第四章过关检测 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.函数fx)=n(x2-x)的定义域为( A.(0.1) B.f0,11 C.(-0,0)U(1,+o) D.(-o,0]U[1,+o) 答案C 解析：由题意，可知x2-x>0,得x>1或x<0,故函数x)的定义域为(-0,0)U(1,+o). 2.函数y=og1x,x∈(0,8]的值域是() A.[-3,+o) B.[3,+o) C.(-0,-3) D.(-00,3] 答案：A 解析：函数y=log1x在定义域内单调递减，又x∈(0,8]，∴log12log18,log1之-3,23. 3函数器的零点是 A.1 B.-1 C.±1 D.0 答案B 解析令)=0，得出0， 即x+1=0, 所以x=-1 4若2<a<3,化简2-a)2+3-a)的结果是( A.5-2a B.2a-5 c.1 D.-1 答案：C 解析：2<a<3 (2-a2=2-a=a-2,3-a)4=3-al=3-a,原式=a-2+3-a=l.故选C. 5.设x)=3-x2,则下列区间中，使函数x)有零点的是() A[0,1] B.[1,2] C.[-2,-1] D.[-1,0] 答案D 解析-1)=3-（子1=子00=3-02=1>0， ∴-10)<0，∴有零点的区间是[-1,01 6.已知定义在R上的函数x)=2-m.1(m为实数)为偶函数，记a=f1og53),b=f1og25),c=2m) 则a,b,c的大小关系为() A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a 答案B 解析：由x)为偶函数得m=0,所以a=f1og0.53)=2loo.s3L1-21og23-1=2 b=f10g25)=2o8251.1-2log25-1=4,c=f0)=2l0l-1-0,所以c<a<b.故选B. 7.如图，函数x)的图象为折线ACB,则不等式x2log2x+1)的解集是(
第四章过关检测 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.函数 f(x)=ln(x 2 -x)的定义域为( ) A.(0,1) B.[0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 答案:C 解析:由题意,可知 x 2 -x>0,得 x>1 或 x<0,故函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞). 2.函数 y=log1 2 x,x∈(0,8]的值域是( ) A.[-3,+∞) B.[3,+∞) C.(-∞,-3) D.(-∞,3] 答案:A 解析:∵函数 y=log1 2 x 在定义域内单调递减,又 x∈(0,8],∴log1 2 x≥log1 2 8,∴log1 2 x≥-3,∴y≥-3. 3.函数 f(x)= 𝑥+1 𝑥 2+1的零点是( ) A.1 B.-1 C.±1 D.0 答案:B 解析:令 f(x)=0,得 𝑥+1 𝑥 2+1 =0, 即 x+1=0, 所以 x=-1. 4.若 2<a<3,化简√(2-𝑎) 2 + √(3-𝑎) 4 4 的结果是( ) A.5-2a B.2a-5 C.1 D.-1 答案:C 解析:∵2<a<3, ∴√(2-𝑎) 2=|2-a|=a-2, √(3-a) 4 4 =|3-a|=3-a,∴原式=a-2+3-a=1.故选 C. 5.设 f(x)=3 x -x 2 ,则下列区间中,使函数 f(x)有零点的是( ) A.[0,1] B.[1,2] C.[-2,-1] D.[-1,0] 答案:D 解析:∵f(-1)=3 -1 -(-1)2= 1 3 -1=- 2 3 <0,f(0)=3 0 -0 2=1>0, ∴f(-1)f(0)<0,∴有零点的区间是[-1,0]. 6.已知定义在 R 上的函数 f(x)=2 |x-m| -1(m 为实数)为偶函数,记 a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m), 则 a,b,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a 答案:B 解析:由 f(x)为偶函数得 m=0,所以 a=f(log0.53)=2 |log0.53| -1=2 log23 -1=2. b=f(log25)=2 |log25| -1=2 log25 -1=4,c=f(0)=2 |0| -1=0,所以 c<a<b.故选 B. 7.如图,函数 f(x)的图象为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集是( )
