丌(200h-h2)h=0.62、2ghd, 即为未知函数的微分方程 可分离变量 dt (200h-√h3 0.62、2 g 2 (√h3-√h3)+C, 0.62√2g3 T h=0=100,:C X-×10 062、2 15 所求规律为t= (7×10-103√h+3√h>) 465、2g
(200h h )dh 2 − − = 0.62 2ghdt, 即为未知函数的微分方程. 可分离变量 (200 ) , 0.62 2 3 h h dh g dt − = − ) , 5 2 3 400 ( 0.62 2 3 5 h h C g t − + = − | 100, h t=0= 10 , 15 14 0.62 2 5 = g C (7 10 10 3 ). 4.65 2 5 3 3 5 h h g t − + 所求规律为 =
例5某车间体积为12000立方米,开始时空气中 含有01%的CO2,为了降低车间内空气中CO2 的含量,用一台风量为每秒200立方米的鼓风机 通入含0.03%的CO2的新鲜空气,同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分 钟后,车间内CO,的百分比降低到多少? 解设鼓风机开动后t时刻CO2的含量为x()% 在[t,t+l内, CO,的通入量=2000..0.03, CO,的排出量=2000.dt·x(t)
解 例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中 含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分 钟后, 车间内 的百分比降低到多少? 1% CO2 0. CO2 CO2 CO2 0.03% 设鼓风机开动后 t 时刻 CO2 的含量为 x(t)% 在 [t, t + dt] 内, CO2 的通入量 CO2 的排出量 = 2000 dt 0.03, = 2000 dt x(t)
CO2的改变量=CO,的通入量-CO2的排出量 12000=2000.d.0.03-2000.dt·x(t), d x 1 (x-0.03),→x=0.03+Ce d t 6 xl=0=0.,∴C=0.07,→x=0.03+0.0726, x6=0.03+0.07e≈0.056, 6分钟后,车间内CO2的百分比降低到0.056%
CO2 的改变量 = CO2 的通入量 −CO2 的排出量 12000dx = 2000 dt 0.03− 2000 dt x(t), ( 0.03), 6 1 = − x − dt dx 0.03 , 6 1 t x Ce − = + | 0.1, x t=0= C = 0.07, 0.03 0.07 , 6 1 t x e − = + | 0.03 0.07 0.056, 1 6= + − = x e t 6分钟后, 车间内 的百分比降低到 0.056%. CO2
三、小结 分离变量法步骤: 1、分离变量; 2、两端积分--隐式通解
分离变量法步骤: 1、分离变量; 2、两端积分-------隐式通解. 三、小结
思考题 求解微分方程+cos coS 2
思考题 求解微分方程 . 2 cos 2 cos x y x y dx dy + = − +