二、典型例题 例1求解微分方程=2y的通解 解分离变量=2xx, 两端积分∫-∫ rdx Iny=x+Cl ∴y=Ce为所求通解
例1 求解微分方程 2xy的通解. dx dy = 解 分离变量 2xdx, y dy = 两端积分 2 , = xdx y dy 1 2 ln y = x + C . 2 y = Ce x 为所求通解 二、典型例题
例2求方程∫(xy)yx+g(x)xd=0通解 解令=习,则如=xy+ytx, f(u)ydx+(u)x du-yax=0, lf(u)-g(u)dx+g(udu=0, dx gu x ulf(u)-g(u) 通解为h|x+Jn8(0Mm=C
例2 求方程 f (xy) ydx + g(xy)xdy = 0 通解. 令u = xy, 则du = xdy + ydx, ( ) ( ) = 0, − + x du ydx f u ydx g u x [ ( ) − ( )] dx + g(u)du = 0, x u f u g u 0, [ ( ) ( )] ( ) = − + du u f u g u g u x dx . [ ( ) ( )] ( ) ln | | du C u f u g u g u x = − + 通解为 解
例3衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M成 正比,已知M=0=M,求衰变过程中铀含量M 随时间变化的规律. 解衰变速度 h,由题设条件 dM 入M>0衰变系数) -ndt dt M ∫M=-∫-M,1mM=-M+hC,即M=cex, 代入M==M。得M=Ce=C, M= Me 衰变规律
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成 正比,已知M t=0 = M0 ,求衰变过程中铀含量M(t) 随时间t 变化的规律. 解 , dt dM 衰变速度 由题设条件 = −M ( 0衰变系数) dt dM dt M dM = − , = − dt M dM 代入M t=0 = M0 lnM = −t + lnC, , t M Ce− 即 = 0 得 M0 = Ce = C, t M M e − = 0 衰变规律
例4有高为1米的半球形容器,水从它的底部小 孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始 时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器 里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时 间“变化规律 解由力学知识得水从孔口流 出的流量为 Q==0.62·S√2gh dt 流量系数孔口截面面积重力加速度
例 4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始 时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器 里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时 间t的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为 0.62 S 2gh, dt dV Q = = 流量系数 孔口截面面积 重力加速度
h s=1cm dV=0.62、2ghd,(1) cm 设在微小的时间间隔[,t+dl,o 水面的高度由h降至h+h,则V=-7rh, 1002-(100-h)2=√200h-h d=-(200h-h2)ydh, 比较1)和(2得:-7(200h-h2)h=0.622ghd
100 cm h o r h h+ dh dV = 0.62 2ghdt, (1) 设在微小的时间间隔 [t, t + dt], 水面的高度由h降至 h+ dh , , 2 则dV = −r dh 100 (100 ) 200 , 2 2 2 r = − − h = h − h (200 ) , (2) 2 dV = − h− h dh 比较(1)和(2)得: (200h h )dh 2 − − = 0.62 2ghdt, S = 1 cm , 2