A.{x-1<xs0} B.{x-11 C.{x-1<xs1} D.x-1<x<2) 答案：C 解析：令gx)y=log2(x+1),由图我们可以求出y轴右侧BC所在的直线方程为x+y=2,作函数 gx)的图象如图所示， g(x)=log,(x+1) 由+y=2, o,在+1.得代 y=1. 结合图象知不等式几x)2log2(x+1)的解集为{x-1<x≤1}： 8.方程1og2(x+4)=3解的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 答案C 解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y=0g2(x+4)及y=3的图象，如图所示.由图象可知 它们的图象有两个交点 y /3 一=log,+4) 3可123x 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.设a,b,c都是正数，且49=65=9，那么() A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac c=+ 答案：AD 解析：依题意设4=6-9=k>0),则a=log4k,b=log6k,c=log9k 对于A,ab+bc-2ac,即2+-2 因为+片-+0心94g4-g36-2故A中号式成立B中号式不成立 对于c经+片+女2oeu4+log6=loeg6+号-2loe9=loe8ltc中等式不成立； .12 对于D号-2l0g6-1og4=l0g2=0g9-故D中等式成立 10.若函数x)=d+b-1(a>0,且a1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有() A.a>1 B.0<a<1 C.b>0 D.b<0 答案：AD 解析：，函数x)=d+b-l(a>0,且a时1)的图象经过第一、三、四象限
A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2} 答案:C 解析:令 g(x)=y=log2(x+1),由图我们可以求出 y 轴右侧 BC 所在的直线方程为 x+y=2,作函数 g(x)的图象如图所示, 由{ 𝑥 + 𝑦 = 2, 𝑦 = log2 (𝑥 + 1),得 { 𝑥 = 1, 𝑦 = 1. 结合图象知不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1}. 8.方程 log2(x+4)=3 x解的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:C 解析:在同一平面直角坐标系中作出函数 y=log2(x+4)及 y=3 x的图象,如图所示.由图象可知, 它们的图象有两个交点. 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分. 9.设 a,b,c 都是正数,且 4 a=6 b=9 c ,那么( ) A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac C.2 𝑐 = 2 𝑎 + 1 𝑏 D.1 𝑐 = 2 𝑏 − 1 𝑎 答案:AD 解析:依题意设 4 a=6 b=9 c=k(k>0),则 a=log4k,b=log6k,c=log9k. 对于 A,ab+bc=2ac,即 𝑏 𝑐 + 𝑏 𝑎 =2. 因为𝑏 𝑐 + 𝑏 𝑎 = log 6 𝑘 log 9 𝑘 + log 6 𝑘 log 4 𝑘 =log69+log64=log636=2,故 A 中等式成立,B 中等式不成立; 对于 C,2 𝑎 + 1 𝑏 = 2 log 4 𝑘 + 1 log 6 𝑘 =2logk4+logk6=logk96≠2 𝑐 =2logk9=logk81,故 C 中等式不成立; 对于 D,2 𝑏 − 1 𝑎 =2logk6-logk4=logk 36 4 =logk9= 1 𝑐 ,故 D 中等式成立. 10.若函数 f(x)=ax+b-1(a>0,且 a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则一定有( ) A.a>1 B.0<a<1 C.b>0 D.b<0 答案:AD 解析:∵函数 f(x)=ax+b-1(a>0,且 a≠1)的图象经过第一、三、四象限
