础导出的。 二、质量力的势函数 将(2-19)式中三个分式分别乘以dx,d,d,并相加有 ++在黑+零+是-0 因为中黑+买+是士，所以上式即为 dp=p(fdr+fdy+fd止) (2-21) 此式即为欧拉平衡方程式的综合表达式，又称压强微分公式。它表明当点的坐标增量为 dr,dy,d:时，相应的流体静压强增加dp。静压强的增量决定于质量力。对式(2-21)积分即 可得压强P。 若将式(219)中的三个分方程式分别对坐标交错求导，得 可j, 可_可 即 rou-0 由此可知上式是矢量∫为有势的充要条件，则矢量∫为有势，存在一个势函数W=W依，y, ∫与W有下列关系 (2-22) 则(2-21)的右端 才能成为坐标函数的全微分 所以(2-21)写成 6
6 础导出的。 二、质量力的势函数 将（2-19）式中三个分式分别乘以 dx，dy，dz，并相加有 1 d d d d d d 0 x y z p p p f x f y f z x y z x y z + + − + + = 因为 d d d d p p p p x y z x y z = + + ，所以上式即为 d d d d x y z p f x f y f z = + + ( ) （2-21） 此式即为欧拉平衡方程式的综合表达式，又称压强微分公式。它表明当点的坐标增量为 dx，dy，dz 时，相应的流体静压强增加 dp。静压强的增量决定于质量力。对式(2-21)积分即 可得压强 p。 若将式（2-19）中的三个分方程式分别对坐标交错求导，得 = = = z f x f y f z f x f y f z x y z x y 即 rotf=0 由此可知上式是矢量 f 为有势的充要条件，则矢量 f 为有势，存在一个势函数 W=W(x,y,z)， f 与 W 有下列关系 z W f y W f x W f x y z = − = − = − , , （2-22） 则（2-21）的右端 d d d d d d d x y z W W W f x f y f z x y z W x y z + + = − + + = − （ ) 才能成为坐标函数的全微分。 所以（2-21）写成
dp =-pdW (2-23) 我们称满足上式的坐标函数W=Wxy为质量力的势函数，符合上面关系的质量力则称 为有势的质量力。 质量力的势函数通常可以根据平衡流体所受的单位质量分力用积分方法确定。 三、等压面微分方程式， 等压面：流体中压强相等的各点所组成的平面叫等压面，等压面上 P-C p-0 (221)式可得等压面的微分方程式 fdr+厂y+fd正=0 (2-240 等压面具有下面的三个性质： 1.等压面也是等势面： 由(2-23)式可见：dp-0时 dw=0 W=const 所以等压面也是等势面。 2.等压面与单位质量力矢量垂直。 由(223)可知，因为：人，是单位质量的三个投影，d,d，止是等压面上任意 线段ds的三个投影，于是(2-24)式可写成 f.ds=0 (2-24) 两矢量点积为零，说明两矢量相互垂直，山是等压面上任意线段，因而等压面与单位质 量力必相互垂直。 3.两种不相混合平衡液体的交界面必然是等势面。 证明：采用反证法 A
7 d d p W = − （2-23） 我们称满足上式的坐标函数 W=W(x,y,z)为质量力的势函数，符合上面关系的质量力则称 为有势的质量力。 质量力的势函数通常可以根据平衡流体所受的单位质量分力用积分方法确定。 三、等压面微分方程式， 等压面：流体中压强相等的各点所组成的平面叫等压面，等压面上 p=C dp=0 由(2-21)式可得等压面的微分方程式 f xdx + f ydy + f zdz = 0 (2-24) 等压面具有下面的三个性质： 1．等压面也是等势面。 由（2-23）式可见：dp=0 时 W const W = d = 0 所以等压面也是等势面。 2．等压面与单位质量力矢量垂直。 由（2-23）可知，因为： x y z f , f , f 是单位质量的三个投影，dx，dy，dz 是等压面上任意 线段 ds 的三个投影,于是（2-24）式可写成 f ds = 0 （2-24’） 两矢量点积为零，说明两矢量相互垂直， ds 是等压面上任意线段，因而等压面与单位质 量力必相互垂直。 3．两种不相混合平衡液体的交界面必然是等势面。 证明：采用反证法
2 图2-5两种不相混合的流体的交界面 如图2-5所示，两交界面a-a不为等压面，则 dp=pdw dp padw 因为P1,P,这种等式在dp≠0，dW≠0的情况下是不可能同时成立的，只有dp=0,dW=0 时，才同时成立。所以aa面必为等压面。 第三节重力场中的平衡流体 一、不可压缩流体的静压强公式 工程中经常遇到的是，作用在流体上的质量力只有重力的情况。如图26所示， ,自由面 图2-6重力场中的液体静压强分布 在迪卡尔坐标系下，单位质量力的分力为 f=0,f=0,f.=-g 将其代入欧拉平衡的综合表达式(2-21)得 dp=-Pgd止 (2-25) 8
