分类1:常微分方程,偏微分方程 微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之 分类2 阶微分方程F(x,y,y)=0,y'=f(x,y) 高阶(m)微分方程F(x,y,y,…,y1)=0, y=f(x,y,y,…,y-")
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之. 分类1: 常微分方程, 偏微分方程. 一阶微分方程 F(x, y, y) = 0, y = f (x, y); 高阶(n)微分方程 ( , , , , ) 0, ( ) = n F x y y y ( , , , , ). ( ) ( −1) = n n y f x y y y 分类2:
分类3:线性与非线性微分方程 y+P(x)y=Q(x),x(y)2-2y3+x=0; 分类4:单个微分方程与微分方程组 「小 3 y-2, dz y-o
分类3: 线性与非线性微分方程. y + P(x) y = Q(x), ( ) 2 0; 2 x y − yy + x = 分类4: 单个微分方程与微分方程组. = − = − 2 , 3 2 , y z dx dz y z dx dy
、主要问题--求方程的解 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之 设y=(x)在区间I上有m阶导数, F(x,(x),p(x)…,φpm(x)=0. 微分方程的解的分类: (1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. 设y = (x)在区间 I 上有 n阶导数, ( , ( ), ( ), , ( )) 0. ( ) F x x x x = n 微分方程的解的分类： 三、主要问题-----求方程的解 (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同
例y'=y,通解y=Ce y"+y=0,通解y=C1sinx+C2cosx; (2)特解:确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象:微分方程的积分曲线 通解的图象:积分曲线族 初始条件:用来确定任意常数的条件
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 例 y = y, ; x 通解 y = Ce y + y = 0, sin cos ; 通解 y = C1 x +C2 x 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件
初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题. ∫(x,y 阶: 过定点的积分曲线 X=x 「y"=f(x,y,y) 阶: X=x x=r 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线
过定点的积分曲线; = = = 0 0 ( , ) y y y f x y x x 一阶: 二阶: = = = = 0 = 0 0 0 , ( , , ) y y y y y f x y y x x x x 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题