4、排队论问题的求解 ■■■ CHiErI ■■■国■ (2)系统状态的概率 在时刻t系统状态取值为n的概率记为Pn(),求解 P(t)所满足方程的解,称为瞬态(过度状态)解。 彐 如果mP()=Pn,则称为稳态(或统计平衡状 t→∞ 态)的解。实际中多数问题都是属于稳态的情况,但 t→>∞是指过某一段时间以后就有P(t)→>P。 息瞿大学 18 2021年2月3日
18 2021年2月3日 4、排队论问题的求解 （2）系统状态的概率 如果 n n t P t P → lim ( )= ，则称为稳态(或统计平衡状 态)的解。实际中多数问题都是属于稳态的情况，但 t → 是指过某一段时间以后就有 n Pn P (t) → 。 在时刻t 系统状态取值为n 的概率记为 P (t) n ，求解 P (t) n 所满足方程的解，称为瞬态(过度状态)解
■■■ CHiErI 二,到达时间间隔和服务时同的分布 ■■■■ 1、 Poisson分布 设N()表示在时间段[0,1)内到达的顾客数,Pn(t1,2) 表示在时间段[t,t2)(2>1)内有n(C0)个顾客到达的概 率,即P(12)=PN(t2)N(4)=n},当Pn(1212)满足 如下三个条件时,则称顾客的到达形成 Poisson流: (1)无后效性:在不相交的时间区间内顾客到达数 是相互独立的,即在时间段[1△内到达k个顾客的 概率与时刻t以前的到达多少顾客无关。 息瞿大学 19 2021年2月3日
19 2021年2月3日 二、到达时间间隔和服务时间的分布 设 N(t) 表示在时间段[0,t) 内到达的顾客数， ( , ) 1 2 P t t n 表示在时间段[ , ) ( ) 1 2 2 1 t t t t 内 有 n( 0) 个顾客到达的概 率，即 ( , ) { ( ) ( ) } 1 2 2 1 P t t P N t N t n n = − = ， 当 ( , ) 1 2 P t t n 满 足 如下三个条件时，则称顾客的到达形成 Poisson 流： （1）无后效性：在不相交的时间区间内顾客到达数 是相互独立的，即在时间段[t,t + t]内到达 k 个顾客的 概率与时刻t 以前的到达多少顾客无关。 1、Poisson分布
■■■ CHiErI 1、Pois9on分布 ■■■■■■ (2)平稳性:对于充分小的M,在时间间隔[,t+△ 内有1个顾客的概率只与长度A有关,而与时刻t无关, 而且P{(t+△A)=nA+0(△M),其中>0称为概率强 度,即表示单位时间内有一个顾客到达的概率。 (3)普通性:对于充分小的,在[t,t+△内有2个 或2个以上顾客的概率极小,即∑P(+△)=0△) n=2 息瞿大学 2021年2月3日
20 2021年2月3日 1、Poisson分布 （2）平稳性：对于充分小的 t ，在时间间隔[t,t + t] 内有 1 个顾客的概率只与长度t 有关，而与时刻t 无关， 而且 ( , ) ( ) 1 P t t + t = t + o t ，其中 0 称为概率强 度，即表示单位时间内有一个顾客到达的概率。 （3）普通性：对于充分小的 t ，在[t,t + t]内有 2 个 或 2 个以上顾客的概率极小，即 ( , ) ( ) 2 P t t t o t n n + = =
■■■ CHiErI Poisson分布 ■■■■■ 系统状态为n的概率分布: 如果取时间段的初始时间为t=0,则可记P(0,0)=P2(t), 在[t,t+△)内,由于 ∑P2(t+△)=P(t+△)+P(t+△)+∑P(+△)=1 n=2 故在[,+△)内没有顾客到达的概率为 P(+△)=1-P(1+△)-∑P(+△)=1-△+△ 息瞿大学 21 2021年2月3日
21 2021年2月3日 1、Poisson分布 系统状态为n的概率分布: 如果取时间段的初始时间为 t = 0 ，则可记 P (0,t) P (t) n = n ， 在[t,t + t) 内，由于 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 0 1 0 + = + + + + + = = = n n n n P t t t P t t t P t t t P t t t 故 在[t,t + t) 内没有顾客到达的概率为 ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1 ( ) 2 0 1 P t t t P t t t P t t t t o t n + = − + − n + = − + =