +y,+z.o(x,y)当≠0 时,对公式(2)作变换a(u,v)前页后页返回
前页 后页 返回 其中 2 ( , ) 1 , (4) ( , ) x y u v EG F = − ( ) ( , ) 1 cos( , ) ( , ) ( , ) x y n z W u v u v − = 2 2 2 , E x y z = + + u u u , F x x y y z z = + + u v u v u v 2 2 2 . G x y z = + + v v v ( , ) 0 ( , ) x y u v 当 时, 对公式(2)作变换: