第9章随机信号通过线性系统2.自协方差函数自协方差函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t：t,取值之间的二阶混合中心矩，它用来描述X(t)在两个时刻取值的起伏变化（相对于均值）的相关程度，也称为中心化的自相关函数。定义9.2-5实随机信号X(t)的自协方差函数定义为Cx(ti,t2)= E(X(t)-m,(t)I[X(t2)-m,(t2)l)= E(X(t)X(t2) -m(t)E[X(t)] -m(t2)E[X(t)] +m,(t)m,(t))= E(X(t)X(c)) -m (t)m,(t))= R(ti,t2) -m.(t)mx(t2)
第9章 随机信号通过线性系统 2． 自协方差函数 自协方差函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1， t2取值之间的二阶混合中心矩，它用来描述X(t)在两个时刻取 值的起伏变化（相对于均值）的相关程度，也称为中心化的 自相关函数。 定义 9.2-5 实随机信号X(t)的自协方差函数定义为 ( , ) ( ) ( ) { ( ) ( )] ( ) ( )] { ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) ( )]} ( , ) { ( ) ( )][ ( ) ( )]} 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 R t t m t m t E X t X c m t m t E X t X t m t E X t m t E X t m t m t C t t E X t m t X t m t xx x x x x x x x x xx x x = − = − = − − + = − −
第9章随机信号通过线性系统当m,(t)=m(t2)=0时，有Cx(ti,t2)=Rxx(ti, t2) 显然，自协方差函数和自相关函数描述的特性基本相同。对于平稳随机信号，自协方差函数是时间间隔的函数记为Cxx(t),且有Cxx(t)= R(t)-m)当均值m=0时，有Cxx(t)=Rx(t)。当随机过程X(t)的均值为常数时，相关函数只与时间间隔t=t2-ti有关，且均方值为有限值时，则称X(t)为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。它是由一、二维数字特征定义的。一般所说的平稳过程都是指这种宽平稳随机过程+
第9章 随机信号通过线性系统 当mx (t1 )=mx (t2 )=0时，有Cxx(t1 ,t2 )=Rxx(t1 , t2 ) 。 显然，自协方差函数和自相关函数描述的特性基本相同。 对于平稳随机信号，自协方差函数是时间间隔τ的函数， 记为Cxx (τ), 且有 2 ( ) ( ) Cxx = Rxx − mx 当均值mx=0时，有Cxx(τ)=Rxx(τ)。 当随机过程X(t)的均值为常数时，相关函数只与时间间隔 τ=t2 -t1有关，且均方值为有限值时，则称X(t)为宽平稳随机过 程或广义平稳随机过程。它是由一、 二维数字特征定义的。 一般所说的平稳过程都是指这种宽平稳随机过程
第9章随机信号通过线性系统3.平稳随机信号自相关函数的性质设X(t)为平稳随机过程，其自相关函数为Rr(t)，自协方差函数C(t)，则它们有如下性质：（1）T=0时的自相关函数等于均方差，自协方差函数等于方差，即R.(O) = E[X?(t)]Cx (0)=α3（2）当平稳随机信号是实函数时，其相关函数是偶函数，即：R(t)= R(-t)Cx(t)=C(-t)
第9章 随机信号通过线性系统 3．平稳随机信号自相关函数的性质 设X(t)为平稳随机过程，其自相关函数为Rxx(τ)，自协方差 函数Cxx(τ)，则它们有如下性质： （1） τ=0时的自相关函数等于均方差，自协方差函数等于 方差， 即 2 2 (0) (0) [ ( )] xx x xx C R E X t = = （2）当平稳随机信号是实函数时，其相关函数是偶函数，即： ( ) ( ) ( ) ( ) = − = − xx xx xx xx C C R R
第9章随机信号通过线性系统（3）0时的自相关函数、自协方差函数取最大值，即Rx(O) ≥R(t)Cx(0) =Cx(t)(4）若X(t)-X(t+T)，则其自相关函数也是周期为T的周期函数，即Rx(t)≥Rx(t+T)Cx(t)=Cx(t+ T)(5）若均值m=0，当t→oo时，X(t)与X(t+t)相互独立，有lim R(t)= 0T8即对于零均值的平稳随机信号，当时间间隔t很大时，X(t)与X(t+t)相互独立，互不相关
第9章 随机信号通过线性系统 （3）τ=0时的自相关函数、自协方差函数取最大值，即 (0) ( ) (0) ( ) xx xx xx xx C C R R = （4）若X(t)=X(t+T)，则其自相关函数也是周期为T的周期函数，即 ( ) ( ) ( ) ( ) C C T R R T xx xx xx xx = + + （5）若均值mx=0，当τ→∞时，X(t)与X(t+τ)相互独立，有 lim ( ) = 0 → Rxx 即对于零均值的平稳随机信号，当时间间隔τ很大时，X(t)与 X(t+τ)相互独立，互不相关
第9章随机信号通过线性系统9.2.4互相关函数和互协方差函数定义9.2-6 随机信号X(t)、Y(t)的互相关函数定义为R,(ti,t2)= E[X(t)Y(t2)] = /mfxyf(x, y;ti,t2)dxdy定义9.2-7随机信号X(t)、Y(t)的互协方差函数定义为Cx,(ti,t2) = E([X(t)-m,(t)[Y(t2) -m,(t2)l)= E[X(t)Y(t2)] - m,(t)E[Y(t,)]-m,(t2)E[X(t)] +m,(t)m,(t2)= E[X(t)Y(t2)] -m,(t)m,(t2)= Rx(ti,t2)-m,(t)m,(t2)
第9章 随机信号通过线性系统 9.2.4 互相关函数和互协方差函数 定义 9.2-6 随机信号X(t) 、Y(t)的互相关函数定义为 R t t E X t Y t xyf x y t t dxdy xy − − ( , ) = [ ( ) ( )] = ( , ; , ) 1 2 1 2 2 1 2 定义 9.2 - 7 随机信号X(t) 、Y(t)的互协方差函数定义为 ( , ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( )] ( , ) {[ ( ) ( )][ ( ) ( )]} 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 R t t m t m t E X t Y t m t m t m t E X t m t m t E X t Y t m t E Y t C t t E X t m t Y t m t xy x y x y y x y x xy x y = − = − − + = − = − −