随机点(XY)落在矩形区域{(xy)杯<KKy 的概率 P(x<X≤x2<≤)=F(x,y)-F(x2y)-F(x,y2)+F(x,) (X1y2 (X2y2) X (x1y1) Ⅱ (x2y1) 上或
随机点(X,Y)落在矩形区域 1 2 1 2 {( , ) | , } x y x X x y Y y 的概率 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) = − − + . (x 1 ,y 1 ) (x 1 ,y2 ) (x 2 ,y2 ) (x 2 ,y 1 ) o Ⅲ Ⅰ Ⅳ Ⅱ x y
王922二维随机变量联合分布函数的性质 性质1F(xy)分别关于x和y单调不减 证对任意的x<x2因为 (X≤x,Y≤y)c(X≤x2,Y≤y) 所以P(X≤x,sy)sPAX≤x2,Y≤y) 即F(x,y)≤F(x2,y) 同理可证对任意的< 有 F(x,y1)≤F(x,y2) 上或
§2.2二维随机变量联合分布函数的性质 性质1 F(x,y)分别关于x和y单调不减. 证 对任意的 1 2 x x 因为 1 2 ( , ) ( , ) X x Y y X x Y y 所以 1 2 P X x Y y P X x Y y ( , ) ( , ) 即 1 2 F x y F x y ( , ) ( , ) 同理可证,对任意的 1 2 y y 有 1 2 F x y F x y ( , ) ( , )
性质20≤F(x,y)s1,且 F(x,-∞)=F(-,y)=F(-∞-)=0.,F(+∞,+∞)=1, 其中(x)=mF(xy,其余意义相同事实上 F(x,∞)=P(X≤x,y<-∞)=P(d\S, F(+∞,+∞)=P(X<+∞,Y<+∞)=P(92)=1 性质3F(xy)分别关于x和y右连续 性质4对于任意的x<x,<,有 F(x2,y2)F(x2y1)F(x1,y2)+F(x1,y)≥0 上或
性质 2 0 ( , ) 1 F x y ,且 F x F y F F ( , ) ( , ) ( , ) 0, ( , ) 1 − = − = − − = + + = , 其中 ( , ) lim ( , ) y F x F x y →− − = ,其余意义相同.事实上, F x P X x Y P ( , ) ( , ) ( ) 0 − = − = = , F P X Y P ( , ) ( , ) ( ) 1 + + = + + = = . 性质3 F(x,y)分别关于x和y右连续. 性质 4 对于任意的 1 2 1 2 x x y y , ,有 2 2 2 1 1 2 1 1 F x y F x y F x y F x y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 − − +
王§23二维连续型随机变量 定义:设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y).如果存在 A非负函数(xy,对任意实数xy,有 F(x,y)=∫J/)oh 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,f(x,y)称为CX,Y) 的概率密度或称为X和Y的联合概率密度或联合蜜 度函数 上或
§2.3 二维连续型随机变量 定 义: 设 ( , ) X Y 的联合分布函数为 F x y ( , ) .如果存在 非负函数 f x y ( , ),对任意实数 x y, ,有 ( , ) ( , ) x y F x y f u v dudv − − = , 则称( , ) X Y 为二维连续型随机变量, f x y ( , )称为( , ) X Y 的概率密度或称为X 和 Y的联合概率密度或联合密 度函数
(X,Y)的联合密度函数f(xy)具有性质 性质1非负性:f(x,y)≥0 性质2归一性:∫∫(xykd=1 性质3f(xy完全反映了二维连续型随机变量 c(xY)的概率性质设G为平面上的任意区域则 P(X,Y)EG)=Jf(,y)dxdy 性质4二维连续型随机变量(X,Y)的分布函数与 中密度函数的关系在(x的连续点处,有 f(x,y)= F(x,y) away 上或
( , ) X Y 的联合密度函数 f x y ( , )具有性质: 性质 1 非负性: f x y ( , ) 0 . 性质 2 归一性: f x y dxdy ( , ) 1 + + − − = . 性质 3 f x y ( , )完全反映了二维连续型随机变量 ( , ) X Y 的概率性质:设 G 为平面上的任意区域,则 (( , ) ) ( , ) G P X Y G f x y dxdy = . 性质 4 二维连续型随机变量( , ) X Y 的分布函数与 密度函数的关系:在 f x y ( , )的连续点处，有 2 ( , ) ( , ) F x y f x y x y =