8 图 2-5 两种不相混合的流体的交界面 如图 2-5 所示，两交界面 a-a 不为等压面，则 = = p W p W d d d d 2 1 因为ρ1 ≠ρ2，这种等式在 dp≠0，dW≠0 的情况下是不可能同时成立的，只有 dp=0，dW=0 时，才同时成立。所以 a-a 面必为等压面。 第三节 重力场中的平衡流体 一、不可压缩流体的静压强公式 工程中经常遇到的是，作用在流体上的质量力只有重力的情况。如图 2-6 所示， 图 2-6 重力场中的液体静压强分布 在迪卡尔坐标系下，单位质量力的分力为 f x = 0, f y = 0, f z = −g 将其代入欧拉平衡的综合表达式（2-21）得 dp = −gdz （2-25） 2 1 a h f a 2 1 a h f a 2 1 x 自由面 z h p0 p x 自由面 z h p0 p
对于连续、均质、不可压缩流体，对式(2-25)积分可得 p+P=C 上式以可写成 (2-26) 若在静止流体中任取1、2、两点，如图2-7所示，则上式可写成 名 h 图2-7重力场中液体的两点静压强 (2-27) 此式即为重力场中连续、均质、不可压缩流体的静压强基本方程式。 如果式(2-26)中的积分常数采用平衡流体自由表面上的边界条件：：=0，P=来确 定，则有 将其变形为 (2-28） 此式即为不可压缩流体的静压强分布规律。 9
9 对于连续、均质、不可压缩流体，对式（2-25）积分可得 p + gz =C1 上式以可写成 C g p z + = （2-26） 若在静止流体中任取 1、2、两点，如图 2-7 所示，则上式可写成 图 2-7 重力场中液体的两点静压强 g p z g p z 2 2 1 1 + = + （2-27） 此式即为重力场中连续、均质、不可压缩流体的静压强基本方程式。 如果式（2-26）中的积分常数采用平衡流体自由表面上的边界条件： 0 0 z = z , p = p 来确 定，则有 g p z g p z 0 + = 0 + 将其变形为 p = p0 + gh （2-28） 此式即为不可压缩流体的静压强分布规律。 x z 2 h 0 p p2 1 p h1 x z 2 h 0 p p2 1 p h1
二、静压强公式的意义 1.物理意义 图2-8闭口测压管 如图2-8所示，在静止流体铅直坐标为：的A点处连接一个顶部抽成完全真空的封闭玻 璃测压管，由于A点具有一定的压强，故p点测压管中流体会上长一定的高度，对于连续、 均质平衡流体中的A、B两点列静压强基本公式，可得 +=:++0 所以 6=2 (2-29) pg 由此可知，：代表单位重力流体的位置势能，而尽代表单位重力流体的压强势能，位置 势能与压强势能的和为单位重量流体的总势能，因此流体静力学基本方程式的物理意义是： 在重力作用下的连续、均质、不可压缩的静止流体中，各点的单位重量流体的总势能保持不 变，但位置势能和压强势能可以相互转换 2.几何意义 从方程中各项的量纲来说，均为长度单位，表示单位重力的流体离某处的距离或高度。 :代表流体质点所在位置距离基准面的高度，称位置水头：P代表流体内某点沿闭口测压管 上长的液柱高度，称压强水头。所以式(227)表明：在连续均质的流体中，任意一点的静 水头（位置水头与压强水头之和）为定值。图29中用封闭的完全真空测压管测量的静水头 线A-A为水平线。即连续、均质、平衡流体中的静水头线为一水平线。 pg
10 二、静压强公式的意义 1．物理意义 图 2-8 闭口测压管 如图 2-8 所示，在静止流体铅直坐标为 z 的 A 点处连接一个顶部抽成完全真空的封闭玻 璃测压管，由于 A 点具有一定的压强，故 p 点测压管中流体会上长一定的高度 hp，对于连续、 均质平衡流体中的 A、B 两点列静压强基本公式，可得 + = z + hp + 0 g p z 所以 g p hp = （2-29） 由此可知，z 代表单位重力流体的位置势能，而 g p 代表单位重力流体的压强势能。位置 势能与压强势能的和为单位重量流体的总势能，因此流体静力学基本方程式的物理意义是： 在重力作用下的连续、均质、不可压缩的静止流体中，各点的单位重量流体的总势能保持不 变，但位置势能和压强势能可以相互转换。 2．几何意义 从方程中各项的量纲来说，均为长度单位，表示单位重力的流体离某处的距离或高度。 z 代表流体质点所在位置距离基准面的高度，称位置水头； g p 代表流体内某点沿闭口测压管 上长的液柱高度，称压强水头。所以式（2-27）表明：在连续均质的流体中，任意一点的静 水头（位置水头与压强水头之和）为定值。图 2-9 中用封闭的完全真空测压管测量的静水头 线 A-A 为水平线。即连续、均质、平衡流体中的静水头线为一水平线。 po 2 z2 p1 /g z1 p2 /g 1 A A po 2 z2 p1 /g z1 p2 /g 1 A po 2 z2 p1 /g z1 p2 /g 1 A A po A z h hp x z O B p p=0 po A z h hp x z O B p p=0