哈尔滨工业大学：《线性代数与空间解析几何》课程教学资源（PPT课件）第八章 二次型与二次曲面

8.2化实二次型为标准 1.标准二次型:只含有平方项的二次型ay2+a1y2+…+any2 称为n元二次型的一个标准型.不惟 线性变换为 J1+Cuy, 设 V1+ Cn2y mn. n X1 y 11 y2 X Y 1)可变为X=CY.但不惟 (2) 当C是可逆阵时.(1)式是可逆线性变换 哈工大数学系代数与几何教研室

8.2 化实二次型为标准 1．标准二次型：只含有平方项的二次型 称为 元二次型的一个标准型. 不惟一. 线性变换为 2 2 2 1 1 2 2 n n α α α y y y + + + n 设 （1） 令 （1）可变为 . 但不惟一. （2） 当 是可逆阵时. （1）式是可逆线性变换. 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y  = + + +   = + + +     = + + + 1 1 11 12 1 2 2 21 22 2 1 2 , , n n n n n n nn x y c c c x y c c c x y c c c                   = = =                   X Y C X CY = C

注197(A)=r(CAC)=r(A,f的秩=f标准形中系数不为0的 邪方项的个数 2任一个实二次型都可通过可逆线性变换化为标准形 元二次型的标准形不惟一,有三种方法化标准形 821用正交变换化实二次型为标准形 对于实二次型,最实用的方法是正交变换法,即所作的 可逆线性变换中可逆矩阵C不只是可逆,还是正交矩阵 这个正交阵的存在是由实对称矩阵的性质决定的,值得注 意的是这种方法仅限于实二次型 定理8.1对Ⅶm元实二次型f=XAX,彐正交线性变换 不惟一)X=PY,使二次型f化为标准形 ∫=λy2+2y2+…+λυ2,1,n,…λ是A的n个特征值 哈工大数学系代数与几何教研室

注1º 的秩 的标准形中系数不为0的 平方项的个数. 2º任一个实二次型都可通过可逆线性变换化为标准形. 元二次型的标准形不惟一，有三种方法化标准形. n 8.2.1 用正交变换化实二次型为标准形 对于实二次型，最实用的方法是正交变换法，即所作的 可逆线性变换中可逆矩阵 不只是可逆，还是正交矩阵. 这个正交阵的存在是由实对称矩阵的性质决定的，值得注 意的是这种方法仅限于实二次型. C 定理8.1 对 元实二次型 ， 正交线性变换： （不惟一） ，使二次型 化为标准形. 是 的 个特征值. n T f = X AX  X PY = f 2 2 2 1 1 2 2 1 2 , , , , n n n f y y y = + + +       A n T r r r f ( ) ( ) ( ), A C AC = = Λ = f

例5用正交线性变换化实二次型为标准形 ∫=2x2+5x2+5x3+4xx2-4xx3-8x2x3化成标准形 解:(1)二次型∫的矩阵为 22-2 5-4 2-45 (2)由E-A=-2x-5 (2-1)(-10)=0, 得A的特征值为=1,2=1,=10 (3)对4=42=时,解(1·E-A4)X=0 000 24险大学系代伐测与几何教研室

例5 用正交线性变换化实二次型为标准形. 化成标准形. 解：（1）二次型 的矩阵为 222 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x = + + + − − 2 5 5 4 4 8 f 2 2 2 2 5 4 2 4 5   −   = −       − − A （2）由 ， 得 的特征值为 . 2 2 2 2 | | 2 5 4 ( 1) ( 10) 0 2 4 5       − − − = − − = − − = − E A A    1 2 3 = = = 1, 1, 10 （3）对 时，解 . 即   1 2 = =1 (1 ) 0  − = E A X 1 2 2 1 2 2 2 4 4 0 0 0 2 4 4 0 0 0     − − −         − − →         −

2x,+2x 所以得同解方程组为{x2=x2 得基础解系为 正交化: B1=61 2月 2 B1=0 ∥4 (BB 哈工大数学系代数与几何教研室

所以得同解方程组为 得基础解系为 . 正交化： 1 2 3 2 2 3 3 x x x 2 2 x x x x  = − +   =   = 1 2 2 2 1 , 0 0 1     −     = =               1 1 2 1 0   −   = =       β ξ 2 2 1 2 1 ∥ 1 1 2 5 2 2 ( , ) 4 4 0 1 ( , ) 5 5 1 0 1         −       −   = − = − =                       ξ β β ξ β β β 2 4 5          

单位化: B11 B1 √5 0 √45 B2 AB2|√45 当43=10时,由方程组(10E-A)X=0 哈工大数学系代数与几何教研室

单位化： 1 1 1 2 5 2 1 1 1 | | 5 5 0 0   −    −       = = =                 β β  2 2 2 2 45 2 1 4 4 | | 45 45 5 5 45             = = =                 β β  当 3 =10 时，由方程组 (10 ) E A X − = 0