哈尔滨工业大学：《线性代数与空间解析几何》课程教学资源（PPT课件）第八章 二次型与二次曲面

254 01818-011→>0 099 000 000 x2=x得基础解系为5=2,单位化为 32-323 哈工大数学系代数与几何教研室

即 5 1 1 2 1 0 8 2 2 2 5 4 2 2 2 5 4 0 18 18 0 1 1 0 1 1 2 4 5 0 9 9 0 0 0 0 0 0     − − − −                 − → → →                             得基础解系为 ，单位化为 . 1 3 2 3 3 3 1 2 x x x x x x  = −    = −   =   3 1 2 2     =       −  3 3 3 1 3 2 | | 3 2 3         = =         −     

得正交阵 √5√453 4 √5√453 P AP=P AP 注:正交变换不惟一,但正交变换得到的标准形是惟 的.(不考虑对角元的次序时) 哈工大数学系代数与几何教研室

得正交阵 . 2 2 1 5 45 3 1 4 2 5 45 3 5 2 0 45 3   −      =       −     P 则 注：正交变换不惟一，但正交变换得到的标准形是惟一 的.（不考虑对角元的次序时） 1 T 1 1 10 −     = =       P AP P AP

8.22用配方法化二次型为标准形 如果不考虑正交变换,可以用可逆线性变换把二次型 化为标准形,得到标准形不是惟一的 例6用配方法将二次型化为标准形 f(x,x2,x3)=2x1x2+3x2x3+4x1x3 分析:这是只有交叉项没有平方项的二次型,先对x1,x2 用平方差公式 解:令(x1=y+y2 110(1) C1=1-10 001 则f=2y2-2y2+3yy2-3y2y2+4yy3+4y2y2 2y2-2y2+7yy3+y2y 哈工大数学系代数与几何教研室

8.2.2 用配方法化二次型为标准形 如果不考虑正交变换，可以用可逆线性变换把二次型 化为标准形，得到标准形不是惟一的. f 例6 用配方法将二次型化为标准形 分析：这是只有交叉项没有平方项的二次型，先对 用平方差公式. 解：令 （1） 1 2 3 1 2 2 3 1 3 f x x x x x x x x x ( , , ) 2 3 4 = + + 1 2 x x, 1 1 2 2 1 2 3 3 x y y x y y x y  = +   = −   = 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1     = −       C 则 2 2 2 2 3 3 4 4 1 2 1 3 2 3 1 3 2 3 f y y y y y y y y y y = − + − + + 2 2 1 2 1 3 2 3 = − + + 227 y y y y y y

2(y+,13+(y3)2)-2(y22 y3+(7y3))-2.9 y3 2(y+y2)2-2(y2-y3)2 4 再令 21=y1+y3 (2) 4 则f 4 所作可逆线性变换为{y2=2+ y3 00 (2)代入(1)得哈工大数学系代数与几何教研室

2 2 2 2 2 2 1 1 3 3 2 2 3 3 3 3 7 7 1 1 49 1 2( ( ) ) 2( ( ) ) 2 2 2 4 2 4 16 16 = + + − − + −  +  y y y y y y y y y y 2 2 2 1 3 2 3 3 7 1 2( ) 2( ) 6 4 4 = + − − − y y y y y 再令 （2） 1 1 3 2 2 3 3 3 7 4 1 4 z y y z y y z y  = +     = −   =   则 2 2 2 1 2 3 f z z z = − − 2 2 6 所作可逆线性变换为 （2）代入（1）得 1 1 3 2 2 3 3 3 7 4 1 4 y z z y z z y z  = −     = +   =   2 7 1 0 4 1 0 1 4 0 0 1   −       =         C

C=CC CH≠0C可逆 001 X=CY=c1(c2Z)=cc2Z为可逆线性变换 823用初等变换法化二次型为标准形 矩阵的初等变换法是对二次型矩阵A,构造一个2mxn 的矩阵A,对A交替作初等行变换和相应的初等列变换 E 对A作列变换时,同时对E作相同的列变换,当A化作标准 形时,E就化作了C.这就是作可逆线性变换那个可逆矩阵 C AC E 对角阵 哈工大数学系代数与几何教研室

可逆. 为可逆线性变换. 1 1 2 3 2 1 2 3 3 3 3 2 2 x z z z x z z z x z  = + −    = − −   =  1 2 3 1 1 2 1 1 2 , | | 0 0 0 1   −     = = − −          C C C C C 1 2 1 2 X CY c c Z c c Z = = = ( ) 8.2.3 用初等变换法化二次型为标准形 矩阵的初等变换法是对二次型矩阵 ，构造一个 的矩阵 ，对 交替作初等行变换和相应的初等列变换 ， 对 作列变换时，同时对 作相同的列变换，当 化作标准 形时， 就化作了 . 这就是作可逆线性变换那个可逆矩阵. 对角阵. A 2n n        A E A A E E A C T       →       A C AC E C