2.1本章习题类型与解题方法31 三、逻辑函数式的变换 在设计逻辑电路的过程屮，往往首先得到的是逻辑函数的与或形式（也称 为积之和形式)。如果规定全部使用与非门组成这个逻辑电路，这时就必须把 与或形式的逻辑函数式变换成全部由与非运算组合成的形式（也称为与非-与 非形式)。又如，在使用ROM实现一个组合逻辑函数时，则要求将逻辑函数式 化为最小项之和的形式，等等。 1.与或形式→与非一与非形式 解题方法和步骤： 利用摩根定理将整个与或式两次求反，即可将与或形式化为与非一与非形 式。 【例2-11】将"下面的逻辑函数化为与非-与非形式 Y=AB'+A'BD+CD 解：应用摩根定理将上式两次求反，得到 Y=(Y)'=(AB'+A'BD+GD')') =((AB)'(A'BD)'(CD))' 这样就把函数式化成了全部山与非运算组成的形式。 2.与或形式一与或非形式 解题方法和步骤： 根据逻钟代数的基本公式和代入定理可知，任何一个逻辑函数都遵守公式 Y+Y=1。又知所有最小项之和恒等于1，所以若将不包含在Y式中的所有最 小项相加，得到的就是Y。将这些最小项之和再求反，也得到Y。因此，将不包 含在函数式中的那些最小项相加，然后求反，得到的就是函数式的与或非形式。 如果画出函数的卡诺图，则只需将图中填入0的那些鼓小项相加，再求反 就可得到与或非形式的逻辑函数式了。 【例2-12】将下面的逻科函数式化为与或非形式 Y=A'C'D'+A'BD+AB'+B'CD' 解：首先画出Y的卡诺图，如图2-7所示。 将卡诺图中的0合并，然后求反，得到 Y=(A'B'D +AB BCD')' 3.与或式→或与式 解题方法和步骤： 方法一，首先用上面所讲的方法将与或形式的逻辑函数转换成与或非形式。 然后，利用摩根定理就可以将与或非形式的逻辑式转换成或与形式的逻辑式了。 方法二，反复运用公式A+BC=(A+B)(A+C)进行运算，也可以将与或形 式的逻辑函数式变换为或与形式的逻辑函数式
32第_二章逻辑代数基础 BCD 0001 11 10 A'B'D 0e1 0 B、 0 0 (o 图2-7例2-12的卡诺图 【例2-13】将下面给出的逻辑函数转换为或与形式的逻辑式 Y=AC+A'R'+A'C 解：采州第种方法时，需首先画出Y的卡诺图，如图2-8所小 将图中的0合并，然后求反，得到 BC Y=(A'RC+AC) 00011110 再利用摩根定理将上式展开 1 Y=(A'BG)'·(AC)' =(A+B+C)(A'+C) 也可以采用第二种方法，直接进行公式运算 Y=AC+A'B'+A'C' 图2-8例2-13的卡话图 =(A+A'B'+A'C)(C+A'B'+A'C') =(A+B+C)(C+A'B'+A') =(A+B+C)(A'+C) 也得到同样的变换结果。 这皂骺要提限一点，用第二种公式推演方法得到的或与式有时不是最简的， 还能进一步化简；而用第一种方法，在合并卡诺图上的0时已经进行了合并化 简，所以得到的或与表达式应当是最简的了。 4.与或式一或非-或非式 解题方法和步骤： (1)首先按前述方法将与或式转换为与或非形式。 (2)州厌根定理将与或非式中的每个乘积项化为或非的形式，即可得到或 非-或非形式的函数式了， 【例2-14】将下面的逻辑函数式化为或非-或非形式 Y=A'D'+A'8'C+AC'D+CD
2.1本章习题类型与解题方法33 解：画出Y的卡诺图，如图2-9所示。 将图中的0合并后得到 Y=(AC'D'+A'C'D +ACD +BCD) 48 CD 01 11 10 =(A'+C+D)'+(A+C+D)'+ (A'+C+D)'+(B+C+D)) 5.将逻辑函数式化为最小项之和的形式 解题方法和步骤： (1)首先利用逻辑代数的公式和定理将函 数式化成与或形式。 (2)利用公式A+A'=】将每个乘积项中 缺少的因子补齐。例如某个乘积项中缺少因子 图2-9例2-14的卡诺图 B,则应在该项上乘以(B+B),然后拆成两项，每项中便分别增加了书或B'因 子。 【例2-15】试将下而的逻辑函数式化为最小项之和的形式 Y=((AB')'+C)'+AD 解：首先将上式化为与或形式 Y=(AB')C'+AD AB'C'+AD 然后在第一项上乘以(D+D),在第二项上乘以(B+B),得到 Y=AB'C'(D+D')+AD(B+B') =AB'C'D'+AB'C'D +AB'D +ABD 再将上式的最后两项上各乘以(C+G),最后得到 Y =AB'C'D'+AB'C'D +AB'D(C+C)+ABD(C+C') =AR'C'D'+AB'C'D+AB'CD +ABCD +ABC'D =ms +ms+mu+m+ms 6.