三角形法则(“首尾相接,首尾连”) 如图,已知向量a、b在平面内任取一点A,作AB=a,BC 则向量AC叫做 a与b的和,记作a+b,即a+b=AB+BC=AC,规定:a+0-=0+a b a+b 探究:(1)两相向量的和仍是一个向量 (2)当向量a与b不共线时,a+b的方向不同向,且a+baH+b (3)当a与b同向时,则a+b、a、b同向, 且a+b=aH+b,当a与b反向时,若aPb, 则a+b的方向与a相同,且a+b|=|aH|b|:若 a|<|b|,则a+b的方向与b相同,且a+b=|b|-|al (4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到 n个向量连加 3.例一、已知向量a、b,求作向量a+b 作法:在平面内取一点,作OA=aAB=b,则OB=a+b 4.加法的交换律和平行四边形法则 问题:上题中b+a的结果与a+b是否相同?验证结果相同 从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应) 2)向量加法的交摸律:a+b=b+a 5.向量加法的结合律:(a+b)+C=a+(b+c) a+b
O A B a a a b b b ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”） 如图，已知向量 a、ｂ.在平面内任取一点 A ，作 AB ＝a， BC ＝ｂ，则向量 AC 叫做 a 与ｂ的和，记作 a＋ｂ，即 a＋ｂ = AB + BC = AC ，规定： a + 0-= 0 + a 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量 a 与 b 不共线时， a + b 的方向不同向，且| a + b |<| a |+| b |； （3）当 a 与 b 同向时，则 a + b 、a 、b 同向， 且| a + b |=| a |+| b |，当 a 与 b 反向时，若| a |>| b |， 则 a + b 的方向与 a 相同，且| a + b |=| a |-| b |；若 | a |<| b |，则 a + b 的方向与 b 相同，且| a +b|=| b |-| a |. （4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到 n 个向量连加 ３．例一、已知向量 a 、b ，求作向量 a + b 作法：在平面内取一点，作 OA = a AB = b ，则 OB = a + b . ４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中 b + a 的结果与 a + b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应） ２）向量加法的交换律： a + b =b + a ５．向量加法的结合律：( a + b ) + c = a + ( b + c ) a A B C a+b a+b a a b b a ｂ ｂ ａ ＋ ｂ a
证:如图:使AB=a,BC=b,CD=c W(a+b)+c=AC +CD=AD, a+(b+c)=AB+BD= AD ∴(a+b)+c=a+(b+c) 从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行 三、应用举例 例二(P94-95)略 练习:P95 四、小结 1、向量加法的几何意义 交换律和结合律 3、注意:|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当方向相同时取等号 五、课后作业: P103第2、3题 六、板书设计(略) 七、备用习题 1、一艘船从A点出发以2√3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行的 速度的大小为4m/h,求水流的速度 2、一艘船距对岸4√3km,以2√3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,到达对岸时 船的实际航程为8km,求河水的流速 3、一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为v2,船 的实际航行的速度的大小为4km/h,方向与水流间的夹角是60°,求v1和v2 4、一艘船以5kmh的速度在行驶,同时河水的流速为2kmh,则船的实际航行速度大小 最大是 km/h,最小是 km/h 5、已知两个力F1,F2的夹角是直角,且已知它们的合力F与F1的夹角是60°,|F=10N 求F1和F2的大小 6、用向量加法证明:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
证：如图：使 AB = a ， BC = b ， CD = c 则( a + b ) + c = AC +CD = AD ， a + ( b + c ) = AB+ BD = AD ∴( a + b ) + c = a + ( b + c ) 从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例： 例二（P94—95）略 练习：P95 四、小结 1、向量加法的几何意义； ２、交换律和结合律； ３、注意：| a + b | ≤ | a | + | b |，当且仅当方向相同时取等号. 五、课后作业： P103 第２、３题 六、板书设计（略） 七、备用习题 1、一艘船从 A 点出发以 2 3km/ h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的 速度的大小为 4km/ h ，求水流的速度. 2、一艘船距对岸 4 3km ，以 2 3km/ h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时， 船的实际航程为 8km，求河水的流速. 3、一艘船从 A 点出发以 1 v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为 2 v ，船 的实际航行的速度的大小为 4km/ h ，方向与水流间的夹角是 60 ，求 1 v 和 2 v . 4、一艘船以 5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为 2km/h，则船的实际航行速度大小 最大是 km/h，最小是 km/h ５、已知两个力 F1，F2 的夹角是直角，且已知它们的合力 F 与 F1 的夹角是 60 ，|F|=10N 求 F1 和 F2 的大小. ６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
第3时 §2.2.2向量的减算灰其几何宽义 教学目标 了解相反向量的概念 2.掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义 3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物之间可以相互转 化的辩证思想 教学重点:向量减法的概念和向量减法的作图法 教学难点:减法运算时方向的确定 学法:减法运算是加法运算的逆运算,学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运 算掌握向量的减法运算:并利用三角形做出减向量 教具:多媒体或实物投影仪,尺规 授课类型:新授课 教学思路: 、复习:向量加法的法则:三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律 例:在四边形中,CB+BA+B fi: CB+BA+BA=CB+BA+AD=CD 、提出课题:向量的减法 1.用“相反向量”定义向量的减法 (1)“相反向量”的定义:与a长度相同、方向相反的向量记作-a (2)规定:零向量的相反向量仍是零向量-(-a)=a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量a+(-a)=0 如果a、b互为相反向量,则a=-b,b=-a,a+b=0 (3)向量减法的定义:向量a加上的b相反向量,叫做a与b的差 即:a-b=a+(-b)求两个向量差的运算叫做向量的减法 2.用加法的逆运算定义向量的减法 向量的减法是向量加法的逆运算 若b+x=a,则x叫做a与b的差,记作a-b 求作差向量:已知向量a、b,求作向量 ∵(a-b)+b=a+(-b)+b=a+0=a 作法:在平面内取一点O B