公1解得a>1,且b0故选AD 11.有一组实验数据如下表所示： 2 4 5 15 59 13.4 24.1 37 则下列所给函数模型不适合的有( A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1) C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1) 答案：ABD 解析：由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而A,D中的函数增长速度 越来越慢B中的函数增长速度保持不变，故选ABD 2已知函数)一58”则下列关于西数)九1的零点个数的4个列新其中正 确的是 () A.当k>0时，有3个零点 B.当k<0时，有2个零点 C.当k>0时，有4个零点 D.当k<0时，有1个零点 答案：CD 解析：由y=x)+1=0,得x)=-1,设x)=1,则方程x)=-1等价于)=-1. ①若k>0,作出函数x)的图象如图① 则此时方程)=-1有两个根，其中<0,0<11<1，由几x)=2<0,知此时x有两个解，由x)=t1∈ (0,1),知此时x有两个解，此时共有4个解，即函数y=x)+1有4个零点. 12x y=-1 图① 图② ②若k<0,作出函数x)的图象如图②. 则此时方程f)=-1有一个根13，且0<3<1，由fx)=3∈(0,1)知此时x只有1个解，即函数 y=x)+1有1个零点故选CD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 18已知函数经引若2则 答案：log32 解析：当x∈(-o,1]时x)∈(0,3]： 当x∈(1，+o)时x)∈(o,-l)片 x)=2,∴.3=2→x=log32. 14.若关于x的方程3x2.5x+a=0的一个根大于1，另一个根小于1，则a的取值范围 是 答案(-0,2) 解析：设x)=3x2.5x+a. 由题意知，1)<0，即-2+a<0,得a<2
∴{ 𝑎 > 1, 𝑏-1 < -1, 解得 a>1,且 b<0.故选 AD. 11.有一组实验数据如下表所示: x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 则下列所给函数模型不适合的有( ) A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1) C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1) 答案:ABD 解析:由所给数据可知 y 随 x 的增大而增大,且增长速度越来越快,而 A,D 中的函数增长速度 越来越慢,B 中的函数增长速度保持不变,故选 ABD. 12.已知函数 f(x)={ 𝑘𝑥 + 1,𝑥 ≤ 0, log2𝑥,𝑥 > 0, 则下列关于函数 y=f(f(x))+1 的零点个数的 4 个判断,其中正 确的是 ( ) A.当 k>0 时,有 3 个零点 B.当 k<0 时,有 2 个零点 C.当 k>0 时,有 4 个零点 D.当 k<0 时,有 1 个零点 答案:CD 解析:由 y=f(f(x))+1=0,得 f(f(x))=-1,设 f(x)=t,则方程 f(f(x))=-1 等价于 f(t)=-1. ①若 k>0,作出函数 f(x)的图象如图①. 则此时方程 f(t)=-1 有两个根,其中 t2<0,0<t1<1,由 f(x)=t2<0,知此时 x 有两个解,由 f(x)=t1∈ (0,1),知此时 x 有两个解,此时共有 4 个解,即函数 y=f(f(x))+1 有 4 个零点. ②若 k<0,作出函数 f(x)的图象如图②. 则此时方程 f(t)=-1 有一个根 t3,且 0<t3<1,由 f(x)=t3∈(0,1)知此时 x 只有 1 个解,即函数 y=f(f(x))+1 有 1 个零点.故选 CD. 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知函数 f(x)={ 3 𝑥 ,𝑥 ≤ 1, -𝑥,𝑥 > 1, 若 f(x)=2,则 x= . 答案:log32 解析:当 x∈(-∞,1]时,f(x)∈(0,3]; 当 x∈(1,+∞)时,f(x)∈(-∞,-1). ∵f(x)=2,∴3 x=2⇒x=log32. 14.若关于 x 的方程 3x 2 -5x+a=0 的一个根大于 1,另一个根小于 1,则 a 的取值范围 是 . 答案:(-∞,2) 解析:设 f(x)=3x 2 -5x+a. 由题意知,f(1)<0,即-2+a<0,得 a<2