将逻辑函数式化为最大项之积的形式 解题方法和步骤： (1)若给出的函数式已经是或与形式，则可以利用公式AA'=0将每个括号 内缺少的因子补齐。例如(A+C')中缺少B或B',这时就可以在括号里加上 BB',然后再利用公式A+BC=(A+B)(A+C)将它拆开，就得到了两个最大项 的乘积 (A+C'+BB)=(A+B'+C')(A+B+C) (2)若给出的函数式是与或形式，则应当先利用上面介绍的方法将它变换 为或与形式，然后再按(1)中所说的方法去做。 【例2~16】将下面的逻辑函数式化为最大项之积的形式 Y=(B+C)(A+B'+C)
34第二章逻辑代数基础 解：在左边的一个括号内加入AA',然后利用公式A+BC=(A+B)(A+C) 将它拆开成两个敏大项，得到 Y=(B+C+AA')(A+B'+C) =(A'+B+C')(A+B+C')(A+B'+C) =MM,M, 【例2-17】将下面的逻辑函数式化为最大项之积的形式 Y=A'BD +AB'C'+A'C +AD'+BC+B'D' 解：首先将上式化成最小项之和的形式 Y(A,R,C,D)=m(0,2,3,5,6,7,8,9,10,12,14,15) 而Y'应当等于不包含在上式中的那些最小项之和，即 Y(A,B,C,D)=m(1.4,11,13) 因此 Y(A,B,C,D)=(Y)'=(m,+m4+,+m3)' =mimimi mis 根据m:=M,于是得到 Y(A,B.C,D)=M,M,MM =(A+B+C+D')(A+B'+C+D) (A'+B+C'+D')(A'+B+C+D') 四、逻辑函数的化简 1.公式化简法 解题方法和步骤： 公式化简法就是运用逻辑代数的公式和定理进行逻辑运算，以消去逻辑函 数式中多余的乘积项和每项中多余的因子。 如果是有无关项的逻拼函数，恻应充分利用无关项的特点（可以写入逻辑 式也可以从逻辑式中删除)，使化简的结果更加简单。 【例2-18】用公式化简法化简下面的逻辑函数 Y=((A'+B)D)'+(A'B'+BD)C'+A'BC'D+D' 解：Y=(AB)'D)'+A'B'C+BCD+A'BCD+D.(根据A'+R'=(AB)', (A+B)C=AC+BC) =AB+D+A'B'C+BC'+A'BC.(根据(AB)'=A'+B', A+A'B=A+B) =AB+D+A'C+BC'.(根据A+A'=1) =AB+D'+A'C+(A+A)BC.(根据A+A=1) =AB+D'+A'C'+ABC+A'BC.(根据(A+B)C=AC+BC) =AB+D+AC'.(根据A+AB=A)
2.1本章习题类型与解题方法35 2.卡诺图化简法 解题方法和步骤： (1)画出表示逻辑函数的卡诺图。 (2)找出可以合并的最小项，把它们圈起来。 (3)选择化简后保留的乘积项。选取的原则是 第一，这些乘积项必须包含函数式中所有的敬小项，即包含卡诺图中全部 的1； 第二，所用的乘积项数日最少，即用最少的可合并的圈将卡诺图屮的1圈 进去； 第三，每个乘积项的因子最少，即每个圈应尽可能地周大。 为了使每个可以合并的圈尽量大，可以在不同的圈里重复圈入某一项。因 为A+A=A,所以重复写人某个最小项不影响逻辨函数值。 如果是有无关项的函数，则既可以将它圈人可合并的最小项当中，也可以不 圈人。是否应当圈入可合并的最小项当中，要看能否得到最大的合并圈。 【例2-19】试用卡诺图化简如下的逻辑函数 Y=A'BC'+A'C'D +AB'C BCD' A'B'C'D'+AB'CD'+ABCD=0(约束条件) 解：将Y展开为蚊小项之和形式得到 Y =A'BC'D'+A'BC'D +A'B'C'D +A'BCD'+AB'CD'+AB'CD +ABCD' =m,+m4+m5+m6+m1a+m11+md m。+mx+m5=0(约束条件) 在四变量最小项卡诺图中，在Y所含最小项的位置上填人1，约束项位置上 填入“×”，其余位置上填人0，就得到了Y的卡诺图，如图2-10所示。 4B CO 00011110 0o/ -BCD 0, 11 A 10 图2-1D例2-19的卡诺图