第 3 课时 §2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 教学目标： 1. 了解相反向量的概念； 2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转 化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运 算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律： 例：在四边形中， CB + BA + BA = . 解： CB + BA + BA = CB + BA + AD = CD 二、提出课题：向量的减法 1． 用“相反向量”定义向量的减法 （1） “相反向量”的定义：与 a 长度相同、方向相反的向量.记作 −a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.−(−a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (−a) = 0 如果 a、b 互为相反向量，则 a = −b， b = −a， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量 a 加上的 b 相反向量，叫做 a 与 b 的差. 即：a − b = a + (−b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若 b + x = a，则 x 叫做 a 与 b 的差，记作 a − b 3． 求作差向量：已知向量 a、b，求作向量 ∵(a−b) + b = a + (−b) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点 O， A B D C O a b B a b a−b
作OA=a,AB=b 则BA=a-b 即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 注意:1°AB表示a-b强调:差向量“箭头”指向被减数 29用“相反向量”定义法作差向量,a-b=a+(-b) 显然,此法作图较繁,但最后作图可统 B 4.探究: 1)如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量,那么所得向量是b-a B A 2)若a∥b,如何作出a-b? 三、例题 例一、(P97例三)已知向量a、b、c、d,求作向量a-b、cd 解:在平面上取一点O,作O4=a,OB=b,OC=c,OD=d, 作BA,DC,则BA=ab,DC=cd B B
作 OA = a， AB = b 则 BA = a − b 即 a − b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量. 注意：1 AB 表示 a − b.强调：差向量“箭头”指向被减数 2用“相反向量”定义法作差向量，a − b = a + (−b) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一. 4． 探究： １）如果从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量，那么所得向量是 b − a. ２）若 a∥b， 如何作出 a − b ？ 三、例题： 例一、（P９７ 例三）已知向量 a、b、c、d，求作向量 a−b、c−d. 解：在平面上取一点 O，作 OA = a， OB = b， OC = c， OD = d， 作 BA ， DC ， 则 BA = a−b， DC = c−d O A B a B’ b −b b B a+ (−b) a b A B D C A B C b a d c D O a−b A A B B B’ O a a−b a b b O A O B a−b a−b A B O −b
例二、平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b, 用a、b表示向量AC、DB 解:由平行四边形法则得: AC=a+b, DB= AB-AD=a-b 变式一:当a,b满足什么条件时,a+b与a-b垂直?(l=|bl 变式二:当a,b满足什么条件时,a+b=|a-b?(a,b互相垂直) 变式三:a+b与a-b可能是相当向量吗?(不可能,∵□对角线方向不同) 练习:P98 四、小结:向量减法的定义、作图法 五、作业:P103第4、5题 六、板书设计(略) 七、备用习题 1在△ABC中,BC=a,CA=b,则AB等于( B-a+(-b) C a-b Db-a 2O为平行四边形ABCD平面上的点,设OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,则 Aa+b+c+d=0 B a-b+c-d=0 C a+b-c-d=0 D a-b-c+d=0 3.如图,在四边形ABCD中,根据图示填空 a+b+e-d= 4、如图所示,O是四边形ABCD内任一点,试根据图中给出的向量,确定a、b、c、 d的方向(用箭头表示),使a+b=AB,cd=DC,并画出bc和a+d 第3题 2.3平面向量韵本定裏坐标乏乖 第4时
例二、平行四边形 ABCD 中， AB = a， AD = b， 用 a、b 表示向量 AC 、 DB . 解：由平行四边形法则得： AC = a + b， DB = AB − AD = a−b 变式一：当 a， b 满足什么条件时，a+b 与 a−b 垂直？（|a| = |b|） 变式二：当 a， b 满足什么条件时，|a+b| = |a−b|？（a， b 互相垂直） 变式三：a+b 与 a−b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同） 练习：Ｐ98 四、小结：向量减法的定义、作图法| 五、作业：P103 第 4、５题 六、板书设计（略） 七、备用习题： 1.在△ABC 中， BC =a， CA=b，则 AB 等于( ) A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a 2.O 为平行四边形 ABCD 平面上的点，设 OA =a， OB =b， OC =c， OD =d，则 A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 ３.如图，在四边形 ABCD 中，根据图示填空： a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= . ４、如图所示，O 是四边形 ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定 a、b、c、 d 的方向（用箭头表示），使 a+b= AB ，c-d= DC ，并画出 b-c 和 a+d. 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 第 4 课时 第３题