例3验证函数x= C cos kt+C2sink是微分 d x 方程2+k2x=0的解并求满足初始条件 Xo=A, =0的特解. t=0 解 dx=, sin kt +kC cos kt, dt d t2 k C cos kt-k C sin kt, 将2和x的表达式代入原方程
例 3 验证:函数x C cos kt C sin kt = 1 + 2 是微分 方程 0 2 2 2 + k x = dt d x 的解. 并求满足初始条件 , 0 0 0 = = = = t t dt dx x A 的特解. 解 sin cos , kC1 kt kC2 kt dt dx = − + cos sin , 2 2 1 2 2 2 k C kt k C kt dt d x = − − , 2 2 将 和x的表达式代入原方程 dt d x
k(C cos kt +C, sin kt)+k(c cos kt +C, sin kt=0. 故x=C1c0sMtC2 sin kt是原方程的解 db 2 t=0 所求特解为x= Acos ht 补充:微分方程的初等解法:初等积分法 求解微分方程 求积分 (通解可用初等函数或积分表示出来)
( cos sin ) ( cos sin ) 0. 1 2 2 1 2 2 − k C kt + C kt + k C kt + C kt cos sin . 故 x = C1 kt + C2 kt是原方程的解 , 0, 0 0 = = = = t t dt dx x A , 0. C1 = A C2 = 所求特解为 x = Acoskt. 补充: 微分方程的初等解法: 初等积分法. 求解微分方程 求积分 (通解可用初等函数或积分表示出来)
本节基本概念: 微分方程; 微分方程的阶;微分方程的解 通解;初始条件;特解; 初值问题;积分曲线
微分方程； 微分方程的阶；微分方程的解； 通解; 初始条件；特解； 初值问题； 积分曲线． 四、小结 本节基本概念：
思考题 函数y=3e是微分方程y"-4y=0 的什么解?
思考题 函数 x y e 2 = 3 是微分方程y − 4 y = 0 的什么解?
思考题解答 y=6e,y"=12e2 4y=12e 2x-4.3e=0, y=3e中不含任意常数, 故为微分方程的特解
思考题解答 6 , 2 x y = e 12 , 2 x y = e y − 4 y =12 4 3 0, 2 2 − = x x e e x y e 2 = 3 中不含任意常数, 故为微分方程的特解