15.某种病毒经30分钟繁殖为原来个数的2倍，且知病毒的繁殖规律为y=ε“（其中k为常数，1 表示时间，单位：时y表示病毒个数)，则k= ,经过5时，1个病毒能繁殖为 个（第一空2分，第二空3分） 答案：2ln21024 解析：当1=0.5时y=2 则2=e款，得k-2n2,于是y=e2m2 故当1=5时，y=e101n2-210-1024 16.己知函数x)=x2-log1x,若0<a<b<c,则a)b)Mc)<0,那么下列说法一定正确的是 (填序号)】 ①x)有且只有一个零点；②x)的零点在区间(0,1)内：③x)的零点在区间(a,b)内：④x)的零点 在区间(c,+o)内， 答案①② 解析：因为y=x2y=-0gx均在区间(0，+oo)内单调递增，所以x)在区间(0，+o)内单调递增， 又国为1)>0，（付0，所以x)有且只有一个零点且零点在区间（经1）内，故①②说法正确 因fab)c)<0,故fa)b)c)的特号为两正一负或全负，而0<a<b<c,故a)<0b)<0,c)<0 或a)<0,b)>0c)>0 若a)<0,b)<0,c)<0,则零点在区间(c,+o)内；若几a0,b)>0(c)>0,则零点在区间(a,b)内， 故③④说法不一定正确 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1710分1)计算(2写)2lg5+() (2)解方程：log:(6-9)=3 解()原式-)g5+③]-1+4 (2)由方程10g3(6-9)=3,得6-9-33=27， 则6-36=62，得x=2. 经检验，x=2是原方程的解。 故原方程的解为x=2. 18.(12分)已知函数x)=-3x2+2x-m+1. (1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点？ (2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值 解：(1)函数零点的个数，等价于对应方程-3x2+2x-m+10实数解的个数. 由△=4+12(1-m)>0,可解得m学 由△=0，可解得m学由△<0，可解得m> 故当m<时，函数有两个零点： 当m时，函数有一个零点； 当m时，函数无零点 (2)由题意知0是对应方程的根，故有1-m=0,可解得m=1. 19.(12分)已知函数y=log4(2x+3-x2). (1)求函数的定义域： (2)求y的最大值，并求取得最大值时的x值
15.某种病毒经 30 分钟繁殖为原来个数的 2 倍,且知病毒的繁殖规律为 y=e kt(其中 k 为常数,t 表示时间,单位:时,y 表示病毒个数),则 k= ,经过 5 时,1 个病毒能繁殖为 个(第一空 2 分,第二空 3 分). 答案:2ln 2 1 024 解析:当 t=0.5 时,y=2. 则 2=e 1 2 𝑘 ,得 k=2ln 2,于是 y=e 2tln 2 . 故当 t=5 时,y=e 10 ln 2=2 10=1 024. 16.已知函数 f(x)=𝑥 1 2-log1 2 x,若 0<a<b<c,则 f(a)·f(b)f(c)<0,那么下列说法一定正确的是 (填序号). ①f(x)有且只有一个零点;②f(x)的零点在区间(0,1)内;③f(x)的零点在区间(a,b)内;④f(x)的零点 在区间(c,+∞)内. 答案:①② 解析:因为 y=𝑥 1 2,y=-log1 2 x 均在区间(0,+∞)内单调递增,所以 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增. 又因为 f(1)>0,f( 1 2 )<0,所以 f(x)有且只有一个零点且零点在区间( 1 2 ,1)内,故①②说法正确. 因 f(a)f(b)f(c)<0,故 f(a),f(b),f(c)的符号为两正一负或全负,而 0<a<b<c,故 f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0 或 f(a)<0,f(b)>0,f(c)>0. 若 f(a)<0,f(b)<0,f(c)<0,则零点在区间(c,+∞)内;若 f(a)<0,f(b)>0,f(c)>0,则零点在区间(a,b)内. 故③④说法不一定正确. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)(1)计算:(2 7 9 ) 1 2 +(lg 5)0+( 27 64) - 1 3 ; (2)解方程:log3(6x -9)=3. 解:(1)原式=( 25 9 ) 1 2 +(lg 5)0+[( 3 4 ) 3 ] - 1 3 = 5 3 +1+ 4 3 =4. (2)由方程 log3(6x -9)=3,得 6 x -9=3 3=27, 则 6 x=36=6 2 ,得 x=2. 经检验,x=2 是原方程的解. 故原方程的解为 x=2. 18.(12 分)已知函数 f(x)=-3x 2+2x-m+1. (1)当 m 为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点? (2)若函数恰有一个零点在原点处,求 m 的值. 解:(1)函数零点的个数,等价于对应方程-3x 2+2x-m+1=0 实数解的个数. 由 Δ=4+12(1-m)>0,可解得 m<4 3 . 由 Δ=0,可解得 m= 4 3 ;由 Δ<0,可解得 m> 4 3 . 故当 m< 4 3时,函数有两个零点; 当 m= 4 3 时,函数有一个零点; 当 m>4 3时,函数无零点. (2)由题意知 0 是对应方程的根,故有 1-m=0,可解得 m=1. 19.(12 分)已知函数 y=log4(2x+3-x 2 ). (1)求函数的定义域; (2)求 y 的最大值,并求取得最大值时的 x 值
