§23,1平面向量基本定理 教学目的: (1)了解平面向量基本定理 (2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解 决实际问题的重要思想方法 (3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达 教学重点:平面向量基本定理 教学难点:平面向量基本定理的理解与应用 授课类型:新授课 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程 复习引入: 1.实数与向量的积:实数λ与向量a的积是一个向量,记作:Aa (1)|d|=|‖di;(2)λ>0时λa与a方向相同;λ<0时λa与a方向相反;A=0时 2.运算定律 结合律:λ(μa)=(入)a;分配律:(+)a=a+μa,(a+b)=Aa+b 3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使 b=λa 二、讲解新课 平面向量基本定理:如果e,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面 内的任一向量a,有且只有一对实数1,λ2使d=A1e1+λ2e2 探究 (1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 (2)基底不惟一,关键是不共线 (3)由定理可将任一向量a在给出基底e、e2的条件下进行分解 (4)基底给定时,分解形式惟一λ,λ2是被a,e1,e2唯一确定的数量 三、讲解范例
§2.3.1 平面向量基本定理 教学目的： （1）了解平面向量基本定理； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解 决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、 复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作：λ a （1）|λ a |=|λ|| a |；（2）λ>0 时λ a 与 a 方向相同；λ<0 时λ a 与 a 方向相反；λ=0 时λ a = 0 2．运算定律 结合律：λ(μ a )=(λμ) a ；分配律：(λ+μ) a =λ a +μ a ， λ( a + b )=λ a +λ b 3. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 b =λ a . 二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果 1 e ， 2 e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 内的任一向量 a ，有且只有一对实数λ1，λ2 使 a =λ1 1 e +λ2 2 e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2 是被 a ， 1 e ， 2 e 唯一确定的数量 三、讲解范例：
例1已知向量e1,e2求作向量-2.5e1+3e2 例2如图□ABCD的两条对角线交于点M,且AB=a, AD=6,用a,分表示MA,MB,MC和MD 例3已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是 任意一点,求证:OA+OB+OC+OD=4 例4(1)如图,OA,OB不共线,AP=AB(teR)用OA, OB表示OP (2)设OA、OB不共线,点P在O、A、B所在的平面内,且 OP=(1-1)OA+tOB(∈R)求证:A、B、P三点共线 例5已知a2e1-3e,b=2e1+3e,其中e,e不共线,向量c=2e-9e,问是否存在这样的 实数A、,使d=Aa+b与c共线 四、课堂练习 1设e、e是同一平面内的两个向量,则有() A.e1、e2一定平行 Be1、e2的模相等 C同一平面内的任一向量a都有a=e1+pe2(2、p∈R) D若e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a=e1+le2(A、u∈R) 2已知矢量a=e1-2e,b=2e1+e2,其中e、e不共线,则a+b与c=6e-2e的关系 A.不共线 B共线C相等 D.无法确定 3已知向量e、e不共线,实数x、y满足(3x4y)e+(2x-3y)e2=6en+3e,则x-y的值等于() C.0 D.2 4已知a、b不共线,且c=1a+λ2b(A1,A2∈R),若c与b共线,则A= 5已知A1>0,A2>0,e1、e是一组基底,且a=Ae+2e2,则a与e (填 共线或不共线) 五、小结(略) 六、课后作业(略) 七、板书设计(略) 八、课后记:
例 1 已知向量 1 e ， 2 e 求作向量−2.5 1 e +3 2 e . 例 2 如图 ABCD 的两条对角线交于点 M，且 AB = a ， AD= b ，用 a ，b 表示 MA， MB ， MC 和 MD 例 3 已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E，O 是 任意一点，求证： OA + OB + OC + OD =4 OE 例 4（1）如图， OA，OB 不共线， AP =t AB (tR)用 OA ， OB 表示 OP . （2）设 OA、OB 不共线，点 P 在 O、A、B 所在的平面内，且 OP t OA tOB t R = − + (1 ) ( ) .求证：A、B、P 三点共线. 例 5 已知 a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中 e1，e2 不共线，向量 c=2e1-9e2，问是否存在这样的 实数 、 ,使d a b = + 与 c 共线. 四、课堂练习： 1.设 e1、e2 是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e1、e2 一定平行 B.e1、e2 的模相等 C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若 e1、e2 不共线，则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2.已知矢量 a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中 e1、e2 不共线，则 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系 A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定 3.已知向量 e1、e2 不共线，实数 x、y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则 x-y 的值等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.2 4.已知 a、b 不共线，且 c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若 c 与 b 共线，则 λ1= . 5.已知 λ1＞0，λ2＞0，e1、e2 是一组基底，且 a =λ1e1+λ2e2，则 a 与 e1_____，a 与 e2_________(填 共线或不共线). 五、小结（略） 六、课后作业（略）： 七、板书设计（略） 八、课后记：