第9章随机信号通过线性系统这种随机信号X(t)称为平稳随机信号。而不满足上式条件的随机信号就称为非平稳随机信号显然，对平稳随机信号X(t)有;(x,t)=(x)，m(t)=my。即平稳随机信号的均值是一个常数。定义9.2-2随机信号X(t)的均方值或二阶原点矩定义为E[X?(t)] = ( x f(x,t)dx同理，平稳随机信号X(t)的均方值E［X(t)I也是一个与时间无关的常数
第9章 随机信号通过线性系统 定义 9.2-2 随机信号X(t)的均方值或二阶原点矩定义为 − E[X (t)] = x f (x,t)dx 2 2 这种随机信号X(t)称为平稳随机信号。而不满足上式条件 的随机信号就称为非平稳随机信号。 显然，对平稳随机信号X(t)有:f(x,t)=f(x)，mx (t)=mx。即平稳 随机信号的均值是一个常数。 同理，平稳随机信号X(t)的均方值E［X 2 (t)］也是一个与时 间t无关的常数
第9章随机信号通过线性系统9.2.2方差定义9.2-3随机信号X(t)的方差定义为D[X(t)] = E([X(t) -m,(t)]?)[x -m,(t)]? f(x,t)dx =o?(t)对平稳随机信号Xt)而言，方差是一个与时间t无关的常数：?(t) =a?方差又称为二阶中心矩。方差的数值越大，表示X(t)的各样本偏离均值的程度越大，各样本取值的分散程度也越大。方差的算术平方根。称为标准差
第9章 随机信号通过线性系统 9.2.2 方差 定义 9.2-3 随机信号X(t)的方差定义为 [ ( )] ( , ) ( ) [ ( )] {[ ( ) ( )] } 2 2 2 x m t f x t dx t D X t E X t m t x x x − = − = = − 对平稳随机信号X(t)而言，方差是一个与时间t无关的常数： 2 2 ( ) x x t = 方差又称为二阶中心矩。方差的数值越大，表示X(t)的各 样本偏离均值的程度越大，各样本取值的分散程度也越大。 方差的算术平方根σx称为标准差
第9章随机信号通过线性系统下面给出方差与均值和均方值三者之间的关系。D[X(t)] = E([X(t) - m,(t)]?)= E[X?(t)- 2m(t)X(t) +m(t))= E[X?(t) - E[2m,(t)X(t)] + E[m(t)= E[X (t)] -m(t)对于平稳随机信号X(t)而言，有α= E[X?(t)] -m?
第9章 随机信号通过线性系统 下面给出方差与均值和均方值三者之间的关系。 [ ( )] ( ) [ ( ) [2 ( ) ( )] [ ( )] [ ( ) 2 ( ) ( ) ( )] [ ( )] {[ ( ) ( )] } 2 2 2 2 2 2 2 E X t m t E X t E m t X t E m t E X t m t X t m t D X t E X t m t x x x x x x = − = − + = − + = − 对于平稳随机信号X(t)而言，有 2 2 2 [ ( )] x mx = E X t −
第9章随机信号通过线性系统即方差E[X(t)I等于随机信号平方的均值E［X(t)}减去随机信号的均值m的平方。如果用X(t)表示1欧姆电阻上的噪声电流或电压，则均方值表示消耗在单位电阻上的瞬时功率（由交流和直流两部分组成）的统计平均值，均值平方表示消耗在单位电阻上的等效直流功率；方差就表示消耗在单位电阻上的瞬时交流功率的统计平均值
第9章 随机信号通过线性系统 即方差 等于随机信号平方的均值E［X 2 (t)］减去 随机信号的均值mx的平方。如果用X(t)表示1欧姆电阻上的噪 声电流或电压，则均方值表示消耗在单位电阻上的瞬时功率 （由交流和直流两部分组成）的统计平均值，均值平方表示 消耗在单位电阻上的等效直流功率； 方差就表示消耗在单位 电阻上的瞬时交流功率的统计平均值。 [ ( )] 2 E X t
第9章随机信号通过线性系统9.2.3自相关函数和自协方差函数1.自相关函数自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻ti，t2取值之间的相关程度定义9.2-4实随机信号X(t)的自相关函数定义为Rx(t1,t2) = E[X(t)X(t2)] = ( ( xx2f2(x1, x2;ti,t2)dxidx由于平稳随机信号的统计特性与时间的起点无关，设t2=ti+t,则有f2(x1，x2；ti，t2)-f2(x1，x2；t)。所以，平稳随机信号的自相关函数是时间间隔t的函数，记为R(t)
第9章 随机信号通过线性系统 9.2.3 自相关函数和自协方差函数 1． 自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1， t2 取值之间的相关程度。 定义 9.2-4 实随机信号X(t)的自相关函数定义为 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 R (t ,t ) E[X(t )X(t )] x x f (x , x ;t ,t )dx dx xx − − = = 由于平稳随机信号的统计特性与时间的起点无关，设t2 =t1+τ, 则有f2 (x1 , x2 ; t1 , t2 )=f2 (x1 , x2 ; τ)。所以，平稳随机信号的自相关函 数是时间间隔τ的函数，记为Rxx(τ)