解(1)由2x+3-x2>0,解得-1<x<3 所以函数的定义域为{x-1<r<3}. (2)原函数由y=log44,u=2x+3-x2(-1<x<3)两个函数复合得到. 因为1=2x+3-x2=-(x-1)2+4≤4， 所以y=l0g4(2x+3-x2)≤l0g44=1 所以y的最大值为1，此时x=1 20.(12分)已知甲、乙两个工厂在今年1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是 14万元，乙厂在2月份的利润是8万元.若甲、乙两个工厂的利润（单位：万元）与月份x之间 的函数关系式分别符合下列函数模型x)=Q1x2+b1x+6,gx)=a23+b2(a1,a2,b1,b2∈R) (1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润： (2)在同一平面直角坐标系中画出函数(x)与(x)的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工 厂的利润的大小情况 解(0派莲意由阳=4 a,”a 解得伦 于是x)=4x2-4x+6. 由g1)=6 g(2)=8, e60+g=8 解得2= (b2=5, 于是g)×3+5=3+5. 故甲厂在今年5月份的利润为5)=86万元，乙厂在今年5月份的利润为g5)=86万元，故有 5)=g(5),即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等， (2)在同一直角坐标系中画出函数x),gx)的草图，如图所示 ↑ygx)=3-1+5 130 fx)=4x24x+6 2i0 -2-0864 -10024681012 -40f 从图中可以看出今年甲、乙两个工厂的利润， 当x=1或x=5时，有x)=g(x)月 当1<x<5时，有fx)>gx: 当5<x≤12时，有x)<gx) 21.(12分)已知函数x)=Vx. (1)判断函数x)在区间[0，+o)内的单调性，并用定义证明； (2)函数gx)=x)+og2x-2在区间(1,2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值 (精确度为0.3)；若没有零点，说明理由
解:(1)由 2x+3-x 2>0,解得-1<x<3, 所以函数的定义域为{x|-1<x<3}. (2)原函数由 y=log4u,u=2x+3-x 2 (-1<x<3)两个函数复合得到. 因为 u=2x+3-x 2=-(x-1)2+4≤4, 所以 y=log4(2x+3-x 2 )≤log44=1. 所以 y 的最大值为 1,此时 x=1. 20.(12 分)已知甲、乙两个工厂在今年 1 月份的利润都是 6 万元,且甲厂在 2 月份的利润是 14 万元,乙厂在 2 月份的利润是 8 万元.若甲、乙两个工厂的利润(单位:万元)与月份 x 之间 的函数关系式分别符合下列函数模型:f(x)=a1x 2+b1x+6,g(x)=a23 x+b2(a1,a2,b1,b2∈R). (1)求甲、乙两个工厂今年 5 月份的利润; (2)在同一平面直角坐标系中画出函数 f(x)与 g(x)的草图,并根据草图比较今年甲、乙两个工 厂的利润的大小情况. 解:(1)依题意,由{ 𝑓(1) = 6, 𝑓(2) = 14, 得{ 𝑎1 + 𝑏1 = 0, 4𝑎1 + 2𝑏1 = 8, 解得{ 𝑎1 = 4, 𝑏1 = -4, 于是 f(x)=4x 2 -4x+6. 由{ 𝑔(1) = 6, 𝑔(2) = 8, 得{ 3𝑎2 + 𝑏2 = 6, 9𝑎2 + 𝑏2 = 8, 解得{ 𝑎2 = 1 3 , 𝑏2 = 5, 于是 g(x)= 1 3 ×3x+5=3 x-1+5. 故甲厂在今年 5 月份的利润为 f(5)=86 万元,乙厂在今年 5 月份的利润为 g(5)=86 万元,故有 f(5)=g(5),即甲、乙两个工厂今年 5 月份的利润相等. (2)在同一直角坐标系中画出函数 f(x),g(x)的草图,如图所示. 从图中可以看出今年甲、乙两个工厂的利润. 当 x=1 或 x=5 时,有 f(x)=g(x); 当 1<x<5 时,有 f(x)>g(x); 当 5<x≤12 时,有 f(x)<g(x). 21.(12 分)已知函数 f(x)=√𝑥. (1)判断函数 f(x)在区间[0,+∞)内的单调性,并用定义证明; (2)函数 g(x)=f(x)+log2x-2 在区间(1,2)内是否有零点?若有零点,用“二分法”求零点的近似值 (精确度为 0.3);若没有零点,说明理由